《实对称矩阵的特征值和特征向量》由会员分享，可在线阅读，更多相关《实对称矩阵的特征值和特征向量（16页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、3.3 实对称矩阵特征值和特征向量永远永远可以对角化可以对角化。实数域上的对称矩阵简称为实数域上的对称矩阵简称为实对称矩阵实对称矩阵。这类矩阵的最大优点是这类矩阵的最大优点是特征值都是实数特征值都是实数，定理定理4.12 实对称矩阵的特征值都是实数。实对称矩阵的特征值都是实数。一、一、 实对称矩阵特征值的性质实对称矩阵特征值的性质证明：设证明：设是是 阶实对称矩阵，阶实对称矩阵， 是矩阵是矩阵 的在复数的在复数域上的任一特征值，域上的任一特征值， 属于属于 的特征向量为的特征向量为两边取两边取复数共轭复数共轭得到得到则则 ， 于是，于是， (4.11)由于由于 ，对最后一式取复数转置，对最后一
2、式取复数转置，得到得到两边再右乘两边再右乘 ，得到得到所以有所以有特征值都是实数。特征值都是实数。这样，这样， 是实数。是实数。由由 的任意性，的任意性，实对称矩阵实对称矩阵 的的特征向量都是实数向量。特征向量都是实数向量。附注：附注：进一步地有，进一步地有， 实对称矩阵实对称矩阵的属于特征值的的属于特征值的一、 实对称矩阵特征值的性质定理定理4.12 实对称矩阵实对称矩阵的特征值都是实数。的特征值都是实数。对上面第一式两边左乘对上面第一式两边左乘 ，的特征向量。的特征向量。 定理定理实对称矩阵实对称矩阵的属于不同的属于不同特征向量相互特征向量相互正交正交。证明：证明：特征值的特征值的设设 ，
3、是实对称矩阵是实对称矩阵 的不同特征值，的不同特征值，分别是属于特征值分别是属于特征值 ，于是于是，得到得到 （）（）而而于是有于是有这样，由这样，由 得到得到 是正交的。是正交的。，即，即与与特征向量相互正交的线性无关组。特征向量相互正交的线性无关组。【注注】 实对称矩阵实对称矩阵的属于不同特征值的的属于不同特征值的向量向量 和和 对应特征向量对应特征向量 在在中里中里4中，中，例例1 1矩阵矩阵是实对称矩阵，是实对称矩阵， 特征值特征值 （二重）（二重）对应特征对应特征都正交。都正交。把它们化为标准正交组。把它们化为标准正交组。当然，当然，彼此不正交，彼此不正交，但可以通过但可以通过标准正
4、交化方法标准正交化方法为为 矩阵。矩阵。 把把 分块为分块为 ，也是也是 的属于的属于 的的定理定理设设是阶是阶实对称矩阵实对称矩阵, 则则存在正交阵存在正交阵 , 使使 为对角阵为对角阵. .下面证明对于阶实对称矩阵来说定理成立。下面证明对于阶实对称矩阵来说定理成立。证明证明： 对矩阵对矩阵的阶数的阶数用数学归纳法。用数学归纳法。当当 时时, 定理结论显然成立定理结论显然成立.假设对于所有假设对于所有 阶实对称矩阵来说定理成立。阶实对称矩阵来说定理成立。故不妨设故不妨设 是单位向量，是单位向量， 设设是是 的一个特征值，的一个特征值，是属于特征值是属于特征值 的的特征特征向量向量, 显然单位
5、向量显然单位向量特征向量特征向量.第一列任意正交矩阵。第一列任意正交矩阵。记记是以是以 为为其中其中则则 及及 与与 的各列向量都正交，的各列向量都正交，注意到注意到根据归纳法假设，根据归纳法假设，其中其中为为 阶实对称矩阵。阶实对称矩阵。使得使得 对对存在存在 阶正交矩阵阶正交矩阵所以所以并且并且令令 ，则则均为均为 阶正交矩阵，阶正交矩阵，这表明这表明阶实对称矩阵定理结论成立。阶实对称矩阵定理结论成立。为对角矩阵。为对角矩阵。 根据数学归纳法原理，根据数学归纳法原理，对任意对任意对每个对每个 ,其中其中 为为 重的，重的，二、 实对称矩阵对角化方法具体步骤如下具体步骤如下:根据定理，根据定
6、理，任意一个实对称矩阵都可以对角化。任意一个实对称矩阵都可以对角化。求出求出 的所有特征值的所有特征值,第一步第一步对给定实对称矩阵对给定实对称矩阵 ， 解特征方程，解特征方程，设设 的所有不同的特征值为的所有不同的特征值为；第二步第二步解齐次线性方程组解齐次线性方程组求出它的一个基础解系求出它的一个基础解系 ；得到正交向量组得到正交向量组 ， 第三步第三步 利用施米特正交化方法，利用施米特正交化方法，把把正交化，正交化，再把再把 单位化，单位化，得到一个得到一个标准正交组标准正交组 ， ；注意：注意：它们都是属于它们都是属于的线性无关特征向量！的线性无关特征向量！且且第四步第四步令令 ，则则
7、是正交阵是正交阵,为对角阵，为对角阵，与与 中正交列向量组（中正交列向量组（特征向量特征向量！）排列顺序！）排列顺序相对应相对应。 附注附注： 矩阵矩阵主对角线元素（主对角线元素（特征值特征值！）排列顺序！）排列顺序（实对称矩阵（实对称矩阵A 的标准形！）的标准形！）在不计排列顺序情况下，在不计排列顺序情况下，这种对角化形式这种对角化形式是唯一的。是唯一的。例例2 对矩阵对矩阵求一正交阵求一正交阵 ,使使成对角矩阵。成对角矩阵。的特征多项式为的特征多项式为解：解：矩阵矩阵解解特征方程特征方程得特征值得特征值 （二重），（二重）， 。即求解即求解对于对于 ，解齐次线性方程组解齐次线性方程组得到一
8、个基础解系得到一个基础解系 ， 。 对于对于 ，即求解即求解解齐次线性方程组解齐次线性方程组 ，得到一个基础解系得到一个基础解系 。把把正交化：正交化：得到得到将将单位化，单位化，构造矩阵构造矩阵 的属于的属于0的特征向量为的特征向量为。则则为正交矩阵，为正交矩阵，并且使得矩阵并且使得矩阵对角化为对角化为 ：，求矩阵，求矩阵 。例例3设三阶实对称矩阵设三阶实对称矩阵的特征值为的特征值为 ，（二重），（二重），而而解：解： 因因三阶实对称矩阵必可对角化三阶实对称矩阵必可对角化，本题中本题中对应于二重对应于二重特征值特征值1的线性无关向量的线性无关向量 应有两个特征向量组成，应有两个特征向量组成， 设为设为。根据定理根据定理4.13,它们都与它们都与 正交，正交，故故 是是齐次线性方程组齐次线性方程组的基础解系，的基础解系，所以，可取所以，可取 （彼此正交彼此正交）将它们单位化：将它们单位化：则则 ，是正交组，是正交组，构造矩阵构造矩阵 则则 为正交矩阵，为正交矩阵，对角化为对角化为 ： 并且使得并且使得矩阵矩阵于是于是
