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1、【课标要求】1通过对任意三角形边长和角度的探索掌握余弦定理2会借助余弦定理解决一些简单的三角形度量问题【核心扫描】1应用余弦定理解三角形(重点)2本节内容常与三角函数、三角恒等变换、正弦定理等知识结合(难点)3应用余弦定理判断三角形的形状(易错点)1.1.2 余弦定理余弦定理余弦定理三角形中任何一边的平方等于其他两边的_减去这两边与它们的夹角的_的积的_，即a2_，b2 _ ，c2 _.余弦定理的推论自学导引自学导引12余弦余弦平方的和平方的和两倍两倍b2c22bccos Aa2c22accos Ba2b22abcos C：若ABC为钝角三角形，且A90，则a，b，c三边满足什么关系？提示：a
2、，b，c为ABC的三边，且A90，余弦定理及其推论的应用应用余弦定理及其推论可解决两类三角形问题：(1)已知三角形的三边，求其_(2)已知_和_，求第三边和其他两个角3三个角三个角两边两边夹角夹角：余弦定理和勾股定理有什么联系？提示：若ABC为直角三角形，且C90，则cosC余弦定理的理解余弦定理揭示了任意三角形边角之间的客观规律，也是解三角形的重要工具(1)在余弦定理中，每一个等式均含有四个量，利用方程的观点，可以知三求一(2)余弦定理也为求三角形的有关量(如面积、外接圆、内切圆等)提供了工具，它可以用来判定三角形的形状，证明三角形中的有关等式，在一定程度上，它比正弦定理的应用更加广泛名师点
3、睛名师点睛1用坐标法证明余弦定理如图建立直角坐标系，则A(0,0)，B(c,0)，C(bcosA，bsinA)由两点间距离公式得a2|BC|2(bcosAc)2(bsinA0)2b2(sin2Acos2A)2bccosAc2b2c22bccosA.同理可证b2c2a22cacosB；c2a2b22abcosC2题型一题型一已知两边及一角解三角形已知两边及一角解三角形在ABC中，已知b3，c3，B30，求角A、角C和边a.思路探索可先由正弦定理求出角C，然后再求其他的边和角，也可以由余弦定理列出关于边长a的方程，首先求出边长a，再由正弦定理求角A、角C.【例例1】当C120时，A30，ABC为等
4、腰三角形a3. 已知两边及一角解三角形有以下两种情况：(1)若已知角是其中一边的对角，有两种解法，一种方法是利用正弦定理先求角，再求边；另一种方法是用余弦定理列出关于另一边的一元二次方程求解(2)若已知角是两边的夹角，则直接运用余弦定理求出另外一边，然后根据边角关系利用正弦定理求解在ABC中，已知a5，b3，角C的余弦值是方程5x27x60的根，求第三边长c.解5x27x60可化为(5x3)(x2)0.【变式变式1】 思路探索利用余弦定理的推论解题题型题型二二已知三边已知三边( (三边关系三边关系) )解三角形解三角形【例例2】(1)已知三角形三边求角时，可先利用余弦定理求解，再用正弦定理求解
5、，在用正弦定理求解时，要根据边的大小确定角的大小，防止产生增解或漏解(2)若已知三角形三边的比例关系，常根据比例的性质引入k，从而转化为已知三边求解在ABC中，已知BC7，AC8，AB9，试求AC边上的中线长解由余弦定理和条件知：【变式变式2】 思路探索用余弦定理将已知等式转化为边之间的关系式，化简后判断三角形的形状也可用正弦定理将等式化成角的三角函数关系式，进而判断三角形的形状题型题型三三三角形形状的判定三角形形状的判定【例例3】b2c2a22b2，即a2b2c2.ABC是直角三角形法二在ABC中，设其外接圆半径为R，由正弦定理，b2RsinB，c2RsinC，(1)法一是用余弦定理将等式转
6、化为边之间的关系式，法二是借助于正弦定理，将已知等式转化为角的三角函数关系式这两种方法是判断三角形形状的常用手段然后，利用代数变形或三角函数变形对边的关系或角的关系进行分析判断(2)一般地，如果遇到的式子含角的余弦或是边的二次式，要考虑用余弦定理；反之，若遇到的式子含角的正弦或是边的一次式，则大多用正弦定理；若是以上特征不明显，则要考虑两个定理都有可能用在ABC中，若(accosB)sinB(bccosA)sinA，判断ABC的形状a2b2c20或a2b2，故三角形为等腰三角形或直角三角形【变式变式3】 法二由正弦定理，原等式可化为(sinAsinCcosB)sinB(sinBsinCcosA
7、)sinA，sinBcosBsinAcosA，sin2Bsin2A，2B2A或2B2A，AB或AB，故ABC为等腰三角形或直角三角形如图所示，在四边形ABCD中，ADCD，AD10，AB14，BDA60，BCD135，求BC的长审题指导规范解答在ABD中，AD10，AB14，BDA60，设BDx，据余弦定理：AB2AD2BD22ADBDcosBDA，(4分)142102x2210xcos60，(6分)即x210x960，解得x116，x26(舍去)，BD16.(8分)ADCD，BDA60，CDB30.题型题型四四正、余弦定理的综合应用正、余弦定理的综合应用【例例4】【题后反思】余弦定理和正弦定
8、理一样，都是围绕着三角形进行边角互换的，解三角形时，注意分析三角形中的条件是否够用条件不够的三角形，要探索与其他三角形的关系，条件够时，注意选择是应用正弦定理，还是余弦定理，必要时也可列方程(组)求解同时，在有关三角形的题目中，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能利用某个定理的信息在ABC中，内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，已知a2c22b，且sinAcosC3cosAsinC，求b.解法一在ABC中，sinAcosC3cosAsinC，则由正弦定理及余弦定理有：2(a2c2)b2.又由已知a2c22b，4bb2.解得b4或b0(舍)【变式变式4】 法二由余弦定
9、理得：a2c2b22bccosA.又a2c22b，b0.所以b2ccosA2.又sinAcosC3cosAsinC，sinAcosCcosAsinC4cosAsinC，sin(AC)4cosAsinC，即sinB4cosAsinC，由正弦定理得sinBsinC，故b4ccosA由解得b4.设2a1，a,2a1为钝角三角形的三边，求实数a的取值范围错解2a1，a,2a1是三角形的三边，误区警示误区警示误区警示忽略三角形三边关系导致出错误区警示忽略三角形三边关系导致出错【示示例例】解题时，易忽略三角形的三边满足两边之和大于第三边，而使某些字母的范围变大正解2a1，a,2a1是三角形的三边，本题实质上是求2a1，a,2a1能构成钝角三角形三边的充要条件，除了要保证三边长均为正数外，还应满足两边之和大于第三边
