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1、1.1.3 集合的根本运算第1课时 并集、交集一、并集一、并集属于集合属于集合A A或或属于集合属于集合B BABABA A并并B Bx|xA,x|xA,或或xBxB思索：集合思索：集合ABAB中的元素个数就是由集合中的元素个数就是由集合A A和和B B的一切元素的的一切元素的个数的和个数的和吗？提示：不一定提示：不一定. .由于集合元素由于集合元素满足互异性，所以假足互异性，所以假设集合集合A A和和B B有公共元素，那么只能出有公共元素，那么只能出现一次一次. .二、交集二、交集属于集合属于集合A A且属且属于集合于集合B BABABA A交交B Bx|xA,x|xA,且且xBxB思索：当
2、集合思索：当集合A A与与B B没有公共元素没有公共元素时，A A与与B B就没有交集就没有交集吗？提示：不能提示：不能这样以以为，当两个集合无公共元素，当两个集合无公共元素时，两个集合，两个集合的交集仍存在，即此的交集仍存在，即此时AB=AB= . .三、并集与交集的性质三、并集与交集的性质 并集并集交集交集AA=AAA=AAA=AAA=AAA =_=_AA =_=_A A 判判别：( (正确的打正确的打“，错误的打的打“) )(1)(1)集合集合M=M=直直线 与集合与集合N=N=圆 无交集无交集.( ).( )(2)(2)两个集合的并集中元素就是将两个集合元素合在一同两个集合的并集中元素
3、就是将两个集合元素合在一同.( ).( )(3)(3)假假设AB=CBAB=CB，那么，那么A=C.( )A=C.( )提示：提示：(1)(1)错误. .虽然两集合无公共元素，但两个集合的交集存然两集合无公共元素，但两个集合的交集存在且在且为空集，故不正确空集，故不正确.(2).(2)错误. .当两个集合有公共元素当两个集合有公共元素时，在，在并集中只能算作一个，故不正确并集中只能算作一个，故不正确.(3).(3)错误. .假假设AB=CBAB=CB，A A与与C C也可以不相等，故不正确也可以不相等，故不正确. .答案：答案：(1)(2)(3)(1)(2)(3)【知【知识点点拨】1.1.对并
4、集概念的了解并集概念的了解( (关关键词“或或) )(1)(1)并集概念中的并集概念中的“或字与生活中的或字与生活中的“或字含或字含义不同不同. .生活中生活中的的“或字是非此即彼，必居其一，而并集中的或字是非此即彼，必居其一，而并集中的“或字可以或字可以是兼有的，但不是必需兼有的是兼有的，但不是必需兼有的.xA.xA，或，或 xB xB包含三种情况：包含三种情况：xAxA，但，但x x B;B;xBxB，但，但x x A;A;xAxA且且xB.xB.(2)(2)用用VennVenn图如下所示：如下所示：因此因此ABAB是由一切至少属于是由一切至少属于A,BA,B两者之一的元素两者之一的元素组
5、成的集合成的集合. .2.2.对交集概念的了解交集概念的了解( (关关键词“且且) )(1)(1)定定义中的中的“一切是指集合一切是指集合A A和集合和集合B B中全部的公共元素，不中全部的公共元素，不能是一部分公共元素能是一部分公共元素. .(2)AB=x|xA(2)AB=x|xA，且，且xBxB中的中的“且是指且是指“同同时，即集合，即集合A A与集合与集合B B的公共元素都属于的公共元素都属于AB.AB.(3)(3)用用VennVenn图表示交集如下：表示交集如下：3.3.关于交集、并集运算的常用的性关于交集、并集运算的常用的性质(1)AB=BA,AB=BA.(1)AB=BA,AB=BA
6、.(2)A(2)A (AB)(AB)，(AB)(AB) A,A,B B (AB)(AB)，(AB)(AB) B.B.(3)(3)假假设AB=BAB=B，那么，那么A A B B；反之，假；反之，假设A A B B，那么，那么AB=B.AB=B.(4)(4)假假设AB=BAB=B，那么，那么B B A A；反之，假；反之，假设B B A A，那么，那么AB=B.AB=B.类型型 一一 集合并集的运算集合并集的运算 【典型例【典型例题】1.(2019 1.(2019 西宁高一西宁高一检测) )知集合知集合A=x|-1xA=x|-1x3,3,B=x|2B=x|2x5x5，那么，那么ABAB( )(
7、)A.x|2A.x|2x x3 B.x|-1x53 B.x|-1x5C.x|-1C.x|-1x x5 D.x|-15 D.x|-1x5x52.(20192.(2019重重庆高一高一检测) )设集合集合M=1,2M=1,2，那么，那么满足条件足条件MN=1,2,3,4MN=1,2,3,4的集合的集合N N的个数是的个数是( )( )A.1 B.3 C.2 D.4A.1 B.3 C.2 D.43.(20193.(2019杭州高一杭州高一检测) )集合集合A A0,20,2，aa，B B11，a2a2假假设ABAB0,1,2,4,160,1,2,4,16，那么，那么a a的的值为( )( )A.0
8、B.1 C.2 D.4A.0 B.1 C.2 D.4【解【解题探求】探求】1.1.两个集合求并集的本两个集合求并集的本质是什么？是什么？2.2.题2 2中在知中在知MNMN及集合及集合M M的条件下，如何确定集合的条件下，如何确定集合N N？3.3.当并集中的元素个数与构成并集的两个集合的元素个数和当并集中的元素个数与构成并集的两个集合的元素个数和相等相等时，如何确定其中的参数？，如何确定其中的参数？探求提示：探求提示：1.1.两个集合求并集的本两个集合求并集的本质是把两个集合中的一切元素合在一是把两个集合中的一切元素合在一同，同，组成一个新的集合成一个新的集合. .2.2.根据集合根据集合M
9、NMN及集合及集合M M的关系，可以确定集合的关系，可以确定集合N N一定含有的一定含有的元素，集合的个数那么由可以含有的元素确定元素，集合的个数那么由可以含有的元素确定. .3.3.此此类问题，普通是去掉知元素，把参数与并集中的元素，普通是去掉知元素，把参数与并集中的元素对应相等，构成方程相等，构成方程( (组) )求解求解. .【解析】【解析】1.1.选B.B.结合数合数轴分析可知，分析可知，ABABx|-1x5.x|-1x5.2.2.选D.M=1,2D.M=1,2，MN=1,2,3,4MN=1,2,3,4，N=3,4N=3,4或或1,31,3，44或或22，3,43,4或或1,2,3,4
10、1,2,3,4，即集合，即集合N N有有4 4个个. .3.3.选D.AD.A0,20,2，aa，B B11，a2a2，ABAB0,1,2,4,160,1,2,4,16，a=4a=4，a2=16a2=16或或a=16a=16，a2=4a2=4，解得，解得a=4.a=4.【拓展提升】求两个集合并集的两个方法【拓展提升】求两个集合并集的两个方法(1)(1)假设两个集合元素个数有限，可根据定义直接写出并集假设两个集合元素个数有限，可根据定义直接写出并集. .(2)(2)假设两个集合元素个数无限，可借助于数轴分析，求出并假设两个集合元素个数无限，可借助于数轴分析，求出并集集. .但应留意端点能否能获得
11、但应留意端点能否能获得. .【变式式训练】知集合】知集合A Ax|x|2x52x5，集合，集合B Bx|x3x|x3，那，那么么ABAB_._.【解析】【解析】A A与与B B都是都是“延延续的数集，所以用数的数集，所以用数轴表示，如以下表示，如以下图那么那么ABABx|x5x|x5答案：答案：x|x5x|x5类型型 二二 集合交集的运算集合交集的运算 【典型例【典型例题】1.(20191.(2019安阳高一安阳高一检测) )假假设A=0,1,2,3,B=0,3,6,9,A=0,1,2,3,B=0,3,6,9,那么那么AB=( )AB=( )A.1,2 B.0,1A.1,2 B.0,1C.0,
12、3 D.3C.0,3 D.32.(20192.(2019潍坊高一坊高一检测) )知知M Mxxy yx2-1x2-1，N Ny|yy|yx2-x2-11，那么，那么MN=( )MN=( )A.y|yA.y|y1 1或或0 B.x|x0 B.x|x0 0或或11C.(0,C.(0,1),(1,0) D.y|y-11),(1,0) D.y|y-1【解【解题探求】探求】1.1.两个集合交集中的元素是由两个集合中什么两个集合交集中的元素是由两个集合中什么样的元素构成的？的元素构成的？2.2.当两个集合元素无限当两个集合元素无限时求其交集需借助的工具是什么？求其交集需借助的工具是什么？探求提示：探求提示
13、：1.1.两集合交集中的元素是两个集合的公共元素两集合交集中的元素是两个集合的公共元素( (包括无公共元包括无公共元素，即空集的情形素，即空集的情形). ). 2.2.当两个集合元素无限当两个集合元素无限时，可借助数，可借助数轴分析求解分析求解. .【解析】【解析】1.1.选C.C.察看两集合元素可知，公共元素是察看两集合元素可知，公共元素是0,30,3，从而，从而AB=0,3. AB=0,3. 2.2.选D.M= x|yD.M= x|yx2x21=R1=R，N Ny|yy|yx2-1x2-1=y|y-1=y|y-1，故，故MN=y|y-1.MN=y|y-1.【互【互动探求】探求】题1 1中，
14、假中，假设集合集合B=4,5,6B=4,5,6，其他条件不，其他条件不变，那么那么ABAB等于什么？等于什么？【解析】由于两个集合无公共元素，因此【解析】由于两个集合无公共元素，因此AB=AB= . .【拓展提升】求两个集合交集的方法及本卷须知【拓展提升】求两个集合交集的方法及本卷须知(1)(1)方法：当两个集合元素个数有限时，可直接求交集；当两方法：当两个集合元素个数有限时，可直接求交集；当两个集合为无限集时，可借助于数轴分析求解个集合为无限集时，可借助于数轴分析求解. .(2)(2)本卷须知：两个集合无公共元素时，不能说无交集，而是本卷须知：两个集合无公共元素时，不能说无交集，而是交集为空
15、集交集为空集. .【变式式训练】知集合】知集合S Sx|0x1x|0x1，T Tx|2xx|2x1111，那么，那么STST等于等于( )( )A.S B.TA.S B.TC.x|x1 D.C.x|x1 D. 【解析】【解析】选A.TA.Tx|x1x|x1，STSTS.S.类型型 三三 集合交集、并集运算的性集合交集、并集运算的性质及其及其简单综合合 【典型例【典型例题】1.(20191.(2019临沂高一沂高一检测) )知集合知集合A=x|x2-px-2=0A=x|x2-px-2=0，B=x|x2+qx+r=0B=x|x2+qx+r=0，且，且AB=-2AB=-2，1 1，55，AB=-2A
16、B=-2，那么，那么p+q+r=_.p+q+r=_.2.2.设集合集合A A-2-2，B Bx|axx|ax1 10 0，aRaR，假，假设ABABB B，求求a a的的值【解【解题探求】探求】1.-21.-2是不是方程是不是方程x2-px-2=0x2-px-2=0的根？怎的根？怎样确定集合确定集合B B？2.2.条件中的条件中的ABABB B应如何如何转化？化？探求提示：探求提示：1.-21.-2是方程是方程x2-px-2=0x2-px-2=0的一个根，由此来确定集合的一个根，由此来确定集合A A，进而确而确定集合定集合B.B.2.2.条件条件ABABB B可可经过交集的性交集的性质AB=B
17、AB=BB B A A转化，化，进而求而求解解. .【解析】【解析】1.AB=-21.AB=-2，-2A-2A且且-2B-2B，将将x=-2x=-2代入代入x2-px-2=0x2-px-2=0，得得p=-1p=-1，A=1A=1，-2-2，AB=-2AB=-2，1 1，55，AB=-2AB=-2，B=-2B=-2，55，q=-q=-(-2)+5(-2)+5=-3=-3，r=(-2)5=-10r=(-2)5=-10，p+q+r=-14.p+q+r=-14.答案：答案：-14-142.AB2.ABB B，BB A.A.AA 22 ，BB 或或BB . .当当B B 时，方程，方程axax1 10
18、0无解，此无解，此时a a0,0,满足足B B A.A.当当BB 时，此，此时a0a0，那么，那么B B ， A A，即有，即有 -2-2，得，得a a . .综上，得上，得a a0 0或或a a . .【拓展提升】利用集合交集、并集的性【拓展提升】利用集合交集、并集的性质解解题的方法及关注的方法及关注点点(1)(1)方法：利用集合的交集、并集性方法：利用集合的交集、并集性质解解题时，经常遇到常遇到AB=BAB=B，AB=AAB=A等等这类问题，解答，解答时常借助于交集、并集的常借助于交集、并集的定定义及知集合及知集合间的关系去的关系去转化化为集合集合间的关系求解，如的关系求解，如AB=AAB
19、=AA A B B，AB=BAB=BA A B.B.(2)(2)关注点：当集合关注点：当集合A A B B时，假，假设集合集合A A不确定，运算不确定，运算时要思索要思索A=A= 的情况，否那么易漏解的情况，否那么易漏解. .【变式式训练】知集合】知集合M=x|2x-4=0M=x|2x-4=0，N=x|x2-3x+m=0.N=x|x2-3x+m=0.(1)(1)当当m=2m=2时，求，求MN,MN.MN,MN.(2)(2)当当MN=MMN=M时，务虚数虚数m m的的值. .【解【解题指南】指南】(1)(1)将将m=2m=2代入集合代入集合N N化化简后再求交集、并集后再求交集、并集. .(2)
20、(2)根据集合交集、并集运算性根据集合交集、并集运算性质求解求解. .【解析】由知得【解析】由知得M=2M=2，(1)(1)当当m=2m=2时，N=1N=1，22，所以所以MN=2MN=2，MN=1MN=1，2.2.(2)(2)假假设MN=MMN=M，那么，那么M M N N，2N,2N,所以所以4-6+m=04-6+m=0，m=2.m=2.【典型例题】【典型例题】1.1.某中学有一个数学、物理奥林匹克竞赛班某中学有一个数学、物理奥林匹克竞赛班( (由一切参与数学由一切参与数学奥林匹克竞赛和参与物理奥林匹克竞赛的同窗组成奥林匹克竞赛和参与物理奥林匹克竞赛的同窗组成) )共有共有4545人人.
21、.知该班中有知该班中有3232人参与了数学奥林匹克竞赛，有人参与了数学奥林匹克竞赛，有2828人参与了物人参与了物理奥林匹克竞赛，那么该班同时参与数学和物理奥林匹克竞理奥林匹克竞赛，那么该班同时参与数学和物理奥林匹克竞赛的有赛的有_人人. .交集、并集的实际运用交集、并集的实际运用 2.2.为完成一项实地丈量义务，夏令营的同窗们成立了一支测为完成一项实地丈量义务，夏令营的同窗们成立了一支测绘队，需求绘队，需求2424人参与丈量，人参与丈量，2020人参与计算，人参与计算，1616人参与绘图人参与绘图. .测测绘队的成员中有许多同窗是多面手，有绘队的成员中有许多同窗是多面手，有8 8人既参与了丈
22、量又参人既参与了丈量又参与了计算，有与了计算，有6 6人既参与了丈量又参与了绘图，有人既参与了丈量又参与了绘图，有4 4人既参与人既参与了计算又参与了绘图，另有一些人了计算又参与了绘图，另有一些人3 3项义务都参与了，请问这项义务都参与了，请问这个测绘队至少有多少人？个测绘队至少有多少人？【解析】【解析】1.1.如如图：设集合集合A=A=x|xx|x是参与数学奥林匹克是参与数学奥林匹克竞赛的同窗，的同窗，集合集合B=B=x|xx|x是参与物理奥林匹克是参与物理奥林匹克竞赛的同窗，的同窗，那么那么AB=AB=x|xx|x是全班同窗，是全班同窗，AB=AB=x|xx|x是既参与数学奥林匹克是既参与
23、数学奥林匹克竞赛又参与物理奥林匹克又参与物理奥林匹克竞赛的同窗，的同窗，由由题意知集合意知集合A A中有中有3232个元素，集合个元素，集合B B中有中有2828个元素，集合个元素，集合ABAB中有中有4545个元素，所以个元素，所以ABAB中有中有32+28-45=1532+28-45=15个元素个元素. .故既参与数学奥林匹克故既参与数学奥林匹克竞赛又参与物理奥林匹克又参与物理奥林匹克竞赛的同窗的同窗有有1515人人. .答案：答案：15152.2.如如图，无妨，无妨设参与参与计算的人数算的人数为集合集合A A，参与丈量的，参与丈量的为集合集合B B，参与，参与绘图的的为集合集合C.C.设
24、3 3项义务都参与的人数都参与的人数为x x，那么各，那么各个集合之个集合之间的关系得到明晰表达的关系得到明晰表达. .测绘队总人数人数为(10-x)+(8-x)+(6-x)+4+6+8+x=42-2x(10-x)+(8-x)+(6-x)+4+6+8+x=42-2x，由于由于0x60x6，所以，所以3042-2x423042-2x42，即即测绘队人数最少人数最少为3030人，此人，此时x=6.x=6.答：答：这个个测绘队至少有至少有3030人人. .【拓展提升】解交集、并集的【拓展提升】解交集、并集的实际运用运用问题的方法技巧的方法技巧在在处置有关集合交集、并集的置有关集合交集、并集的实际运用
25、运用问题时，常借助，常借助VennVenn图来求解，普通步来求解，普通步骤如下：如下：(1)(1)利用利用VennVenn图将集合将集合间的关系直的关系直观地表示出来，即根据地表示出来，即根据VennVenn图逐一把文字逐一把文字陈说的的语句句“翻翻译成数学符号言成数学符号言语. .(2)(2)经过解方程和限制条件的运用途置解方程和限制条件的运用途置问题. .【易【易错误区】集合交、并运算中的元素不清致区】集合交、并运算中的元素不清致误【典例】知集合【典例】知集合M=y|y=x2-4x+3M=y|y=x2-4x+3，xZxZ，N=y|y=-x2-2xN=y|y=-x2-2x，xZxZ，那么，那
26、么MN=( )MN=( )A.A. B.0 C.-1,0,1 D.0,1 B.0 C.-1,0,1 D.0,1【解析】【解析】选B.y=x2-4x+3=(x-2)2-1B.y=x2-4x+3=(x-2)2-1，xZxZ，M=-1,0,3,8,15,M=-1,0,3,8,15,；y=-x2-2x=-(x+1)2+1y=-x2-2x=-(x+1)2+1，xZxZ，N=1,0,-3,-8,-15,.MN=0N=1,0,-3,-8,-15,.MN=0，应选B.B.【类题试解】知解】知A=-3A=-3，a2a2，a+1a+1，B=a-3B=a-3，2a-12a-1，a2+1a2+1，假假设AB=-3AB
27、=-3，那么，那么a a的的值为( )( )A.0 B.-1 C.1 D.0A.0 B.-1 C.1 D.0或或-1-1【解析】【解析】选B.AB=-3,-3B,B.AB=-3,-3B,易知易知a2+1-3.a2+1-3.假假设a-3=-3a-3=-3，那么，那么a=0a=0，此，此时A=-3A=-3，0 0，11，B=-3B=-3，-1-1，11，那么那么AB=-3AB=-3，1-31-3，与知矛盾，与知矛盾. .假假设2a-1=-32a-1=-3，那么，那么a=-1a=-1，此此时A=-3A=-3，1 1，00，B=-4B=-4，-3-3，22，那么那么AB=-3AB=-3满足要求，足要求
28、，综上可知上可知a=-1.a=-1.【误区警示】【误区警示】【防备措施】【防备措施】认清集合的含义认清集合的含义在进展集合交集、并集运算时，首先应弄清集合的属性，即在进展集合交集、并集运算时，首先应弄清集合的属性，即由集合元素来确定集合是数集、点集还是其他集合由集合元素来确定集合是数集、点集还是其他集合, ,如本例中如本例中M M，N N均为相应二次函数的值构成的集合均为相应二次函数的值构成的集合. . 1.1.以下关系以下关系QRQRRQRQ；ZNZNN N；QRQRRQRQ；QNQNN N中，中，正确的个数是正确的个数是( )( )A.1 B.2 C.3 D.4A.1 B.2 C.3 D.
29、4【解析】【解析】选C.C.只需只需ZNZNN N是是错误的，的，应是是ZNZNZ.Z.2.2.假假设集合集合A Ax|x|2 2x x11，B Bx|0x|0x x22，那么集合，那么集合ABAB( )( )A.x|A.x|1 1x x1 B.x|1 B.x|2 2x x11C.x|C.x|2 2x x2 D.x|02 D.x|0x x11【解析】【解析】选C.C.由于由于A Ax|x|2 2x x11，B Bx|0x|0x x22，所以，所以ABABx|x|2 2x x223.3.知集合知集合A A1,2,41,2,4，B B2,4,62,4,6，那么，那么ABAB_._.【解析】由条件得
30、【解析】由条件得ABAB1,2,4,61,2,4,6答案：答案：1,2,4,61,2,4,64.4.假假设A=-1,0,1A=-1,0,1，集合，集合B=x|x2-x=0B=x|x2-x=0，那么，那么AB=_.AB=_.【解析】【解析】B=0,1B=0,1，AB=0,1.AB=0,1.答案：答案：0,10,15.5.知集合知集合A A1,2,31,2,3，B B22，m,4m,4，ABAB2,32,3，那么那么m m_._.【解析】【解析】ABAB2,32,3，3B3B，mm3.3.答案：答案：3 36.6.知集合知集合A=x|x2+px+q=0,B=x|x2-px-2q=0,A=x|x2+px+q=0,B=x|x2-px-2q=0,且且AB=AB=-1-1，求，求AB.AB.【解析】由于【解析】由于AB=-1AB=-1，所以，所以-1A,-1B-1A,-1B，即即-1-1是方程是方程x2+px+q=0x2+px+q=0和和x2-px-2q=0x2-px-2q=0的解，的解，所以所以 解得解得所以所以A=-1,-2,B=-1,4,A=-1,-2,B=-1,4,所以所以AB=-2,-1,4.AB=-2,-1,4.
