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1、传热与流体流动的数值计算2009年3月6日第第4 4章章 扩散方程的数值解法扩散方程的数值解法及其应用及其应用1传热与流体流动的数值计算4.1 4.1 一维导热问题一维导热问题一、一维导热问题的通用控制方程一、一维导热问题的通用控制方程坐标系空间变量x面积因子A(x)直角x1圆柱rr球rr22传热与流体流动的数值计算一、一维导热问题的通用控制方程（续）一、一维导热问题的通用控制方程（续）3传热与流体流动的数值计算二、用控制容积积分法导出离散形式二、用控制容积积分法导出离散形式假设： （源项线性化）4传热与流体流动的数值计算二、用控制容积积分法导出离散形式（续）二、用控制容积积分法导出离散形式（
2、续）分段线性插值（中心差分）5传热与流体流动的数值计算三、界面上当量导热系数的确定方法三、界面上当量导热系数的确定方法根据界面上热流密度连续的原则：根据界面上当量导热系数的含义：调和平均法：6传热与流体流动的数值计算三、界面上当量导热系数的确定方法（续）三、界面上当量导热系数的确定方法（续）算术平均法：调和平均法优于算术平均法。导热系数发生阶跃变化时的处理方法： (1)把阶跃面作为控制容积的分界面。 (2)把阶跃面设置成一个节点的位置。（更准确）7传热与流体流动的数值计算四、一维非稳态导热方程及其离散化四、一维非稳态导热方程及其离散化采用全隐格式离散：8传热与流体流动的数值计算四、一维非稳态导
3、热方程及其离散化（续）四、一维非稳态导热方程及其离散化（续）令：得：其中：9传热与流体流动的数值计算4.2 4.2 多维非稳态导热问题的全隐格式多维非稳态导热问题的全隐格式一、三种正交坐标系中的全隐离散方程(1)直角坐标系非稳态项：10传热与流体流动的数值计算一、三种正交坐标系中的全隐离散方程（续）源项：扩散项：11传热与流体流动的数值计算一、三种正交坐标系中的全隐离散方程（续）整理得：其中：12传热与流体流动的数值计算一、三种正交坐标系中的全隐离散方程（续）(2)圆柱轴对称坐标系13传热与流体流动的数值计算一、三种正交坐标系中的全隐离散方程（续）(3)极坐标系14传热与流体流动的数值计算二、
4、三种坐标系中全隐格式的通用离散形式三种坐标系的区别： x-y x-r q-r东西坐标 x x q 引入尺度系数SX南北坐标 y r r 引入名义半径R通用离散形式：15传热与流体流动的数值计算二、三种坐标系中全隐格式的通用离散形式（续）16传热与流体流动的数值计算二、三种坐标系中全隐格式的通用离散形式（续）17传热与流体流动的数值计算4.3 4.3 源项及边界条件的处理源项及边界条件的处理一、非常数源项的线性化处理说明：1、当源项为未知量的函数时，线性化处理比假定为常数更合理。2、线性化处理是建立代数方程所必须的。3、为了保证代数方程迭代求解收敛，要求SP0。4、SP绝对值的大小影响到迭代过程
5、中温度的变化速度。18传热与流体流动的数值计算一、非常数源项的线性化处理（续）-举例19传热与流体流动的数值计算二、边界条件的处理1、补充边界节点代数方程的方法第2类BC：内节点法Dx=0，得第3类BC：得：由控制容积平衡法导出离散方程物理意义明确。对于不规则区域，可用区域扩充法使之成为规则区域。20传热与流体流动的数值计算二、边界条件的处理（续）21传热与流体流动的数值计算二、边界条件的处理（续）2、附加源项法P点的通用方程：22传热与流体流动的数值计算二、边界条件的处理（续）第3类BC：23传热与流体流动的数值计算二、边界条件的处理（续）附加源项法的实施步骤：(1)计算与边界相邻的内部节点
6、控制容积的附加源项SC,ad及SP,ad ，并将它们分别加入到该控制容积原有的SC， SP中去。(2)令该边界上节点的导热系数lB=0，以使aW=0。(3)按常规方法建立起内节点的离散方程，并在内节点的范围内求解代数方程组。(4)获得收敛的解以后按Fourier导热定律或Newton冷却公式解出未知的边界温度。24传热与流体流动的数值计算二、边界条件的处理（续）3、两种处理方法的比较附加源项法优于补充节点方程法 (1)有利于用统一模式来处理三种边界条件。 (2)可以缩小计算区域。 (3)节省计算时间。25传热与流体流动的数值计算4.4 4.4 求解离散方程的三对角阵算法求解离散方程的三对角阵算
7、法及交替方向隐式算法及交替方向隐式算法一、三对角阵算法（TDMA）Thomas算法将： 消元与回代写成：目的：26传热与流体流动的数值计算一、三对角阵算法（续）先求P1，Q1：27传热与流体流动的数值计算一、三对角阵算法（续）第1类边界条件下TDMA实施i=1：由于T1已知，应取P1 =0，Q1 = T1依此可以求得P、Q TM1已知求解步骤： (1)消元过程从i=2开始，取P1 =0，Q1 = T1 (2)回代过程从i=M2开始，28传热与流体流动的数值计算一、三对角阵算法（续）0029传热与流体流动的数值计算二、交替方向隐式算法Peaceman-Rachford ADI格式非稳态问题交替方向隐式算法(Implicit)与 ADI稳态非线性问题交替方向迭代法(Iteration)在本质上是一致的。30
