曲线的凹凸性与拐点

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1、第四章第四章 微分中值定理与导数的微分中值定理与导数的应用应用 高等数学高等数学第五节第五节4.5.14.5.1 曲线的凹凸性与拐点曲线的凹凸性与拐点一、曲线凹凸的定义问题问题:如何研究曲线的弯曲方向如何研究曲线的弯曲方向?图形上任意弧段位图形上任意弧段位于所张弦的上方于所张弦的上方图形上任意弧段位图形上任意弧段位于所张弦的下方于所张弦的下方定义定义二、曲线凹凸的判定定理定理1 1例例1 1解解注意到注意到,注：注：利用凹凸性也可以证明一些不等式。利用凹凸性也可以证明一些不等式。例例2 2解解三、曲线的拐点及其求法1 1、定义、定义注意注意:拐点处的切线必在拐点处穿过曲线拐点处的切线必在拐点处

2、穿过曲线.2 2、拐点的求法、拐点的求法证证方法方法1:1:例例3 3解解凹的凹的凸的凸的凹的凹的拐点拐点拐点拐点方法方法2:2:例例4 4解解注意注意: :例例5 5解解凹、降凹、降凸、降凸、降拐点拐点极大极大值值拐点拐点凹、凹、升升凸、凸、升升例例7 7解解拐点拐点非拐点非拐点4.5.2 渐近线渐近线定义定义: :1.1.铅直渐近线铅直渐近线例如例如有铅直渐近线两条有铅直渐近线两条: :2.2.水平渐近线水平渐近线例如例如有水平渐近线两条有水平渐近线两条: :3.3.斜渐近线斜渐近线斜渐近线求法斜渐近线求法:注意注意:例例1 1解解4.5.34.5.3 函数曲线的作图函数曲线的作图一一 利

3、用函数特性描绘函数图形利用函数特性描绘函数图形.第一步第一步第二步第二步第三步第三步第四步第四步 确定函数图形的水平、铅直渐近线、斜渐确定函数图形的水平、铅直渐近线、斜渐近线以及其他变化趋势近线以及其他变化趋势;第五步第五步二、作图举例例例2 2解解非奇非偶函数非奇非偶函数,且无对称性且无对称性.列表确定函数升降区间列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点和拐点凹凸区间及极值点和拐点:不存在不存在拐点拐点极值点极值点间间断断点点作图作图凹、降凹、降凸、降凸、降拐点拐点极大极大值值拐点拐点凹、凹、升升凸、凸、升升例例3 3解解偶函数偶函数, 图形关于图形关于y轴对称轴对称.拐点拐点极大值极大值列表

4、确定函数升降区间列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点与拐点凹凸区间及极值点与拐点:拐点拐点例例4 4解解无奇偶性及周期性无奇偶性及周期性.列表确定函数升降区间列表确定函数升降区间, 凹凸区间及极值点与拐点凹凸区间及极值点与拐点:拐点拐点极大值极大值极小值极小值四、小结函数图形的描绘综合运用函数性态的研究函数图形的描绘综合运用函数性态的研究,是导是导数应用的综合考察数应用的综合考察.最最大大值值最最小小值值极极大大值值极极小小值值拐拐点点凹的凹的凸的凸的单增单增单减单减思考题思考题思考题解答思考题解答练练 习习 题题练习题答案练习题答案第五题图第五题图练练 习习 题题练习题答案练习题答案1图图2图图二、二、3图图三、三、例例7 7解解例例8 8解解四、小结曲线的弯曲方向曲线的弯曲方向凹凸性凹凸性;改变弯曲方向的点改变弯曲方向的点拐点拐点;凹凸性的判定凹凸性的判定.拐点的求法拐点的求法1, 2.思考题思考题思考题解答思考题解答例例