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1、第第第第 1 1 页页 4.4 拉普拉斯逆变换第第第第 2 2 页页由象函数求原函数由象函数求原函数( (即求拉普拉斯反即求拉普拉斯反变换) )的方法：的方法： 部分分式展开法部分分式展开法F(s)通常通常为s的有理分式，普通方式的有理分式，普通方式为 零点：零点：极点：极点：第第第第 3 3 页页总的思的思绪： 有理假分式有理假分式有理真分式有理真分式最最简分式之和分式之和f(t) 按按B(s) B(s) = = 0 0的的根根( (称称为F(s)F(s)的的极极点点) )有有无无重重根根等等分分别讨论如下：如下：1当当mn且且为n个个单根根p1 , p2 , , pn (可可为实根、虚根或
2、复根根、虚根或复根)有理真分式有理真分式F(s)F(s)可展开可展开为如下的部分分式：如下的部分分式： 第第第第 4 4 页页式中式中Kj(j=1, 2, , n)Kj(j=1, 2, , n)为待定待定系数系数. . 那么有原函那么有原函数数第第第第 5 5 页页例:求函数F(s)的逆变换解:第第第第 6 6 页页2当当mn且且B(s) = 0的的根根有有重重根根时无无妨妨设根根p1p1为r r重重根根，其其他他(n-r)(n-r)个个根根为单根根pj(j=r+1, pj(j=r+1, r+2, r+2, , , n)n)，那么有理真分式，那么有理真分式F(s)F(s)可展开可展开为式中待定
3、系数式中待定系数第第第第 7 7 页页例:求函数的逆变换解:(1) 求 K11(2) 求 K12令s=-1第第第第 8 8 页页第第第第 9 9 页页3当当mn时长除法将有理假分式除法将有理假分式多多项式式+ +有理真分式有理真分式(m-n)次次多多项式式中中的的sl对应的的原原函函数数为冲冲激激函函数数及及其其导数数项(l)(t).例:求函数的逆变换解:第第第第 1 10 0 页页4包含共包含共轭复数极点复数极点 原那么上可按第原那么上可按第1 1种情况求逆种情况求逆变换. .但普通化但普通化为正弦、余弦函数的象函数方式正弦、余弦函数的象函数方式, ,再利用再利用s s域平移特性域平移特性去
4、求逆去求逆变换. .第第第第 1 11 1 页页解：例:求函数的逆变换第第第第 1 12 2 页页求以下函数的拉普拉斯逆变换第第第第 1 13 3 页页 4.5拉普拉斯变换法分析电路第第第第 1 14 4 页页 拉拉普普拉拉斯斯变换的的线性性性性质、时域域微微分分性性质与与时域域卷卷积性性质，可可使使线性性微微分分方方程程变为复复频域域的的线性性代代数数方方程程，同同时将将系系统的的初初始始形形状状自自然然反反映映在在象象函函数数中中，所所以以用用s s域域分分析析法法可可直直接接求求解解全呼全呼应。一、微分方程的复一、微分方程的复频域解域解 例例: :知知某某LTILTI延延续系系统的的微微
5、分分方方程程，其其鼓鼓励励f(t)=u(t)f(t)=u(t)，0-0-初初始始条条件件为y(0-)=2y(0-)=2，y(0-)=1y(0-)=1，试求求系系统的的零零输入入呼呼应、零零形形状状呼呼应和和全全呼呼应。方程：方程：解：解：对微分方程两微分方程两边取拉普拉斯取拉普拉斯变换得：得： 以以详细的微分方程的微分方程为例：例：第第第第 1 15 5 页页其中那么第第第第 1 16 6 页页第第第第 1 17 7 页页二、二、电路的路的s s域模型域模型1、电阻元件阻元件RR第第第第 1 18 8 页页2、电容元件、电容元件C+-1/sc+-+-+-第第第第 1 19 9 页页3、电感元件
6、感元件+ -LsL+ - +sL + -第第第第 2 20 0 页页 s s域模型中：域模型中：sLsL称称为复复频域感抗，域感抗，(1/sL)(1/sL)称称为复复频域感域感纳；(1/sC)(1/sC)称称为复复频域容抗，域容抗，sCsC称称为复复频域包容。域包容。在零形状下：在零形状下：+-sL+ -第第第第 2 21 1 页页三、三、电路的复路的复频域分析法域分析法复复频域分析法步域分析法步骤 画画0-等效等效电路，求起始形状；路，求起始形状；画画s域等效模型；域等效模型；列列s域方程代数方程；域方程代数方程；解解s域方程，求出呼域方程，求出呼应的拉氏的拉氏变换V(s)或或I(s)；拉氏
7、反拉氏反变换求求v(t)或或i(t)。第第第第 2 22 2 页页图示示电路，路，试求零形状呼求零形状呼应uC1 uC1 、uC2 uC2 、u u 0.2(t)A0.2F+ + uC1uC1- -+ uC2 -+ uC2 -0.3F50+ + u u - -解：画出零形状解：画出零形状s s域域电路模型路模型+ + UC1(s) UC1(s) - -+ + U(sU(s) )- -例例: :0.2+ UC2(s) -+ UC2(s) -50s s域域电路模型路模型第第第第 2 23 3 页页由由节点法：点法： 拉氏反拉氏反变换得得+ + UC1(s) UC1(s) - -+ + U(sU(s) )- -0.2+ UC2(s) -+ UC2(s) -50第第第第 2 24 4 页页第第第第 2 25 5 页页例：例：列列s域方程域方程:第第第第 2 26 6 页页第第第第 2 27 7 页页例：(1)(2)(3) 列方程列方程解：解：第第第第 2 28 8 页页故故 第第第第 2 29 9 页页逆变换设设那么那么第第第第 3 30 0 页页第一种情况：阶跃信号对回路作用的结果产生不衰减的正弦振荡。阶跃信号对回路作用的结果产生不衰减的正弦振荡。 第二种情况：引入符号引入符号所以所以第第第第 3 31 1 页页第三种情况：第四种情况：第第第第 3 32 2 页页波形
