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1、第第2 2章章 流体力学基本方程流体力学基本方程1. 流体运动的基本概念-流体运动的特征2. 4个重要方程：连续性方程连续性方程 根据质量守恒定律导出根据质量守恒定律导出运动方程运动方程 根据牛顿第二运动定律导出根据牛顿第二运动定律导出伯努利方程伯努利方程 根据能量守恒定律导出根据能量守恒定律导出动量积分方程和动量矩积分方程动量积分方程和动量矩积分方程 根据动量定理根据动量定理和动量矩定理导出和动量矩定理导出.这些方程是分析研究和解决流体力学问题的基础这些方程是分析研究和解决流体力学问题的基础.v流体质点流体质点：是从作为连续介质的流体中取出的是从作为连续介质的流体中取出的宏观尺度宏观尺度非常
2、小非常小而而微观尺度又足够大微观尺度又足够大的任意一个的任意一个物理实体物理实体。它具。它具有有五五五五层含义：层含义：宏观尺度非常小宏观尺度非常小：几何尺寸可不计，视为一：几何尺寸可不计，视为一几何点几何点;微观尺度足够大微观尺度足够大：分子的平均自由行程分子的平均自由行程;包含足够多分子的物理实体包含足够多分子的物理实体，也称，也称“微团微团”或或“控制控制体体”;形状可任意划分形状可任意划分；具有一定的物理量具有一定的物理量，如速度、加速度、压力和密度等，如速度、加速度、压力和密度等.v空间点空间点: 是一个是一个几何点几何点，表示空间位置，表示空间位置。特点一特点一：空间点是空间点是固
3、定不动固定不动的，仅仅是一个几何位置的，仅仅是一个几何位置;特点二特点二：同一空间点，不同时刻被：同一空间点，不同时刻被不同的流体质点不同的流体质点所所占据或经过。占据或经过。1 1拉格朗日拉格朗日(Lagrange)(Lagrange)法法2-1 2-1 描述流体运动的方法描述流体运动的方法 拉格朗日法 从流体质点的运动着手,描述每一个流体质点自始至终的运动过程.如果知道了所有流体质点的运动规律,那么整个流体的运动规律也就清楚了. 是质点-时间描述法。质点运动的轨迹a, b, c - t = t0 时刻质点所在的空间位置坐标， 称为拉格朗日变量，用来指定质点。t - 时间变量。速度:加速度:
4、质点位置是 t 的函数，对 t 求导可得速度和加速度： 由于流体质点的运动轨迹非常复杂，而实用上也无须知道个别质点的运动情况，所以除了少数情况外，在工程流体力学中很少采用拉格朗日法。x, y, z ,t-欧拉变量，其中x，y，z与时间t有关。欧拉法是常用的方法。2 2欧拉欧拉(Euler)(Euler)法法 欧拉法以考察不同流体质点通过固定空间点的运动情况来了解整个流动空间内的流动情况,即着眼于各种运动要素的场分布.流场法,是空间-时间描述法。欧拉法中的加速度欧拉法中的加速度 - - 质点速度矢量对时间的变化率。 三个分量。加速度是流速场的全 导数。全加速度,随体导数,质点导数质点的加速度包括
5、两个部分：（1）当地加速度（时变加速度,局地加速度） 特定空间点处速度对时间的变化率； （2）迁移加速度（位变加速度,对流加速度） 对应于质点空间位置改变所产生的速度变化。当地加速度迁移加速度2-2 2-2 描述流体运动的一些基本概念描述流体运动的一些基本概念一恒定流与非恒定流一恒定流与非恒定流 ( (定常流与非定常流与非定常定常流流) )流场中所有的运动流场中所有的运动要素不随时间变化要素不随时间变化流场中有运动流场中有运动要素随时间变化要素随时间变化二、迹线(pathline)vv迹线：流体质点的运动轨迹线迹线：流体质点的运动轨迹线vvLagrangeLagrange法：迹线方程法：迹线方
6、程 初始时刻初始时刻 时质点的坐标时质点的坐标 ，积，积分得该质点的迹线方程。分得该质点的迹线方程。二、流线(streamline)vv流线：流线：流线：流线：某一时刻处处与速度矢量相切的空间曲线-瞬时性。vv任一时刻任一时刻任一时刻任一时刻t t t t，曲线上每一点处的切向量，曲线上每一点处的切向量，曲线上每一点处的切向量，曲线上每一点处的切向量 都与该点的速度向量都与该点的速度向量都与该点的速度向量都与该点的速度向量 相切。相切。相切。相切。vv流线微分方程：流线微分方程：流线微分方程：流线微分方程：v2v1v3v4迹线与流线的区别vv流线的性质流线的性质流线的性质流线的性质：vv对于非
7、定常流场，不同时刻通过同一空间点的流线一般不重对于非定常流场，不同时刻通过同一空间点的流线一般不重对于非定常流场，不同时刻通过同一空间点的流线一般不重对于非定常流场，不同时刻通过同一空间点的流线一般不重合；对于定常流场，流线与迹线重合。合；对于定常流场，流线与迹线重合。合；对于定常流场，流线与迹线重合。合；对于定常流场，流线与迹线重合。vv流线不能相交（驻点和速度无限大的奇点除外）。流线不能相交（驻点和速度无限大的奇点除外）。流线不能相交（驻点和速度无限大的奇点除外）。流线不能相交（驻点和速度无限大的奇点除外）。vv流线的走向反映了流速方向，疏密程度反映了流速的大小分流线的走向反映了流速方向，
8、疏密程度反映了流速的大小分流线的走向反映了流速方向，疏密程度反映了流速的大小分流线的走向反映了流速方向，疏密程度反映了流速的大小分布。布。布。布。 vv迹线和流线的区别迹线和流线的区别迹线和流线的区别迹线和流线的区别：vv迹线迹线迹线迹线是是是是同一流体质点同一流体质点同一流体质点同一流体质点在不同时刻的位移曲线，与在不同时刻的位移曲线，与在不同时刻的位移曲线，与在不同时刻的位移曲线，与LagrangeLagrangeLagrangeLagrange观观观观点对应；点对应；点对应；点对应；vv流线流线流线流线是是是是同一时刻、不同流体质点同一时刻、不同流体质点同一时刻、不同流体质点同一时刻、不
9、同流体质点速度向量的包络线，与速度向量的包络线，与速度向量的包络线，与速度向量的包络线，与EulerEulerEulerEuler观点对应。观点对应。观点对应。观点对应。 例例 已知平面流动 求 t = 0 时，过点 M (-1，-1) 的流线。解解 由式 得将 t = 0，x = -1，y = -1 代入，得瞬时流线 xy = 1, 流线是双曲线。积分后得到：xy2. 求迹线将已知速度分布代入式(2.2.1)可得，上式是一上式是一阶线性常微分方程，其解性常微分方程，其解为，将将给定的初定的初值代入上式，定入代入上式，定入积分常数：分常数：，因此，所求的迹因此，所求的迹线方程方程为，上式消去上
10、式消去t 得得比比较式（式（1 1）和式（）和式（2 2）可知，非定常流可知，非定常流动中迹中迹线和流和流线是不同的。是不同的。三流管三流管, , 流束、流量和平均流速流束、流量和平均流速流管 - 由流线组成的管状曲面。流束 - 流管内的流体。例例 管道内、渠道内的流动流体可以被当成是一个总流。总流 -多个流束的集合。 过水断面过水断面, ,流量流量, ,断面平均流速断面平均流速过水断面-与流束或总流流线成正交的断面。流量-单位时间内通过某一过水断面的流体体积称为流量。断面平均流速四、均匀流与非均匀流四、均匀流与非均匀流v均匀流：均匀流中各过水断面上的流速分布图沿程不变，过水断面是平面，沿程各
11、过水断面的形状和大小都保持一样。 例：等直径直管中的液流或者断面形状和水深不变的长直渠道中的水流都是均匀流。 流线为直线，互相平行，过流断面面积和流速分布沿流程不变。v非均匀流：录像（均匀流）录像（非均匀流）问题：何谓均匀流及非均匀流？以上分类与过流断面上流速分布是否均匀有无关系？答案：均匀流是指流线是平行直线的流动。非均匀流是流线不是平行直线的流动。这个分类与过流断面上流速分布是否均匀没有关系。问题：恒定流、均匀流等各有什么特点？答案：v恒定流是指各运动要素不随时间变化而变化，恒定流时流线迹线重合，且时变加速度等于0。v均匀流是指各运动要素不随空间变化而变化，均匀流的位变加速度等于0。五一元
12、流五一元流, ,二元流二元流, ,三元流三元流一元流动 - 流动参数只与一个坐标变量有关。x例例二元流动- 流动参数与两个坐标变量有关。三元流动(空间流动) - 流动参数与三个坐标变量有关。2-3 2-3 连续性方程连续性方程一一 微分形式的连续方程微分形式的连续方程流入的流体流入的流体- -流出的流体流出的流体= =微元体内流体的增加微元体内流体的增加zxyy y方向方向 流入的流体流入的流体- -流出的流体流出的流体x x方向方向 流入的流体流入的流体- -流出的流体流出的流体z z方向方向 流入的流体流入的流体- -流出的流体流出的流体微元微元体内流体的增加体内流体的增加连续性方程连续性
13、方程连续性方程对于三维定常流动对于不可压缩流体的三维流动( = const.)，对于不可压缩流体的二维流动( = const.)矢量表示式物理意义：不可压缩流体单位时间内流入单位空间的流体体积（质量），与流出的流体体积（质量）之差等于零。适用范围：理想流体和实际流体例：例例 不可压缩流体平面流动的速度分布为求 a, b 的值。解解 由不可压缩流体二维流动的连续性方程知道由此得到 。二二 积分形式的连续方程积分形式的连续方程对于任意一个流体系统，质量守恒定律的数学表达式为图2.3.2 微元体积图2.3.2 微元体积关系式可推广到任意物理量根据流体系统的质量守恒定律，式（）可写成这就是连续性积分方程。其物理意义是：在单位时间内，由于控制体内密度变化引起的质量变化量（增加量或减少量）与通过控制体表面的质量净流出量（流出与流入的质量差）之和等于零。 若为一维不可压缩定常管流（一维流即表示运动参数在同一截面上是均匀分布的，只在流动方向上发生变化），则有
