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1、反应谱及其工程应用反应谱及其工程应用薄景山( (中国地震局工程力学研究所，哈尔滨，中国地震局工程力学研究所，哈尔滨，150080)150080)下一页上一页一、地震作用和结构抗震验算一、地震作用和结构抗震验算1. 1. 地震作用地震作用地地地地震震震震时时时时，由由由由地地地地面面面面运运运运动动动动对对对对结结结结构构构构引引引引起起起起的的的的动动动动态态态态作作作作用用用用叫地震作用叫地震作用叫地震作用叫地震作用l 弹性地震作用弹性地震作用l 塑性地震作用塑性地震作用l 假想弹性地震作用假想弹性地震作用l 设计地震作用设计地震作用下一页上一页2.结构抗震验算l等效荷载法：底部剪力法，振型
2、分解反应谱法。l时程分析法举例：水平地震作用下，底部剪力法。把每层楼简化为一等效总荷载为单质点，则水平地震力FEk的表达式为：下一页上一页式中： 结构总水平地震作用标准值； 相应于结构基本自振周期的水平地震影响 系数值，多层砌体房屋、底层框架和多层内 框架砖房，可取水平地震影响系数最大值； 结构等效总重力荷载，单质点应取总重力荷 载代表值，多质点可取总重力荷载代表值的 85%； 质点i的水平地震作用标准值； 分别为集中于质点i,j的重力荷载代表值； 下一页上一页 分别为质点i,j的计算高度； 顶部附加地震作用系数，多层钢筋混凝土房屋可按 表1采用，多层内框架砖房可采用0.2，其它房屋可 不考虑
3、；顶部附加水平地震作用。Fn+FnGiGiGjFEkHiHj图1 结构水平地震作用计算简图表1 顶部附加地震作用系数下一页上一页3. 3. 值的确定值的确定 称为地震影响系数，由规范规定的曲线确定称为地震影响系数，由规范规定的曲线确定称为地震影响系数，由规范规定的曲线确定称为地震影响系数，由规范规定的曲线确定l地震影响系数地震影响系数: :l动力系数动力系数: :l地震系数地震系数: :l 为我们通常意义上的反应谱为我们通常意义上的反应谱l 地面运动加速度最大值地面运动加速度最大值下一页上一页图图2为单质点自由度体系的力学模型。对该模型进行受力分析。为单质点自由度体系的力学模型。对该模型进行受
4、力分析。二、反应谱的概念二、反应谱的概念x0(t)x(t)sID下一页上一页x0(t)：地面位移，地面位移，x(t)：质点相对地面的位移（相对位移）质点相对地面的位移（相对位移）x0(t)+x(t)：质点的绝对位移。质点的绝对位移。惯性力：惯性力：弹性恢复力：弹性恢复力：阻尼力：阻尼力：下一页上一页 D DAlembertAlembert原理：对具有加速度的运动物体，只要原理：对具有加速度的运动物体，只要考虑它含惯性力在内的力平衡，就可能将动力问题当成静考虑它含惯性力在内的力平衡，就可能将动力问题当成静力平衡问题来处理，这一原理称为达良贝尔原理。就是物力平衡问题来处理，这一原理称为达良贝尔原理
5、。就是物体运动的任一瞬间，作用在物体上的外力和惯性力相互平体运动的任一瞬间，作用在物体上的外力和惯性力相互平衡。衡。下一页上一页1. 1. 单质点的运动方程单质点的运动方程单质点的运动方程单质点的运动方程 单质点（质量为单质点（质量为m），），单自由度的弹性体系在地面发单自由度的弹性体系在地面发生的位移为生的位移为x0(t) ，质点相对地面的位移为质点相对地面的位移为x(t)，质点的运质点的运动方程可以通过质点的受力分析，利用动方程可以通过质点的受力分析，利用 DAlembert 原理原理得到：得到： （2-1）式中：式中：m质点的质量质点的质量 c 结构的阻尼系数结构的阻尼系数 k 支持质点
6、的弹性杆的刚度支持质点的弹性杆的刚度 x(t)质点对地面的相对位移质点对地面的相对位移 x0(t)地地面发生的位移面发生的位移下一页上一页(2-1) 式可简化为：式可简化为： （2-2）式中：式中： 称为质点振动的圆频率称为质点振动的圆频率 称为结构的阻尼比，是结构的阻称为结构的阻尼比，是结构的阻 尼系数与其临界阻尼系数之比。尼系数与其临界阻尼系数之比。式式(2-2)为一常系数的二阶非齐次微分方程，其通解由两部分组为一常系数的二阶非齐次微分方程，其通解由两部分组成，一为齐次解，一为特解。根据自由振动方程可以得到齐次成，一为齐次解，一为特解。根据自由振动方程可以得到齐次解；利用瞬时冲量引起的自由
7、振动，由解；利用瞬时冲量引起的自由振动，由Duhamel积分可以得到积分可以得到特解，由此可以得到单质点弹性体系对地震动的相对位移反应特解，由此可以得到单质点弹性体系对地震动的相对位移反应x(t),相对速度反应相对速度反应 和绝对加速度反应和绝对加速度反应 。 下一页上一页 (2-3) (2-4) (2-5)式中： 称为阻尼固有圆频率。在实际结构中，h的数值很小(h1)，因此，有阻尼频率d与无阻尼频率相差不大,实际计算中可近似地取 ，T为自振周期。由此，公式(2-3)、公式(2-4)和公式(2-5)可写成如下形式：下一页上一页(2-6)(2-7)(2-8)下一页上一页2. 2. 反应谱的概念及
8、求法反应谱的概念及求法反应谱的概念及求法反应谱的概念及求法 从从(2-6)(2-6)、(2-7)(2-7)和和(2-8)(2-8)式可以看出，式可以看出， 和和 都是都是t, Tt, T和和h h的函数，而且是随时间的函数，而且是随时间t t不断地变化的。从不断地变化的。从结构设计的角度出发，人们关心的是反应的最大值而不结构设计的角度出发，人们关心的是反应的最大值而不是随时间变化的反应形式。若设地震时，单质点系所产是随时间变化的反应形式。若设地震时，单质点系所产生的最大相对位移、最大相对速度及最大绝对加速度分生的最大相对位移、最大相对速度及最大绝对加速度分别为别为S Sd d、S Sv v和和
9、S Sa a，则：则：（2-9）(2-10)(2-11)下一页上一页 以阻尼比以阻尼比h h为参数，利用式为参数，利用式(2-9)(2-9)、式、式(2-10)(2-10)和式和式(2-(2-11)11)，把函数，把函数S Sd d(h,T),S(h,T),Sv v(h,T)(h,T)和和S Sa a(h,T)(h,T)针对一定阻尼固有周针对一定阻尼固有周期期T T画成图形画成图形, ,则它们分别称为相对位移反应谱、相对速度反则它们分别称为相对位移反应谱、相对速度反应谱和绝对加速度反应谱。应谱和绝对加速度反应谱。 可见，反应谱是具有不同周期和一定阻尼的单质点结构可见，反应谱是具有不同周期和一定
10、阻尼的单质点结构在地震地面运动影响下最大反应与结构自振周期的关系曲线。在地震地面运动影响下最大反应与结构自振周期的关系曲线。不同阻尼的单质点结构在地震地面运动影响下的反应过程曲不同阻尼的单质点结构在地震地面运动影响下的反应过程曲线和由此得到的反应谱见图线和由此得到的反应谱见图3 3，给定阻尼，给定阻尼( (h h0 0) )，确定反应谱的确定反应谱的方法见图方法见图4 4。T2(Sa)2T3(Sa)3(Sa)1T1时间(Sa)1(Sa)2(Sa)3h0h1h3T1T2T3周期(sec)T1,h1T2,h1T3,h1地震输入加速度（b）反应波形反应波形（c）反应谱反应谱（a）阻尼常数一定，固有周
11、期阻尼常数一定，固有周期 不同的单质点系不同的单质点系间时加速度反应最大加速度反应反应图图3 地震反应谱的地震反应谱的 形成过程说明形成过程说明给定：结构阻尼比：h0结构自振周期：Tn地震地面加速度记录：计算单自由度体系绝对加速度反应时程曲线由绝对加速度反应的时程曲线确定最大的绝对加速度Sa绘制坐标为设定新的Ta值tsaTTah=h0图图4 反应谱曲线计算流程反应谱曲线计算流程下一页上一页3. 3. 地震反应谱和设计反应谱地震反应谱和设计反应谱地震反应谱和设计反应谱地震反应谱和设计反应谱(1)(1) 地震反应谱地震反应谱 地震反应谱是根据一次地震中强震仪记录的加速度地震反应谱是根据一次地震中强
12、震仪记录的加速度时程计算得到的谱。地震反应谱在本质上反映的是地震时程计算得到的谱。地震反应谱在本质上反映的是地震动强度与频谱特性，它不反映具体的结构特性。动强度与频谱特性，它不反映具体的结构特性。(2) (2) 设计反应谱设计反应谱 设设计计反反应应谱谱是是抗抗震震设设计计中中采采用用的的反反应应谱谱。它它是是对对建建筑筑结结构构在在其其使使用用期期限限内内可可能能经经受受的的地地震震作作用用的的预预测测结结果果，通通常常是是根根据据对对大大量量实实际际地地震震记记录录的的反反应应谱谱进进行行统统计计分分析析并并结结合合经经验验判判断断加加以以规规定定的的。设设计计反反应应谱谱在在本本质质上上
13、是是对对设设计计地地震震力力的的一一种种规规定定。这这是是因因为为，设设计计反反应应谱谱并并不不反反映映一一次次具具体体的的地地震震动动过过程程的的特特性性，而而是是从从工工程程设设计计的的角角度度在在总总体体上上把把握握地地震震动动特特性性。这这种种把把握握，可可以以是是统统计计平平均意义上的把握。也可以是严格概率意义上的把握均意义上的把握。也可以是严格概率意义上的把握。下一页上一页 工程上，常采用相对于重力加速度的单质点绝对最大加速工程上，常采用相对于重力加速度的单质点绝对最大加速度，即度，即S Sa a/g/g与体系自振周期与体系自振周期T T之间的关系作为设计用的反应谱，之间的关系作为
14、设计用的反应谱，并将并将S Sa a/g/g用表示，称为地震影响系数。实际上，用表示，称为地震影响系数。实际上，其中：其中： 称为地震系数，它和地面运动的强度有关，是称为地震系数，它和地面运动的强度有关，是一个反映地震动强度特性的参数，一个反映地震动强度特性的参数， 称为动力放大系称为动力放大系数，表示由于动力效应，质点的最大绝对加速度比地面最大加数，表示由于动力效应，质点的最大绝对加速度比地面最大加速度放大了多少倍，它可以反映地震动的频谱特性。速度放大了多少倍，它可以反映地震动的频谱特性。下一页上一页(3) (3) 一致危险性反应谱一致危险性反应谱 一一致致危危险险性性反反应应谱谱的的基基本
15、本含含义义是是在在不不同同周周期期处处的的反反应应谱谱值值具具有有相相同同的的超超越越概概率率值值。这这类类反反应应谱谱源源于于地地震震危危险险性性分分析析的的研研究究工工作作，根根据据对对基基岩岩地地震震记记录录反反应应谱谱的的统统计计分分析析，可可以以建建立立不不同同周周期期点点的的基基岩岩地地震震动动衰衰减减关关系系。通通常常，取取震震级级与与距距离离作作为为统统计计公公式式中中的的基基本本变变量量，在在给给定定了了震震级级与与距距离离的的前前提提下下，可可以以由由基基岩岩反反应应谱谱的的衰衰减减关关系系中中给给出出具具体体的的反反应应谱谱。这这样样，便便有有了了所所谓谓考考虑虑震震级级
16、、距距离离影影响响的的基基岩岩反反应应谱谱的的概概念念。在在地地震震危危险险性性分分析析中中，在在主主要要周周期期点点处处分分别别计计算算参参数数S Sa a(T)(T)的的不不同同超超越越概概率率的的地地震震危危险险性性曲曲线线，则则可可以以从从这这一一簇簇地地震震危危险险性性曲曲线线中中，按按照照统统一一设设定定的的设设防防概概率率水水准准给给出出一一致致危危险险性性反应谱。反应谱。下一页上一页(4) (4) 双参数标定反应谱双参数标定反应谱 双双参参数数标标定定反反应应谱谱是是利利用用地地震震动动峰峰值值加加速速度度和和峰峰值值速速度度来来确确定定反反应应谱谱的的频频谱谱特特征征与与幅幅
17、值值特特征征的的方方法法。它它是是将将反反应应谱谱的的频频谱谱特特征征变变化化与与幅幅值值变变化化统统一一在在一一起起考考虑虑，其其加速度反应谱的表达方式为：加速度反应谱的表达方式为：(2-12)下一页上一页 式式中中，b b1 1, , b b2 2,b,b3 3,r,r为为标标定定常常数数，a ai i,v,vi i为为地地震震动动峰峰值值加加速速度度与与峰峰值值速速度度，T T1 1和和T T2 2分分别别为为反反应应谱谱的的两两个个拐拐点点周周期期，T T3 3为计算截止周期为计算截止周期( (T T3 3=3=3秒秒) )。 根根据据拐拐点点处处的的连连续续条条件件可可在在T T1
18、1、T T2 2与与a ai i、v vi i之之间间建建立立起起定定量量关关系系，利利用用强强震震记记录录的的归归一一地地震震反反应应谱谱的的资资料料，经经过统计给出各标定常数，尽而确定反应谱的形状。过统计给出各标定常数，尽而确定反应谱的形状。 双双参参数数标标定定反反应应谱谱，既既适适用用于于基基岩岩反反应应谱谱，也也适适用用于于地地表表设设计计反反应应谱谱，所所不不同同的的仅仅在在于于a ai i,v,vi i的的取取值值和和标标定定常常数时的数时的 ( (T)T)的样本的取值不同。的样本的取值不同。下一页上一页(5) 5) 拟反应谱、三联反应谱和标准反应谱拟反应谱、三联反应谱和标准反应
19、谱 由公式由公式(2-9)(2-9)、(2-10)(2-10)、(2-11)(2-11)可见，可见，S Sd d、S Sv v、S Sa a之之间存在如下简单的近似的关系：间存在如下简单的近似的关系： 利利用用(2-13)(2-13)式式的的关关系系，已已知知一一种种谱谱，所所近近似似求求得得的的另另外的谱叫做拟（或伪）反应谱。外的谱叫做拟（或伪）反应谱。由由(2-13)(2-13)式得：式得：(2-13)(2-14)下一页上一页 可可见见，这这些些谱谱的的对对数数值值和和频频率率的的对对数数值值有有一一个个简简单单的的线线性性关关系系，这这样样就就有有可可能能把把三三个个谱谱值值绘绘制制在在
20、同同一一坐坐标标图图上，这样的图称为三联反应谱或称三重反应谱。上，这样的图称为三联反应谱或称三重反应谱。 在在实实际际应应用用中中，常常将将各各类类谱谱值值与与地地面面地地震震动动的的最最大大值值相相比比，构构成成一一无无量量纲纲的的反反应应谱谱，这这类类反反应应谱谱称称为为标标准准反反应谱，标准反应谱的定义如下：应谱，标准反应谱的定义如下：l 标准加速度反应谱：标准加速度反应谱：l 标准速度反应谱：标准速度反应谱： l 标准位移反应谱：标准位移反应谱： 下一页上一页l 建筑抗震设计规范建筑抗震设计规范建筑抗震设计规范建筑抗震设计规范( ( ( (GBJ11GBJ11GBJ11GBJ1189)
21、89)89)89) 建建筑筑抗抗震震设设计计规规范范（以以下下称称“建建规规”）中中规规定定的的设设计计用用的的反反应应谱谱是是相相应应于于结结构构阻阻尼尼比比h=0.05h=0.05时时的的曲曲线线，它它是是由由两两部部分分组组成成，在在T0.1ST0.1S范范围围内内采采用用一一条条向向上上倾倾斜斜的的直直线线；在在0.10.1STTSTTg g范范围围内内用用水水平平线线；在在T Tg gT3ST3ST3S时，设计反应谱须另行由专门研究决定。规时，设计反应谱须另行由专门研究决定。规定地震影响系数曲线应根据远震、近震、场地的类别和定地震影响系数曲线应根据远震、近震、场地的类别和结构的自振周
22、期由图结构的自振周期由图5 5确定。确定。maxmax0.45maxmax00.1Tg3.0T(s)(Tg/T)0.9maxmax图图5 “建规建规”地震影响系数曲线地震影响系数曲线下一页上一页 截面抗震验算时，水平地震影响系数（小震）最大值应截面抗震验算时，水平地震影响系数（小震）最大值应按表按表3-1确定。特征周期根据场地类别和近震、远震按表确定。特征周期根据场地类别和近震、远震按表3-2确定。确定。表表3-1 “建规建规”截面抗震验算的水平地震截面抗震验算的水平地震 影响系数最大值影响系数最大值maxmax表表3-2 “建规建规”特征周期值特征周期值(s)下一页上一页 新的建筑抗震设计规
23、范(国标，2002年1月1日实施，GB50011-2001）规定的地震影响系数曲线如图6maxmax0.45maxmax00.1Tg5 TgT(s)1=(Tg/T)2maxmax6.0=20.2-1(T-5T)max图6 下一页上一页l l 构筑物抗震设计规范构筑物抗震设计规范( (GB50191GB501919393） 构筑物抗震设计规范（以下简称“构规”）规定，地震影响系数曲线应根据烈度、场地指数和结构的自振周期按图7确定，其下限值不应小于最大值的10%。maxmax0.45maxmax00.1Tg7.0T(s)(Tg/T)0.9maxmax图7 “构规”地震影响系数曲线下一页上一页 在在
24、进进行行截截面面抗抗震震验验算算时时，若若阻阻尼尼比比为为5%5%，则则构构筑筑物物的的水水平平地地震震影影响响系系数数的的最最大大值值可可按按表表3-33-3采采用用，当当构构筑筑物物的的阻阻尼尼比比不不等等于于5%5%时时，其其水水平平地地震震影影响响系系数数应应按阻尼修正系数进行修正。按阻尼修正系数进行修正。“构构规规”规规定定，特特征征周周期期，应应根根据据场场地地指指数数，按按下下式计算：式计算：表3-3 “构规”截面抗震验算的水平地震影响系数最大值(2-16)下一页上一页 对对于于基基本本自自振振周周期期大大于于1.51.5S S且且位位于于中中软软、软软场场地地上上的的高高柔柔结
25、结构构物物，在在按按上上式式计计算算特特征征周周期期时时，其其值值宜宜增增加加0.150.15S S。 “建建规规”和和“构构规规”设设计计反反应应谱谱的的差差别别主主要要在在三三方方面面，第第一一，“构构规规”将将计计算算的的截截止止周周期期增增至至7 7S S；第第二二，“构构规规”的的特特征征周周期期是是按按场场地地指指数数来来确确定定，放放弃弃了了远远震震和和近近震震的的概概念念，这这就就要要求求和和第第三三代代全全国国地地震震烈烈度度区区划划图图相相一一致致；第第三三，在在确确定定水水平平地地震震影影响响系系数数最最大大值值时增加考虑了抗震设计水准。时增加考虑了抗震设计水准。 结束结束
