第十章-动量定理

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1、 实际的问题是：实际的问题是： 1 1、联立求解微分方程、联立求解微分方程( (尤其是积分问题尤其是积分问题) )非常困难。非常困难。 2 2、大量的问题中，不需要了解每一个质点的运动、大量的问题中，不需要了解每一个质点的运动, ,仅需仅需要研究质点系整体的运动情况。要研究质点系整体的运动情况。动力学普遍定理概述动力学普遍定理概述动力学普遍定理概述动力学普遍定理概述对对质点质点动力学问题：动力学问题： 建立质点运动微分方程求解。建立质点运动微分方程求解。对对质点系质点系动力学问题：动力学问题： 理论上讲，理论上讲，n个质点列出个质点列出 3n个微分方程，个微分方程， 联立求解它们即可。联立求解

2、它们即可。1 从本章起从本章起, , 将要讲述解决动力学问题的其它方法将要讲述解决动力学问题的其它方法, , 而而首先要讨论的是首先要讨论的是动力学普遍定理动力学普遍定理( (包括包括动量定理动量定理、动量矩定动量矩定理理、动能定理动能定理及由此推导出来的其它一些定理及由此推导出来的其它一些定理) )。 它们以简明的数学形式，它们以简明的数学形式， 表明两种量表明两种量 一种是同运动一种是同运动特征相关的量特征相关的量( (动量、动量矩、动能等动量、动量矩、动能等) )，一种是同力相关的量，一种是同力相关的量( (冲量、力冲量、力 矩、功等矩、功等) ) 之间的关系，从不同侧面对物体的之间的关

3、系，从不同侧面对物体的机械运动进行深入的研究机械运动进行深入的研究。在一定条件下，用这些定理来解答在一定条件下，用这些定理来解答动力学问题非常方便简捷动力学问题非常方便简捷 。 2内力内力：所考察的质点系内各质点之间相互作用的力。因内力成：所考察的质点系内各质点之间相互作用的力。因内力成对对 出现且等值反向，故对整个质点系来讲，内力系的主矢恒出现且等值反向，故对整个质点系来讲，内力系的主矢恒等于零，内力系对任一点（或轴）的主矩恒等于零。即：等于零，内力系对任一点（或轴）的主矩恒等于零。即：质点系的内力与外力质点系的内力与外力外力外力：所考察的质点系以外的物体作用于该质点系中各质点：所考察的质点

4、系以外的物体作用于该质点系中各质点的力。的力。3第十章第十章动动 量量 定定 理理 本章研究本章研究质点和质点系的动量定理质点和质点系的动量定理质点和质点系的动量定理质点和质点系的动量定理，建立了，建立了动量动量动量动量的改变与力的冲量之间的关系的改变与力的冲量之间的关系的改变与力的冲量之间的关系的改变与力的冲量之间的关系，并研究质点系动量定，并研究质点系动量定理的另一重要形式理的另一重要形式质心运动定理质心运动定理质心运动定理质心运动定理。4 几个有意义的实际问题几个有意义的实际问题地面拔河与太空拔河，谁胜谁负地面拔河与太空拔河，谁胜谁负？动力学动力学/ /动量定理动量定理5？ 偏心转子电动

5、机偏心转子电动机偏心转子电动机偏心转子电动机工作时为什么会左工作时为什么会左工作时为什么会左工作时为什么会左右运动；右运动；右运动；右运动； 这种运动有什么这种运动有什么这种运动有什么这种运动有什么规律；规律；规律；规律；会不会上下跳动；会不会上下跳动；会不会上下跳动；会不会上下跳动；利弊得失。利弊得失。利弊得失。利弊得失。动力学动力学/ /动量定理动量定理610-1 10-1 动量与冲量动量与冲量1 1、动量动量动量动量 是是是是瞬时矢量瞬时矢量瞬时矢量瞬时矢量； 质点的动量质点的动量质点的动量质点的动量 单位：单位：单位：单位：kgkgkgkg m/s m/s m/s m/s 动量动量动量

6、动量是度量物体是度量物体是度量物体是度量物体机械运动强弱程度机械运动强弱程度机械运动强弱程度机械运动强弱程度的一个物理量。的一个物理量。的一个物理量。的一个物理量。枪弹：质量小，但速度大，动量可以很大；枪弹：质量小，但速度大，动量可以很大；枪弹：质量小，但速度大，动量可以很大；枪弹：质量小，但速度大，动量可以很大；船：速度小，但质量大，动量可以很大。船：速度小，但质量大，动量可以很大。船：速度小，但质量大，动量可以很大。船：速度小，但质量大，动量可以很大。例如例如例如例如：动力学动力学/ /动量定理动量定理 质点的质量与速度的积质点的质量与速度的积质点的质量与速度的积质点的质量与速度的积 。

7、方向与方向与方向与方向与 相同；相同；相同；相同；7质点系中各质点动量的质点系中各质点动量的质点系中各质点动量的质点系中各质点动量的矢量和矢量和矢量和矢量和。质点系的动量质点系的动量质点系的动量质点系的动量 质点系的质量与其质心速度的乘积等于质点系的动量。质点系的质量与其质心速度的乘积等于质点系的动量。质点系的质量与其质心速度的乘积等于质点系的动量。质点系的质量与其质心速度的乘积等于质点系的动量。它在直角坐标轴上的投影为它在直角坐标轴上的投影为它在直角坐标轴上的投影为它在直角坐标轴上的投影为动力学动力学/ /动量定理动量定理8设第设第设第设第i i个刚体个刚体个刚体个刚体 ，则整个系统的动量：

8、，则整个系统的动量：，则整个系统的动量：，则整个系统的动量：刚体系统的动量刚体系统的动量刚体系统的动量刚体系统的动量动力学动力学/ /动量定理动量定理9例例例例1 1 ：试计算图示三种情形刚体的动量。试计算图示三种情形刚体的动量。试计算图示三种情形刚体的动量。试计算图示三种情形刚体的动量。则其动量大小为则其动量大小为解：解：解：解： ( (a a) )长为长为 l、质量质量m的均质细杆，角速度为的均质细杆，角速度为 。方向与质心速度方向相同。方向与质心速度方向相同。动力学动力学/ /动量定理动量定理10(b)(b) 质量为质量为m的均质滚轮，质心的速度为的均质滚轮，质心的速度为vC 。方向与质

9、心速度方向相同，水平向右。方向与质心速度方向相同，水平向右。(c)(c)质量为质量为m的均质轮，绕中心转动，角速度为的均质轮，绕中心转动，角速度为 。动力学动力学/ /动量定理动量定理11例例例例2 2 2 2 ： 椭圆规机构椭圆规机构椭圆规机构椭圆规机构A AO OB BC C求：求：求：求：图示位置时系统的总动量。图示位置时系统的总动量。图示位置时系统的总动量。图示位置时系统的总动量。已知：已知：已知：已知：OCOCACACCBCBl l；滑块滑块滑块滑块A A和和和和B B的质量均为的质量均为的质量均为的质量均为mm，曲柄曲柄曲柄曲柄OCOC和和和和连杆连杆连杆连杆ABAB的质量忽略不计

10、；曲柄的质量忽略不计；曲柄的质量忽略不计；曲柄的质量忽略不计；曲柄以等角速度以等角速度以等角速度以等角速度 绕绕绕绕O O轴旋转；图示轴旋转；图示轴旋转；图示轴旋转；图示位置时，角度位置时，角度位置时，角度位置时，角度 为任意值。为任意值。为任意值。为任意值。将滑块将滑块将滑块将滑块A A和和和和B B看作两个质点，则整个系统即为两个看作两个质点，则整个系统即为两个看作两个质点，则整个系统即为两个看作两个质点，则整个系统即为两个质点组成的质点系。质点组成的质点系。质点组成的质点系。质点组成的质点系。 解：解：解：解：动力学动力学/ /动量定理动量定理12建立建立建立建立 O x y O x y

11、 坐标系，则有坐标系，则有坐标系，则有坐标系，则有A AO OB BC Cx xy y 也可以先确定系统的质心，以及质心的速度，然后再计算系统也可以先确定系统的质心，以及质心的速度，然后再计算系统也可以先确定系统的质心，以及质心的速度，然后再计算系统也可以先确定系统的质心，以及质心的速度，然后再计算系统的总动量。的总动量。的总动量。的总动量。动力学动力学/ /动量定理动量定理132 2 2 2、冲量、冲量、冲量、冲量 冲量是力在其冲量是力在其冲量是力在其冲量是力在其作用时间内作用时间内作用时间内作用时间内对物体作用的累积效应对物体作用的累积效应对物体作用的累积效应对物体作用的累积效应的度量。的

12、度量。的度量。的度量。 例如：例如：例如：例如：推动车子时，较大的力作用较短的时间，与较小的推动车子时，较大的力作用较短的时间，与较小的推动车子时，较大的力作用较短的时间，与较小的推动车子时，较大的力作用较短的时间，与较小的力作用较长的时间，可得到同样的总效应。力作用较长的时间，可得到同样的总效应。力作用较长的时间，可得到同样的总效应。力作用较长的时间，可得到同样的总效应。a. a. 力是常矢量力是常矢量力是常矢量力是常矢量元冲量：元冲量：元冲量：元冲量：冲量：冲量：冲量：冲量：b.b. 力是变矢量力是变矢量力是变矢量力是变矢量（包括大小和方向的变化）（包括大小和方向的变化）（包括大小和方向的

13、变化）（包括大小和方向的变化）动力学动力学/ /动量定理动量定理14单位：单位：单位：单位：与动量单位相同。与动量单位相同。与动量单位相同。与动量单位相同。c. c. 合力的冲量合力的冲量合力的冲量合力的冲量等于各分力冲量的等于各分力冲量的等于各分力冲量的等于各分力冲量的矢量和矢量和矢量和矢量和。动力学动力学/ /动量定理动量定理1510-210-210-210-2动量定理动量定理动量定理动量定理一、质点的动量定理一、质点的动量定理一、质点的动量定理一、质点的动量定理即：即：即：即：质点的动量对时间的一阶导数等于作用于质点的力。质点的动量对时间的一阶导数等于作用于质点的力。质点的动量对时间的一

14、阶导数等于作用于质点的力。质点的动量对时间的一阶导数等于作用于质点的力。 微分形式微分形式微分形式微分形式质点的动量定理质点的动量定理质点的动量定理质点的动量定理（动量的增量等于力的元冲量）（动量的增量等于力的元冲量）（动量的增量等于力的元冲量）（动量的增量等于力的元冲量） 积分形式积分形式积分形式积分形式动力学动力学/ /动量定理动量定理16 投影形式投影形式投影形式投影形式在某一时间间隔内，动量改变量等于力在该时间内的冲量在某一时间间隔内，动量改变量等于力在该时间内的冲量在某一时间间隔内，动量改变量等于力在该时间内的冲量在某一时间间隔内，动量改变量等于力在该时间内的冲量动力学动力学/ /动

15、量定理动量定理17则则则则 常矢量常矢量常矢量常矢量，质点的动量保持不变；，质点的动量保持不变；，质点的动量保持不变；，质点的动量保持不变；若，若，若，若，若，则若，则若，则若，则 常量常量常量常量，质点的动量沿，质点的动量沿，质点的动量沿，质点的动量沿 x x 轴的轴的轴的轴的投影保持不变。投影保持不变。投影保持不变。投影保持不变。 质点的动量守恒形式质点的动量守恒形式质点的动量守恒形式质点的动量守恒形式质点的动量守恒定律质点的动量守恒定律质点的动量守恒定律质点的动量守恒定律动力学动力学/ /动量定理动量定理18二、质点系的动量定理二、质点系的动量定理二、质点系的动量定理二、质点系的动量定理

16、即即即即：质点系的动量对时间的一阶导数等于作用于质点系质点系的动量对时间的一阶导数等于作用于质点系质点系的动量对时间的一阶导数等于作用于质点系质点系的动量对时间的一阶导数等于作用于质点系 上所有上所有上所有上所有外力外力外力外力的的的的矢量和矢量和矢量和矢量和。质点系的动量定理质点系的动量定理质点系的动量定理质点系的动量定理对整个质点系：对整个质点系：对整个质点系：对整个质点系：对质点系内任一质点对质点系内任一质点对质点系内任一质点对质点系内任一质点i i ：动力学动力学/ /动量定理动量定理19 只有外力才能改变质点系的动量，只有外力才能改变质点系的动量，只有外力才能改变质点系的动量，只有外

17、力才能改变质点系的动量，内力不能改变整个质点系的动量。内力不能改变整个质点系的动量。内力不能改变整个质点系的动量。内力不能改变整个质点系的动量。 积分形式积分形式积分形式积分形式 在某一时间间隔内，质点系动量的改变量等于作用在某一时间间隔内，质点系动量的改变量等于作用在某一时间间隔内，质点系动量的改变量等于作用在某一时间间隔内，质点系动量的改变量等于作用在质点系上所有外力在质点系上所有外力在质点系上所有外力在质点系上所有外力在同一时间间隔内在同一时间间隔内在同一时间间隔内在同一时间间隔内的冲量的矢量和。的冲量的矢量和。的冲量的矢量和。的冲量的矢量和。微分形式微分形式微分形式微分形式 质点系动量

18、的增量等于作用在质点系上所有外力质点系动量的增量等于作用在质点系上所有外力质点系动量的增量等于作用在质点系上所有外力质点系动量的增量等于作用在质点系上所有外力元冲量的矢量和。元冲量的矢量和。元冲量的矢量和。元冲量的矢量和。动力学动力学/ /动量定理动量定理20 质点系动量定理的质点系动量定理的质点系动量定理的质点系动量定理的投影形式投影形式投影形式投影形式动力学动力学/ /动量定理动量定理21 质点系的动量守恒形式质点系的动量守恒形式质点系的动量守恒形式质点系的动量守恒形式若，则若，则若，则若，则 常矢量常矢量常矢量常矢量；若，则若，则若，则若，则 常量常量常量常量。 内力虽不能改变整个质点系

19、的动量，但可以引起内力虽不能改变整个质点系的动量，但可以引起内力虽不能改变整个质点系的动量，但可以引起内力虽不能改变整个质点系的动量，但可以引起系统内各质点动量的传递。系统内各质点动量的传递。系统内各质点动量的传递。系统内各质点动量的传递。质点系的动量守恒定律质点系的动量守恒定律质点系的动量守恒定律质点系的动量守恒定律动力学动力学/ /动量定理动量定理22例例例例3 3 3 3：质量为质量为质量为质量为MM的大三角形柱体，放于光滑水平面上，斜的大三角形柱体，放于光滑水平面上，斜的大三角形柱体，放于光滑水平面上，斜的大三角形柱体，放于光滑水平面上，斜面上另放一质量面上另放一质量面上另放一质量面上

20、另放一质量为为为为mm的小三角形柱体，求的小三角形柱体，求的小三角形柱体，求的小三角形柱体，求小三角形柱体滑小三角形柱体滑小三角形柱体滑小三角形柱体滑到底时到底时到底时到底时，大三角形柱体的位移。，大三角形柱体的位移。，大三角形柱体的位移。，大三角形柱体的位移。解：解：解：解：选选选选两物体组成的系统为两物体组成的系统为研究对象研究对象研究对象研究对象。受力分析受力分析受力分析受力分析：如图所示如图所示运动分析运动分析运动分析运动分析：小三角块的绝对速度为小三角块的绝对速度为由由质点系动量守恒定律质点系动量守恒定律质点系动量守恒定律质点系动量守恒定律，有，有动力学动力学/ /动量定理动量定理2

21、3例例例例4 4 4 4：斜向抛一物体，在最高点炸裂成两块，斜向抛一物体，在最高点炸裂成两块，斜向抛一物体，在最高点炸裂成两块，斜向抛一物体，在最高点炸裂成两块，一块沿原轨一块沿原轨一块沿原轨一块沿原轨道返回抛射点道返回抛射点道返回抛射点道返回抛射点，另一块落地点水平距离，另一块落地点水平距离，另一块落地点水平距离，另一块落地点水平距离则是未炸裂时应则是未炸裂时应则是未炸裂时应则是未炸裂时应有水平距离的两倍有水平距离的两倍有水平距离的两倍有水平距离的两倍。求物体炸裂后两块质量之比。求物体炸裂后两块质量之比。求物体炸裂后两块质量之比。求物体炸裂后两块质量之比。解：解：解：解： 选选选选整个物体为

22、整个物体为研究对象研究对象研究对象研究对象。受力分析受力分析受力分析受力分析： 爆炸力为内力爆炸力为内力运动分析运动分析运动分析运动分析： 设炸裂前物体的速度为设炸裂前物体的速度为v，炸开后第一块的速度为，炸开后第一块的速度为v1，继续向前；第二块的速度为继续向前；第二块的速度为v2，转向向后。转向向后。 设物体炸裂后两块质量分别设物体炸裂后两块质量分别为为m1和和m2。动力学动力学/ /动量定理动量定理24由由质点系动量守恒定律质点系动量守恒定律质点系动量守恒定律质点系动量守恒定律，有，有 若不爆炸，则物块应落在若不爆炸，则物块应落在B0，爆炸后第一块落到爆炸后第一块落到B，第二第二块落回块

23、落回O。因落下时间相同，故。因落下时间相同，故水平距离应正比于水平速度。水平距离应正比于水平速度。所以所以该例可解释炮筒反座的现象。该例可解释炮筒反座的现象。该例可解释炮筒反座的现象。该例可解释炮筒反座的现象。动力学动力学/ /动量定理动量定理25动力学动力学/ /动量定理动量定理运动分析，设经过运动分析，设经过 时间后，时间后，流体流体AB运动到位置运动到位置ab， 例例5 5 流体流过弯管时，流体流过弯管时， 在截面在截面A和和B处的平均流速处的平均流速分别为分别为 求流体对弯管产生的动压力求流体对弯管产生的动压力( (附加动压附加动压力力) )。 设流体不可压缩，流量设流体不可压缩，流量

24、q(m(m3 3/s)/s)为常量，密度为为常量，密度为 (kg/m(kg/m3 3）。）。解：解：取截面取截面A与与B之间的流体作为研究之间的流体作为研究的质点系。的质点系。受力分析如图示。受力分析如图示。26由质点系动量定理由质点系动量定理，得得动力学动力学/ /动量定理动量定理即即27静反力静反力计算计算 时，常采用投影形式时，常采用投影形式与与 相反的力就是管壁上受到的流体作用的相反的力就是管壁上受到的流体作用的动压力动压力动力学动力学/ /动量定理动量定理动反力动反力2810-3 10-3 10-3 10-3 质心运动定理质心运动定理质心运动定理质心运动定理一、质心（质量中心）一、质

25、心（质量中心）一、质心（质量中心）一、质心（质量中心）表征质点系表征质点系质量分布状况质量分布状况的一个重的一个重要概念。要概念。 质心在动力学中意义重大；质心在动力学中意义重大； 质心与重心是两个不同的概念，质心与重心是两个不同的概念， 在均匀重力场中两者位置重合。在均匀重力场中两者位置重合。动力学动力学/ /动量定理动量定理29二、质心运动定理二、质心运动定理二、质心运动定理二、质心运动定理质点系的动量定理：质点系的动量定理：即：即：即：即：质点系的质量与质心加速度的乘积，等于作用于质质点系的质量与质心加速度的乘积，等于作用于质质点系的质量与质心加速度的乘积，等于作用于质质点系的质量与质心

26、加速度的乘积，等于作用于质点系上所有外力的点系上所有外力的点系上所有外力的点系上所有外力的矢量和矢量和矢量和矢量和（外力系的主矢外力系的主矢外力系的主矢外力系的主矢）。）。）。）。质心运动定理质心运动定理质心运动定理质心运动定理将将 代入，即得代入，即得动力学动力学/ /动量定理动量定理30 1 1 1 1、质心运动定理是矢量式，应用时应取、质心运动定理是矢量式，应用时应取、质心运动定理是矢量式，应用时应取、质心运动定理是矢量式，应用时应取投影形式投影形式投影形式投影形式。讨论：讨论：讨论：讨论： 直角坐标轴直角坐标轴 自然轴自然轴动力学动力学/ /动量定理动量定理31可见：可见：可见：可见：

27、假想把整个质点系的质量集中于质心，作用于质假想把整个质点系的质量集中于质心，作用于质假想把整个质点系的质量集中于质心，作用于质假想把整个质点系的质量集中于质心，作用于质点系上的全部外力也都集中于质心，点系上的全部外力也都集中于质心，点系上的全部外力也都集中于质心，点系上的全部外力也都集中于质心，则质心的运动相当则质心的运动相当则质心的运动相当则质心的运动相当于一个质点的运动。于一个质点的运动。于一个质点的运动。于一个质点的运动。 2 2 2 2、与、与、与、与质点动力学基本方程质点动力学基本方程质点动力学基本方程质点动力学基本方程的比较的比较的比较的比较质点动力学基本方程：质点动力学基本方程：

28、质心运动方程：质心运动方程：动力学动力学/ /动量定理动量定理32 在尚无碎石落地前，所有土石块为一个在尚无碎石落地前，所有土石块为一个在尚无碎石落地前，所有土石块为一个在尚无碎石落地前，所有土石块为一个质点系质点系质点系质点系，其，其，其，其质心的运动与一个抛射体（质点）的运动一样，质心的运动与一个抛射体（质点）的运动一样，质心的运动与一个抛射体（质点）的运动一样，质心的运动与一个抛射体（质点）的运动一样，这个质这个质这个质这个质点的质量等于质点系的全部质量，作用在这个质点上的点的质量等于质点系的全部质量，作用在这个质点上的点的质量等于质点系的全部质量，作用在这个质点上的点的质量等于质点系的

29、全部质量，作用在这个质点上的力是质点系中各质点重力的总和。力是质点系中各质点重力的总和。力是质点系中各质点重力的总和。力是质点系中各质点重力的总和。 例如：例如：例如：例如： 定向爆破定向爆破定向爆破定向爆破 根据根据根据根据质心的运动轨迹质心的运动轨迹质心的运动轨迹质心的运动轨迹及需要堆积及需要堆积及需要堆积及需要堆积土石块的位置，可以设计质心的初始土石块的位置，可以设计质心的初始土石块的位置，可以设计质心的初始土石块的位置，可以设计质心的初始发射倾角和速率大小。发射倾角和速率大小。发射倾角和速率大小。发射倾角和速率大小。 再根据爆炸力学原理设计钻再根据爆炸力学原理设计钻再根据爆炸力学原理设

30、计钻再根据爆炸力学原理设计钻孔布药的型式、药量等等，实施孔布药的型式、药量等等，实施孔布药的型式、药量等等，实施孔布药的型式、药量等等，实施定向爆破定向爆破定向爆破定向爆破。动力学动力学/ /动量定理动量定理33 3 3 3 3、只有外力才能改变质点系质心的运动，内力不能改变、只有外力才能改变质点系质心的运动，内力不能改变、只有外力才能改变质点系质心的运动，内力不能改变、只有外力才能改变质点系质心的运动，内力不能改变 质心的运动，但可以改变系统内各质点的运动。质心的运动，但可以改变系统内各质点的运动。质心的运动，但可以改变系统内各质点的运动。质心的运动，但可以改变系统内各质点的运动。 如果没有

31、后轮上的如果没有后轮上的静滑动摩擦力静滑动摩擦力静滑动摩擦力静滑动摩擦力，汽车只能在原地打滑，汽车只能在原地打滑，不能前进。不能前进。问题：问题：当汽车制动时，又是什么外力使汽车的质心运动当汽车制动时，又是什么外力使汽车的质心运动 停止的呢？停止的呢？动滑动摩擦力动滑动摩擦力动滑动摩擦力动滑动摩擦力例如：例如：例如：例如：静滑动摩擦力静滑动摩擦力 汽车靠什么外力启动？汽车靠什么外力启动？动力学动力学/ /动量定理动量定理34若开始时若开始时 ，则，则 常量，常量，即即质心质心沿该轴的位置坐标沿该轴的位置坐标沿该轴的位置坐标沿该轴的位置坐标保持不变保持不变。 若若 ，则，则 常矢量，常矢量， 即

32、质心作即质心作匀速直线运动匀速直线运动匀速直线运动匀速直线运动； 4 4 4 4、质心运动守恒定律、质心运动守恒定律、质心运动守恒定律、质心运动守恒定律若开始时系统静止，即若开始时系统静止，即 则则 常矢量，常矢量，即即质心位置质心位置质心位置质心位置始终保持不变。始终保持不变。 若若 ，则，则 常量，常量， 即质心即质心的速度的速度的速度的速度在该轴上在该轴上在该轴上在该轴上投影投影投影投影保持不变保持不变；动力学动力学/ /动量定理动量定理35例例例例6 6 6 6： 电动机的外壳固定在水平基础上，定子质量为电动机的外壳固定在水平基础上，定子质量为电动机的外壳固定在水平基础上，定子质量为电

33、动机的外壳固定在水平基础上，定子质量为mm1 1，转子质量为转子质量为转子质量为转子质量为mm2 2 。设转子的轴通过定子的质心设转子的轴通过定子的质心设转子的轴通过定子的质心设转子的轴通过定子的质心O O1 1，由于制由于制由于制由于制造误差，转子质心造误差，转子质心造误差，转子质心造误差，转子质心O O2 2到到到到O O1 1的距离为的距离为的距离为的距离为e e 。求转子以角速度求转子以角速度求转子以角速度求转子以角速度 作匀速转动时，基础的约束反力。作匀速转动时，基础的约束反力。作匀速转动时，基础的约束反力。作匀速转动时，基础的约束反力。解解解解: : : : 取整个电动机作为质点系

34、研究取整个电动机作为质点系研究受力分析：受力分析： 受力图如图示受力图如图示 定子质心定子质心O1速度为速度为0，转子质心，转子质心O2的的速度速度e ，方向，方向O1O2与与转向保持一转向保持一致致。系统的动量大小：。系统的动量大小：运动分析：运动分析：动力学动力学/ /动量定理动量定理=t其投影：其投影：36由动量定理投影式由动量定理投影式：讨论：讨论：电机不转时电机不转时电机转动时，基础的约束力称为动约束力，与静约束力的电机转动时，基础的约束力称为动约束力，与静约束力的差值是由系统的运动产生的，称为附加动约束力。差值是由系统的运动产生的，称为附加动约束力。（静约束力）（静约束力）此例中的

35、附加动约束力为谐变力，引起基础的振动。此例中的附加动约束力为谐变力，引起基础的振动。37解法解法2 2受力分析受力分析： 受力图如图示受力图如图示 定子质心定子质心O1加速度加速度a1 1=0=0，转子质心转子质心O2的加速度的加速度a2 2= =e 2，方向方向O2 2指向指向O1。运动分析运动分析：根据根据质心运动定理质心运动定理，38例例例例7 7 7 7： 浮动起重船浮动起重船浮动起重船浮动起重船已知：已知：已知：已知：mm1 1=2000kg, =2000kg, mm2 2=20000kg, =20000kg, OAOA=8m=8m。设开始起吊时系统静止，设开始起吊时系统静止，设开始

36、起吊时系统静止，设开始起吊时系统静止， 1 1=60=60，水的阻力忽略不计。，水的阻力忽略不计。，水的阻力忽略不计。，水的阻力忽略不计。求：求：求：求： 2 2 =30=30时船的位移。时船的位移。时船的位移。时船的位移。解：解：解：解：取起重船、起重杆及重物组成的取起重船、起重杆及重物组成的质点系为研究对象。质点系为研究对象。受力分析：受力分析： 受力图如图示受力图如图示动力学动力学/ /动量定理动量定理O O60600 0m1gm2gOxy水平方向无受力，系统质心坐标水平方位不变。水平方向无受力，系统质心坐标水平方位不变。起重杆与铅直线成起重杆与铅直线成60600 0角时角时：建立建立o

37、xy坐标如图示。坐标如图示。船体质心的初始位置记为船体质心的初始位置记为重物质心的初始位置记为重物质心的初始位置记为3930300 0m1gm2gOxyO O60600 0m1gm2gOxyOxy起重杆与铅直线成起重杆与铅直线成60600 0角时：角时：起重杆与铅直线成起重杆与铅直线成30300 0角时：角时：设船向左移动距离设船向左移动距离 s船质心位置记为船质心位置记为x2； 重物位置记为重物位置记为x1（向左移动）（向左移动）40 例题例题8 如图所示，在静止的小船上，一人自船头走到船尾，如图所示，在静止的小船上，一人自船头走到船尾，设人质量为设人质量为m2，船的质量为船的质量为m1 ，

38、船长船长l，水的阻力不计。求水的阻力不计。求船的位移。船的位移。 Olsabxxym m1 1g gm m2 2g gm m1 1g gm m2 2g g41 解：解：取人与船组成质点系。取人与船组成质点系。设人走到船尾时，船移动的距离为设人走到船尾时，船移动的距离为s，则质心的坐标为则质心的坐标为 取取坐坐标标轴轴如如图图所所示示。在在人人走走动动前前，系统的质心坐标为系统的质心坐标为 因不计水的阻力，故外力在水平轴上的投影之和等于零，因不计水的阻力，故外力在水平轴上的投影之和等于零，即即Fix = 0又因系统初瞬时静止，因此质心在水平轴上保持不变。即有又因系统初瞬时静止，因此质心在水平轴上

39、保持不变。即有Olsabxxymm1 1g gmm2 2g gmm1 1g gmm2 2g g42可以求得小船移动的位移可以求得小船移动的位移上式代入上式代入1. 1. 质质点点系系的的内内力力（鞋鞋底底与与船船间间摩摩擦擦力力）虽虽不不能能改改变变系系统统质质心心的的运运动动，但但能能改改变变系系统中各部分的（人与船）的运动；统中各部分的（人与船）的运动；2. 2. 靠靠码码头头的的小小船船会会因因人人上上岸岸而而离离岸岸后后退退，为为防防止止，应应在在岸岸上上将船栓住。将船栓住。讨 论Olsabxxymm1 1g gmm2 2g gmm1 1g gmm2 2g g43例例例例9 9 9 9

40、：在例在例在例在例6 6 6 6中，若电动机外壳未固定，且中，若电动机外壳未固定，且中，若电动机外壳未固定，且中，若电动机外壳未固定，且摩擦不计，初始系统静止。摩擦不计，初始系统静止。摩擦不计，初始系统静止。摩擦不计，初始系统静止。解解解解: : : : 取整个电动机作为质点系研究取整个电动机作为质点系研究受力分析：受力分析： 求：求：求：求：电动机跳起的条件；电动机跳起的条件；电动机跳起的条件；电动机跳起的条件； 外壳在水平方向的运动规律。外壳在水平方向的运动规律。外壳在水平方向的运动规律。外壳在水平方向的运动规律。动力学动力学/ /动量定理动量定理= =ttxyo oNyas水平方向无受力

41、，水平方向无受力，初始系统静止，故系统初始系统静止，故系统初始系统静止，故系统初始系统静止，故系统质心坐标保持不变。质心坐标保持不变。质心坐标保持不变。质心坐标保持不变。初始时转子质心位于最低点，系统质心坐标初始时转子质心位于最低点，系统质心坐标系统质心坐标系统质心坐标转子转过转子转过 定子向左移动定子向左移动由由电机水平方向往复运动电机水平方向往复运动44电动机跳起的条件为电动机跳起的条件为当上式满足时，若电机无螺栓固定，将会离地跳动。当上式满足时，若电机无螺栓固定，将会离地跳动。动力学动力学/ /动量定理动量定理电机起跳的条件电机起跳的条件：由例由例6 6知：知：45实实实实 例例例例 4

42、6？ 地面拔河与地面拔河与地面拔河与地面拔河与太空拔河，谁太空拔河，谁太空拔河，谁太空拔河，谁胜谁负胜谁负胜谁负胜谁负动力学动力学/ /动量定理动量定理47？水水水水水池水池水池水池隔板隔板隔板隔板光滑台面光滑台面光滑台面光滑台面 抽去隔板后将会抽去隔板后将会抽去隔板后将会抽去隔板后将会发生什么现象发生什么现象发生什么现象发生什么现象动力学动力学/ /动量定理动量定理48 练练习习题题1 1 画画椭椭圆圆的的机机构构由由匀匀质质的的曲曲柄柄 OA ，规规尺尺 BD 以以及及滑滑块块B 和和 D 组组成成( 图图 a)，曲曲柄柄与与规规尺尺的的中中点点 A 铰铰接接。已已知知规规尺尺长长2l ，

43、质质量量是是 2m1 ；两两滑滑块块的的质质量量都都是是 m2 ；曲曲柄柄长长 l ，质质量量是是 m1 ，并并以以角角速速度度绕绕定定轴轴 O 转转动动。试试求求当当曲曲柄柄 OA 与与水水平平成成角角时整个机构的动量。时整个机构的动量。xyOAD B(a)49 整个机构的动量等于曲柄整个机构的动量等于曲柄OA、规尺规尺BD、滑块滑块B 和和D的动量的矢量和，即的动量的矢量和，即解法一解法一: :p = pOA + pBD + pB + pDx xyO OA AD D BvDvAvBvEE系统的动量在坐标轴系统的动量在坐标轴 x，y 上的投影分别为：上的投影分别为：练练习习题题1 1 已已知

44、知： 曲曲柄柄OA长长 l ，质质量量是是 m1，并并以以角角速速度度绕绕定定轴轴 O 转转动动。规规尺尺BD长长2l ，质质量量是是 2m1 ，两两滑滑块块的的质质量量都都是是 m2 。C50系统的动量在系统的动量在 y 轴上的投影为：轴上的投影为： 所以，系统的动量大小为所以，系统的动量大小为方向余弦为为方向余弦为为xyO OA AD D BvDvAvBvEEC 例例例例 题题题题3 3 51解法二解法二: 整个机构的动量等于曲柄整个机构的动量等于曲柄OA、规尺规尺BD、滑块滑块B 和和D的动量的矢量和，即的动量的矢量和，即p = pOA + pBD + pB + pD其中曲柄其中曲柄OA

45、的动量的动量pOA=m1vE ,大小是大小是pOA = m1vE = m1l/2其方向与其方向与vE一致，即垂直于一致，即垂直于OA并顺着并顺着的转的转向向(图图 b)xyOADBvDvAvBvEExyOADB(b)pBD+pB+pDpOA 例例例例 题题题题3 3 52 因因为为规规尺尺和和两两个个滑滑块块的的公公共共质质心心在在点点 A，它们的动量表示成它们的动量表示成p= pBD + pB + pD = 2(m1 + m2)vA由由于于动动量量 KOA 的的方方向向也也是是与与 vA 的的方方向向一一致致，所所以以整整个个椭椭圆圆机机构构的的动动量量方方向向与与 vA 相同，而大小等于相

46、同，而大小等于xyOADBvDvAvBvEExyOADB(b)pBD+pB+pDpOA 例例例例 题题题题3 3 E53 练练习习题题2 2 图图示示单单摆摆B的的支支点点固固定定在在一一可可沿沿光光滑滑的的水水平平直直线线轨轨道道平平移移的的滑滑块块A上上，设设A，B的的质质量量分分别别为mA，mB运运动动开开始始时时，x=x0， , ， 。试试求求单单摆摆B的的轨轨迹迹方方程。程。ABxm mB Bg gm mA Ag gyxO54解解：以以系系统统为为对对象象，其其运运动动可可用用滑滑块块A的的坐坐标标x和和单单摆摆摆摆动动的角度的角度两个广义坐标确定。两个广义坐标确定。解出解出单摆单摆

47、B的坐标为的坐标为则则 由由于于沿沿x方方向向无无外外力力作作用用，且且初初始始静静止止，系系统统沿沿x轴轴的的动量守恒，质心坐标动量守恒，质心坐标xC应保持常值应保持常值xC0。ABxm mB Bg gm mA Ag gyxO55消去消去，即的到单摆即的到单摆B设轨迹方程：设轨迹方程： 是是以以 x = xC0 , y = 0 为为中中心心的的椭椭圆圆方方程程，因因此此悬悬挂挂在在滑滑块上的单摆也称为椭圆摆。块上的单摆也称为椭圆摆。 ABxm mB Bg gm mA Ag gyxO56例例例例3:3:3:3: 在绝对光滑的水平面上放一半径为在绝对光滑的水平面上放一半径为在绝对光滑的水平面上放

48、一半径为在绝对光滑的水平面上放一半径为r r，质量为质量为质量为质量为MM的的的的圆环，在某一瞬间有一质量为圆环，在某一瞬间有一质量为圆环，在某一瞬间有一质量为圆环，在某一瞬间有一质量为mm的甲虫开始沿此圆环爬的甲虫开始沿此圆环爬的甲虫开始沿此圆环爬的甲虫开始沿此圆环爬行，试求甲虫及圆环中心的运动轨迹。行，试求甲虫及圆环中心的运动轨迹。行，试求甲虫及圆环中心的运动轨迹。行，试求甲虫及圆环中心的运动轨迹。解解解解: : : : 取取圆环和甲虫作为圆环和甲虫作为质点系研究质点系研究由由质心运动守恒定理质心运动守恒定理可知质心的位置是固定不变的。可知质心的位置是固定不变的。受力分析受力分析：运动分析运动分析：在水平面内不受外力在水平面内不受外力开始时系统静止开始时系统静止 由质心定义和题设条件，可知质心由质心定义和题设条件，可知质心C必在圆环中心必在圆环中心O与甲虫与甲虫A的连线上，且的连线上，且动力学动力学/ /动量定理动量定理57 因因 和和 都是常数，故都是常数，故在运动过程中，在运动过程中，甲虫甲虫和和圆环中心相对于固定点圆环中心相对于固定点C的距离始终保持不变。的距离始终保持不变。 即它们即它们的的运动轨迹为以运动轨迹为以C点为圆心，半径分别为点为圆心，半径分别为 和和 的圆。的圆。 动力学动力学/ /动量定理动量定理58