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1、圆板的切割问题背景内容背景内容你正受聘向一家制造公司的生产经理提供合理方案。生产工序的一部分是从1米1米的钢板上切割圆板。用圆板冲床从每块钢板上压切16块直径为0.25米的小圆板，问你是否能重新安排切割方案以减少损耗呢？从相同的钢板上切割出直径为0.1米的圆板时，减少浪费的最佳方案又是什么呢？能否构成一个数学公式用于计算从给定尺寸的钢板上切半径为r的圆板的最大数量呢？1提出问题提出问题已知圆板、钢板的尺寸，求最有效的切割方案和一块钢板能切出的圆板的最大数量。建立模型建立模型列出有关因素如表6.1。对象类型符号单位钢板长度输入参数L米钢板宽度输入参数b米圆板半径输入参数r米圆板数量输出变量N整数
2、损耗输出变量W%2假假 设设:1假设冲床能高精度地光滑切割，可让圆与圆彼此相切。2每个圆之间接触的形式（除掉邻近钢板边缘的圆）为：（1）与四个圆相切（“四点相切”或“方形排列”）；（2）与六个圆相切（“六点相切”或“三角形排列”）。3求数学解求数学解最简单的形式如图6.1所示呈现四点接触的方形排列，如前所述，有和N=16； 损耗为4对于这种切割方式，考虑参数值的变化。5所以圆盘总数为损耗现对L，b和r的一般取值，讨论可能出现六点相切的情形。6按横行的形式考虑由图6.3易见，当b是r的奇数倍（即），那么直到b增加到足以再容纳一个圆盘前，每行包括个圆板。当b增大时，各行交替为和个，直到增大到使每行
3、都包含个圆盘为止。7看图6.3所示的垂直边可见，在每行有n个圆板的情况下，8因此在各行交替有n+1个n和个圆板的情况下，当x为偶数时，长行（每行有n+1个圆板）个数是当x为奇数时是于是x为偶数，总数为x为奇数，则9结论总结如下：各种情况下，10模型说明模型说明不能说哪种方法更佳，对参数值的变化，两种方法都可能更有效。应注意对参数的两个整数值，N值可能不变但损耗会改变。对，r=0.05的情况，引用上面六点相切式的方法得所以用各行所含圆盘数不等情况（）下的公式得四点相切式显然为100个，所以要次一些。11 思考：思考：1数量105还能增加吗？若用相等行和不等行的混合方案，可求出各行圆板个数为10，
4、9，10，9，10，9，10，9，10，10，10，总数为106个呢！这种混合策略值得考虑。2四点相切式不必为方形排列，采用一种错开的形式如图6.4所示，研究一下这种形式的效率。3把模型扩展为在同一块钢板上切两种不同尺寸的圆板的情况，在什么条件下小圆板能嵌在大圆板缝隙之间呢？12销售新种子1问题开拓种子股份有限公司已经培育出一个新品种的作物，并且计划于1985年首次出售其种子。虽然在初期种子量不足，但公司希望最终成为货源充足的大销售商。于是，公司每年生产出的种子中有一部分要留作再生产用。在公司发展的最初阶段必须考虑：保留较大份额的种子用作再生产，仅出售小部分还是只保留小部分而影响下一步的再生产
5、。要研究的问题是：以获得最大利润为目标，建立种子的保留量与出售量之间不同分配比例的经济关系。132教学注解在问题中提出对销售来说要以最大利润为目标，也可以有其它的提法。例如，公司可设定关于种子的需求目标，要求在尽可能短的时间内达到这一目标。此问题要求学生具备相当于大学入学资格的高水准的数学知识，并不需要生物学或经济学方面的专门知识。3用公式来表示这一模型解决这类问题的一个有效的技巧是首先列出与建立公式有关的一些特征。下面列出13项是可能提出的众多特征中的一部分，但对于解决所提的问题差不多已够了。141特征表（a）从播种到作物结籽，生产出种子的时间;(b)每株作物的种子产量;（c）作物是否是杂交
6、品种;（d）在不好的生长季节，有效产量是多少;（e）种子的成本;（f）土地的价格，例如税与租金;（g）市场对种子的需求;（h）种子出售部分与留作播种部分之比;（i）土地的使用量;（j）管理费用，例如肥料、暖气等;15（k）销售价格;（l）物价上涨的因素;（m）这类作物在市场上能畅销多久？.为减少建立模型的复杂性，我们要对上述这些特征作一些假定。2假定下面每条假定后面的括号内的英文字母表示这条假定是对这些字母表示的特征而言的。（1）作物是一年生的植物，春天播种，秋天收割，不是杂交品种，每株作物（从一粒种子得到）可生产出r粒种子。（）；（2）生长季节连续多年都不坏，因而r可看作常量（）；16（3）
7、为进行生产仅培育和试验了少量种子，因而培育成本（即种子的最初成本）可以忽略不计（）；（4）土地的使用量不受限制，单位重量种子的生产成本与售价都是常数（这一假定似乎与物价涨落的事实有矛盾，但我们假定在我们考察的期间内利润是常量，因而成本的提高可以用提高售价来抵消）；每单位重量种子的生产成本及售价分别为c、s()；（5）在m年内对种子有一个恒定的需求量，它大于种子的生产量，m年后，由于改良种子的出现，需求量将减少（）；（6）在一个生长季节内生产出来的种子全部用光（用于出售及下一年的再生产），种子在第n+1年的播种量是第n年收获量的a倍(h)。17对上面的假定我们不作解释。把这些假设用于构造模型，那
8、末它们必影响由该模型得出的解。3一个简单模型目标是研究不同的销售策略（即分配比例），以获取最大利润。我们仅考虑前m年内的利润，因为此后的需求量开始下降。考虑每年的播种量在前一年的收获量中占的份额是固定的这种策略，于是a取为常量。假设第n年的种子播种，所以第一年的播种量是P1（P表示重量单位），第n年末的收获量是(假定1，2)。因为种子播种是上一年收获量的a倍，18于是第n+1年种子的播种量而出售量则是，第n年的利润到第m年年底总利润19故而到m年年底的总利润T由下式给出于是问题就是选取a，以使T为最大。4上述模型的两个结论A：当种子的供应量远低于需求量时，就要增加留作再生产用的种子量，以使得以
9、后几年中有更多的种子可供出售。20按此它给出（当r1与a1，收获量就大于播种量）。种子的播种量恰到好处，即公司每年的售量都相同，满足需求，这是平衡状态。当最初的种子量不能满足需求时，有几年就要提高留作再生产用的份额，这就要21然而，当在某年需求被满足了，那末以后几年中我们要取使得不会产生有卖不出去的种子。当今我们假定这段时期内供应量均不能满足需要，所以。B：每年的利润应该是正的，于是第n年的利润Yn它给出不等式（6.2-1）与（6.2-2）给出了a的界，即224a的一些解我们选取r,s与c的某适当值，再对不同的m值（从第一年到需求量开始下降的这一年之间的年数）来求使T为最大值的a值，并记这个值
10、为此模型适用于多种作物，但对于不同的作物，r,s与c的值是不同的。例如对马铃薯r大致是10，冬小麦r大约是20，而卷心菜r可以是几百。下面我们对r与的不同数值对来找，当然求的方法很多，不限于此法。对某个品种的马铃薯，我们假定r=8,(为什么假定)，记，有2324表6.2表示了对不同的m值所求得的的值。表6.22345670.250.390.450.500.520.53我们用m=6来作解释。m=6，即在6年期限内使利润最大的经营策略是：公司应该把每年收获量的52%用作下一年的播种用，这样总利润是1377(镑)。25再考虑这6年的土地使用量。对a=0.52，每年种子的播种量由表6.3查出，表中的数
11、值是由算得。年123456种子的播种量当第1年马铃薯的种子量是1吨，那末第6年就要播种1246吨马铃薯种子。每英亩土地大致可种1吨，于是公司需要1200英亩以上的土地。26在英国，农场的平均规模大致是260英亩。所以公司需要用相当5个农场的土地来种马铃薯。在这个解中，土地的使用面积几乎每年都是前一年的四倍，这分明是一个不足之处。我们可以用下面方法来修正上面的经营策略；对用于播种的土地面积限制为A英亩，这样所需的种子量就是A（吨），即公司每年只要留下A吨的种子作播种用。这是一个稳定状态，在这个稳定状态中的值就从最优值减小成。例如，取A=300P1，由表2知在第5年取这个值，那末在第5年可生产出马铃薯种子2400P1。27保留其中的300P1吨作第6年的播种用，出售量从原来的1154P1变为2100P1。而第6年的收获量仍是2400P1，它远小于原计划的81246P1=9968P1（吨）。当然这修正策略是无法达到最大利润这一目标的。5两个可选择的策略1)设可供使用的土地能播种A吨种子，当收获量不大于A吨时就不出售，当收获量大于A吨时，每年保留A吨，出售余下的部分。2)不把a当作常量，把它看成是n的函数。（你可把a看作是增函数，也可把它看成是减函数）28
