《线性代数：LA5-3 实对称矩阵的相似对角化》由会员分享，可在线阅读，更多相关《线性代数：LA5-3 实对称矩阵的相似对角化（29页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、5.35.3实对称矩阵的相似对角化实对称矩阵的相似对角化 设设 A 为为 n 阶实对称矩阵，本节的目的：阶实对称矩阵，本节的目的：Q的列向量是的列向量是A的特征向量的特征向量Q的列向量组标准正交的列向量组标准正交 关键关键：求求 A 的的 n 个个标准正交的特征向量标准正交的特征向量。 希望找到一个希望找到一个 n 阶正交矩阵阶正交矩阵 Q ，使得，使得 定义定义元素为复数的矩阵和向量分别被称为元素为复数的矩阵和向量分别被称为复矩阵复矩阵和和复向量复向量。 则称则称 为为 的的共轭矩阵共轭矩阵。 定义定义设设 为复数为复数， 为为 的共轭复数的共轭复数， 共轭矩阵有以下性质：共轭矩阵有以下性质
2、：若若A可逆可逆, ,则则 另外对任意另外对任意n元复向量元复向量 都有都有且仅当且仅当 时时, ,等号成立等号成立。说明：说明：本节所提到的对称矩阵，除非特别说本节所提到的对称矩阵，除非特别说明，均指实对称矩阵。明，均指实对称矩阵。定理定理 实对称矩阵的特征值都是实数。实对称矩阵的特征值都是实数。 注注1 实矩阵的特征值未必是实数，例如实矩阵的特征值未必是实数，例如 一、实对称矩阵的特征值和特征向量一、实对称矩阵的特征值和特征向量 注注2 实对称矩阵的特征向量都是实向量。实对称矩阵的特征向量都是实向量。 定理定理 实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量是正交
3、的。是正交的。 证明证明 A，实对阵矩阵；，实对阵矩阵； 、 ， A的两个不同的的两个不同的特征值；特征值；X、Y， A的分别对应于的分别对应于 、 的特征向量。则的特征向量。则 于是于是又又 - - 0 ，所以，所以 ，即，即 由此得由此得 X与与Y正交。正交。 二、实对称矩阵的相似对角化二、实对称矩阵的相似对角化 定理定理 设设 是是n阶实对称矩阵阶实对称矩阵A的任一特征值，的任一特征值，p、q 分别为分别为 的代数重数和几何重数，则的代数重数和几何重数，则 p = q。 推论推论 实对称矩阵可相似对角化。实对称矩阵可相似对角化。 例例 已知矩阵已知矩阵 有特征值有特征值 1(二重二重)和
4、和 3，对应的特征向量为，对应的特征向量为 容易验证，容易验证， 是正交向量组。令是正交向量组。令 则则 是标准正交的特征向量。是标准正交的特征向量。 令令 则则 Q是正交矩阵且是正交矩阵且 例例 已知矩阵已知矩阵 有特征值有特征值 2(二重二重)和和 - -7，对应的特征向量为，对应的特征向量为 容易验证，容易验证， 但但 与与 不不正交。正交。 对对 与与 进行进行Schmidt正交化正交化： 则则 与与 也是也是A对应特征值对应特征值2的特征向量。这样，的特征向量。这样， (= )是两两正交的特征向量。是两两正交的特征向量。 再令再令 则则 是标准正交的特征向量。是标准正交的特征向量。
5、令令 则则 Q是正交矩阵且是正交矩阵且 定理定理 对任一对任一n阶实对称矩阵阶实对称矩阵A，存在，存在n阶正交矩阵阶正交矩阵Q，使得，使得 其中其中 为矩阵为矩阵A的全部特征值。的全部特征值。 实对称矩阵实对称矩阵 A 正交相似对角化的一般过程：正交相似对角化的一般过程：是线性无关的特征向量是线性无关的特征向量 是是两两正交的特征向量两两正交的特征向量 是是标准正交的特征向量标准正交的特征向量 其中，其中，若令若令 则则Q是正交矩阵且是正交矩阵且 例例 求正交矩阵求正交矩阵 Q ，使，使 为对角矩阵，为对角矩阵， 解解 A的特征值为的特征值为 2 (三重三重)和和 - -2 对对 ，解，解 得
6、基础解系得基础解系 正交化：正交化： 单位化：单位化： 对对 ，解，解 得基础解系得基础解系 令令 则则 取取 例例 设设A是是3阶实对称矩阵，特征值为阶实对称矩阵，特征值为1 (二重二重)和和2，且已知且已知 A属于属于2的一个特征向量的一个特征向量 。求。求A。 解解 设设 是是A属于属于1的特征向量，的特征向量，则则 ，即，即 解出它的一组基础解系为解出它的一组基础解系为 可证，可证， 恰为恰为A属于属于1的两个线性无关的特征向的两个线性无关的特征向量。令量。令 ，则，则 线性无线性无关。取关。取 则则 由此得由此得 （另法另法）把把 正交化、单位化，得正交化、单位化，得 令令则则 Q是正交矩阵且是正交矩阵且 由此得由此得作业作业 习题五习题五(P262)： 29(1)(2)(6) (29-39题均可作为练习题均可作为练习)
