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1、利用二分法求方程的近似解利用二分法求方程的近似解中央电视台中央电视台“幸运幸运52”录制现场录制现场有奖竞猜有奖竞猜问题情境：问题情境：请同学们猜一猜某物品的价格请同学们猜一猜某物品的价格xx零点存在性原理零点存在性原理: :xxx函数函数y=f(x)在区间在区间a,b上有一个变号零点上有一个变号零点x0,且且f(a)0,f(b)0,f( )0,则则x0在哪个区间内在哪个区间内( )A. ,b B. a, C. ,a D. b, B练习练习:ab 问题问题1.能否求解以下几个方程能否求解以下几个方程 (1) 2x=4-x (2) x2-2x-1=0 (3) x3+3x-1=0问题问题2. 不解
2、方程不解方程,能否求出方程（能否求出方程（2）的近似解？）的近似解？四大数学思想：等价转化,函数与方程,数形结合,分类讨论可得：方程x2-2x-1=0 一个根x1在区间(2,3)内，另一个根x2在区间(-1,0)内问问题题3不不解解方方程程，如如何何求求方方程程x2-2x-1=0的一个正的近似解（精确到）的一个正的近似解（精确到）? xy1 203y=x2-2x-1-1由此可知：借助函数f(x)= x2-2x-1的图象，我们发现f(2)=-10，这表明此函数图象在区间(2,3)上穿过x轴一次，可得出方程在区间(2,3)上有惟一解.画出y=x2-2x-1的图象，如图 ,满足精确度，停止操作,所求
3、近似解为思考：如何进一步有效缩小根所在的区间？思考：如何进一步有效缩小根所在的区间？2-3+xy1 203y=x2-2x-1-12-3+2.5+2.25-2.375-2-3+2.25-2.5+2.375-2.4375+2-2.5+3+232.52-3+2.5+2.25-22.52.25问题问题问题问题3 3不解方程，如何求方程不解方程，如何求方程不解方程，如何求方程不解方程，如何求方程x x2 2-2-2x x-1=0-1=0的一个正的近似解（精确到）的一个正的近似解（精确到）的一个正的近似解（精确到）的一个正的近似解（精确到）? ? 简述上述求方程近似解的过程简述上述求方程近似解的过程简述上
4、述求方程近似解的过程简述上述求方程近似解的过程x1(2,3) f(2)0x1(2,2.5)f(2)0x1(2.25,2.5) f(2.25)0x1(2.375,2.5) f(2.375)0x1(2.375,2.4375) f(2.375)0f(2.5)=0.250 f(2.25)= -0.43750 f(2.375)= -0.23510解：设f (x)=x2-2x-1，设x1为其正的零点问题问题4能否描述二分法？能否描述二分法？ 对于在区间对于在区间a,b上连续不断，且上连续不断，且f (a)f (b)0的函数的函数y=f (x)，通过不断地把函数，通过不断地把函数f(x)的的零点所在的区间一
5、分为二，使区间的两端点逐零点所在的区间一分为二，使区间的两端点逐步逼近零点，进而得到零点步逼近零点，进而得到零点( (或对应方程的根或对应方程的根) )近似解的方法叫做二分法。近似解的方法叫做二分法。数学建构数学建构问题问题5：二分法实质是什么？：二分法实质是什么？ 用二分法求方程的近似解，实质上就是通用二分法求方程的近似解，实质上就是通过过“取中点取中点”的方法，运用的方法，运用“逼近思想逼近思想”逐步逐步缩小零点所在的区间。缩小零点所在的区间。 -322.5+-2.75+-322.5+-+-23已知已知f(2)0，求方程，求方程f(x)=lnx+2x-6=0的近似解的近似解-2.52.75
6、+如此下去，我们是否会得到方程如此下去，我们是否会得到方程lnx+2x-6=0的根？的根？ 假如此问题中，要求精确度为假如此问题中，要求精确度为0. 1，我们该将此过，我们该将此过程进行到哪里？如何确认已经达到要求呢？程进行到哪里？如何确认已经达到要求呢？用二分法求方程的近似解一般步骤：用二分法求方程的近似解一般步骤：四大数学思想：等价转化,函数与方程,数形结合,分类讨论用二分法求函数变号零点的一般步骤用二分法求函数变号零点的一般步骤: : 2. 2.取区间中点进行计算取区间中点进行计算取区间中点进行计算取区间中点进行计算, ,确定下一区间确定下一区间确定下一区间确定下一区间; ;3.3.循环
7、进行循环进行循环进行循环进行, ,达到精确要求达到精确要求达到精确要求达到精确要求. .1.1.由零点存在性定理由零点存在性定理由零点存在性定理由零点存在性定理, ,求出初始区间求出初始区间求出初始区间求出初始区间; ; 给定精确度给定精确度，用二分法求函数，用二分法求函数y=f(x)y=f(x)零点零点近似近似值的步的步骤：1 1、确定区间、确定区间 a a, ,b b （使（使f f( (a a)f f( (b b)0)0）2 2、求区间（、求区间（a a, ,b b）的中点）的中点c c3 3、计算、计算f f( (c c) )(1)若若f(c)=0，则，则c就是函数的零点就是函数的零点
8、, 计算终止。计算终止。(2)(2)若若f(f(a a)f f( (c c)0,)0,则零点则零点x x0 0 ( (a a, ,c c) ) ，否则零点否则零点x x0 0 ( (c c, ,b b) )4 4、重复步骤、重复步骤2-32-3，直至达到精确度，直至达到精确度：例题：利用计算器，求方程例题：利用计算器，求方程2x=4-x的近似解的近似解 （精确到）（精确到）12xy404y=2xy=4-x1怎样找到它的解所在的区间呢？在同一坐标系内画函数在同一坐标系内画函数y=2x 与与y=4-x的图象，如图：的图象，如图：提问：能否不画图确定根所在的区间？提问：能否不画图确定根所在的区间？得
9、得:方程有一个解方程有一个解x0 (0,4)如果画得很准确，可得如果画得很准确，可得x0 (1,2)数学运用解：设函数f (x)=2x+x-4则f (x)在R上是增函数f (0)= -30 f (x)在(0,2)内有惟一零点， 方程2x+x-4 =0在(0,2)内有惟一解x0。由f (1)= -10得：x0(1,2)由f (1.5)= 0.330, f (1)=-10得：x0(1,1.5)由f (1.25)= -0.370得：x0(1.25,1.5)由f (1.375)= -0.0310得：x0(1.375,1.5)由f (1.4375)= 0.1460, f (1.375)0得：x0(1.375,1.4375)四大数学思想：等价转化,函数与方程,数形结合,分类讨论练习练习1： 求方程求方程x3+3x-1=0的一个近似解的一个近似解(精确到精确到 0.01)画y=x3+3x-1的图象比较困难，变形为x3=1-3x，画两个函数的图象如何？xy10y=1-3xy=x31有惟一解有惟一解x0(0,1)
