《勾股定理的证明及应用复习课( 东湖中学)课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《勾股定理的证明及应用复习课( 东湖中学)课件（35页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、勾股定理勾股定理美丽的勾股树美丽的勾股树勾股定理勾股定理拼图游戏拼图游戏勾股定理勾股定理abc赵爽弦图赵爽弦图勾股定理勾股定理a印度婆什迦罗的证明印度婆什迦罗的证明c c2 = b2 + a2b勾股定理勾股定理 a2 + b2 = c2a2b2a2c2直接观察验证直接观察验证勾股定理勾股定理总统法总统法aabbcc勾股定理勾股定理勾股定理勾股定理勾股定理勾股定理勾股定理勾股定理: :直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.勾股定理逆定理勾股定理逆定理: :如果三角形的三边长a，b，c满足a2 +b2=c2 ，那么这个三角形是直角三角形作用作用: :计算长度与判断是否是直角三角形概念复习概念复
2、习勾股定理勾股定理 两千多年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣，因为这个定理太贴近两千多年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣，因为这个定理太贴近人们的生活实际，以至于古往今来，下至平民百姓，上至帝王总统都愿人们的生活实际，以至于古往今来，下至平民百姓，上至帝王总统都愿意探讨和研究它的证明因此不断出现关于勾股定理的新证法意探讨和研究它的证明因此不断出现关于勾股定理的新证法1 1传说中毕达哥拉斯的证法传说中毕达哥拉斯的证法2 2赵爽弦图的证法赵爽弦图的证法4 4美国第美国第2020任总统茄菲尔德的证法任总统茄菲尔德的证法3 3刘徽的证法刘徽的证法勾股定理的证明勾股定理的证明5 5其他证法其他证法勾股定
3、理勾股定理 这棵树漂亮吗？如果在树上挂上这棵树漂亮吗？如果在树上挂上几串彩色灯泡，再挂上些小铃铛、小几串彩色灯泡，再挂上些小铃铛、小彩球、小礼盒、小的圣诞老人，是不彩球、小礼盒、小的圣诞老人，是不是更像一棵圣诞树是更像一棵圣诞树 也许有人会问：也许有人会问：“它与勾股定理它与勾股定理有什么关系吗？有什么关系吗？仔细看看，你会发现，微妙在树仔细看看，你会发现，微妙在树干和树枝上，整棵树都是由下方的这干和树枝上，整棵树都是由下方的这个根本图形组成的：一个直角三角形个根本图形组成的：一个直角三角形以及分别以它的每边为一边向外所作以及分别以它的每边为一边向外所作的正方形的正方形 这个图形有什么作用呢？
4、不要小看它哦！古希腊的数学家毕达这个图形有什么作用呢？不要小看它哦！古希腊的数学家毕达哥拉斯就是利用这个图形验证了勾股定理哥拉斯就是利用这个图形验证了勾股定理 勾股定理勾股定理 关于勾股定理的关于勾股定理的证明，明，现在人在人类保存下来的最早的保存下来的最早的文字文字资料是欧几里得公元前料是欧几里得公元前300年左右所著的年左右所著的?几何几何原本原本?第一卷中的命第一卷中的命题47：“直角三角形斜直角三角形斜边上的正方上的正方形等于两直角形等于两直角边上的两个正方形之和其上的两个正方形之和其证明是用面明是用面积来来进行的行的传说中毕达哥拉斯的证法传说中毕达哥拉斯的证法：如图，以在：如图，以在
5、RtABC中，中，ACB=90，分别以，分别以a、b、c为为边向外作正方形边向外作正方形 求证：求证：a2 +b2=c2勾股定理勾股定理 S矩形矩形ADNM2SADC又又正方形正方形ACHK和和ABK同底同底AK、等高、等高即平行线即平行线AK和和BH间的距离，间的距离， S正方形正方形ACHK2SABK ADAB，ACAK，CADKAB， ADCABK 由此可得由此可得S矩形矩形ADNMS正方形正方形ACHK 同理可证同理可证S矩形矩形MNEBS正方形正方形CBFG S矩形矩形ADNMS矩形矩形MNEBS正方形正方形ACHKS正方形正方形CBFG 即即S正方形正方形ADEBS正方形正方形AC
6、HKS正方形正方形CBFG ， 也就是也就是 a2+b2=c2传说中毕达哥拉斯的证法传说中毕达哥拉斯的证法证明：从证明：从RtABC的三边向外各作一个正方形如图，作的三边向外各作一个正方形如图，作CNDE交交AB于于M，那么正方形，那么正方形ABED被分成两个矩形连结被分成两个矩形连结CD和和KB返回由于矩形由于矩形ADNM和和ADC同底同底AD，等高，等高(即平行线即平行线AD和和CN间的距离间的距离)，勾股定理勾股定理 我国对勾股定理的证明采取的是割我国对勾股定理的证明采取的是割补法，最早的形式见于公元三、四世纪补法，最早的形式见于公元三、四世纪赵爽的赵爽的? ?勾股圆方图注勾股圆方图注?
7、 ?在这篇短文中，在这篇短文中，赵爽画了一张他所谓的赵爽画了一张他所谓的“弦图，其中弦图，其中每一个直角三角形称为每一个直角三角形称为“朱实，中间朱实，中间的一个正方形称为的一个正方形称为“中黄实，以弦为中黄实，以弦为边的大正方形叫边的大正方形叫“弦实，所以，如果弦实，所以，如果以以a a、b b、c c分别表示勾、股、弦之长，分别表示勾、股、弦之长，那么：那么： 赵爽弦图的证法赵爽弦图的证法得：得：c2=a2+ b2返回勾股定理勾股定理刘徽在刘徽在?九章算术九章算术?中对勾股定理的证明：勾中对勾股定理的证明：勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各
8、从其类，因就其余不移动也合成弦方之幂，开方其类，因就其余不移动也合成弦方之幂，开方除之，即弦也除之，即弦也令正方形令正方形ABCD为朱方，正方为朱方，正方形形BEFG为青方在为青方在BG间取一点间取一点H，使，使AH=BG，裁下，裁下ADH，移至，移至CDI，裁下，裁下HGF，移至，移至IEF，是为，是为“出入相补，各从其类，出入相补，各从其类，其余不动，那么形成弦方正方形其余不动，那么形成弦方正方形DHFI勾股定理由此得证勾股定理由此得证 刘徽的证法刘徽的证法返回勾股定理勾股定理学过几何的人都知道勾股定理它是几何中一个比较重要的定理，应用十分广泛学过几何的人都知道勾股定理它是几何中一个比较重
9、要的定理，应用十分广泛迄今为止，关于勾股定理的证明方法已有迄今为止，关于勾股定理的证明方法已有500余种其中，美国第二十任总统伽菲余种其中，美国第二十任总统伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话尔德的证法在数学史上被传为佳话总统为什么会想到去证明勾股定理呢？难道他是数学家或数学爱好者？答案是否总统为什么会想到去证明勾股定理呢？难道他是数学家或数学爱好者？答案是否认的事情的经过是这样的：认的事情的经过是这样的：1876年一个周末的黄昏，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣年一个周末的黄昏，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔
10、德他走着走着，突然发赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨由于好奇心驱使伽菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底而小声探讨由于好奇心驱使伽菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形于是伽菲在干什么只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形于是伽菲尔德便问他们在干什么？只见那个小男孩头也不抬地说：尔德便问他们在干什么？只见
11、那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为形的两条直角边分别为3和和4，那么斜边长为多少呢？伽菲尔德答到：，那么斜边长为多少呢？伽菲尔德答到：“是是5呀呀小男孩又问道：小男孩又问道：“如果两条直角边分别为如果两条直角边分别为5和和7，那么这个直角三角形的斜边长又是多，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？伽菲尔德不加思索地答复到：少？伽菲尔德不加思索地答复到：“那斜边的平方一定等于那斜边的平方一定等于5的平方加上的平方加上7的平方的平方小男孩又说道：小男孩又说道：“先生，你能说出其中的道理吗？伽菲尔德一时语塞，无法解释先生，你能说出其中的道理吗？伽
12、菲尔德一时语塞，无法解释了，心理很不是滋味了，心理很不是滋味 于是伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他留下的难题他经过反于是伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他留下的难题他经过反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的道理，并给出了简洁的证明方法复的思考与演算，终于弄清楚了其中的道理，并给出了简洁的证明方法总统巧证勾股定理总统巧证勾股定理勾股定理勾股定理美国第二十任美国第二十任总统伽菲尔德总统伽菲尔德总统巧证勾股定理总统巧证勾股定理aabbccADCBE返回勾股定理勾股定理向常春的证明方法向常春的证明方法 注注:这一方法是向常春这一方法是向常春于于1994年年3月月20日设想发日
13、设想发现的新法现的新法abcba-bADCBEc勾股定理勾股定理 我们用拼图的方法来说明我们用拼图的方法来说明勾股定理是正确的勾股定理是正确的试试 一一 试试证明证明:上面的大正方形的面积为：上面的大正方形的面积为：下面大的正方形的面积为：下面大的正方形的面积为：从右图中我们可以看出，这两个正方形的从右图中我们可以看出，这两个正方形的边长都是边长都是ab，所以面积相等，即，所以面积相等，即勾股定理勾股定理1151213724259404112345常见的直角三角形常见的直角三角形勾股定理勾股定理 3 ,4 ,5 5, 12 ,13 7, 24 ,25 9 ,40 ,41 11, 60 ,61
14、13, 84, 85 15, 112 ,113 8，15，179, 12, 1512，35，3720，21，29 20，99，10148，55，73 60，91，109 常见勾股数常见勾股数勾股定理勾股定理比比一一比比看看看看谁谁算算得得快快！求以下直角三角形中未知边的长求以下直角三角形中未知边的长: :可用勾股定理建立方程可用勾股定理建立方程.方法小结方法小结:8 8x x171716162020x x12125 5x x根本方法根本方法勾股定理勾股定理2.求以下图中表示边的未知数x、y、z的值.8181144144x xy yz z625625576576144144169169根本方法根
15、本方法勾股定理勾股定理3 3一个一个RtRt的两边长分别为的两边长分别为3 3和和4 4， 那么第三边长的平方是那么第三边长的平方是 A A、2525B B、1414C C、7 7D D、7 7或或25252 2以下各组数中，以以下各组数中，以a a，b b，c c为边的三角形为边的三角形 不是不是RtRt的是的是 A A、a=1.5a=1.5，b=2,c=3b=2,c=3 B B、a=7,b=24,c=25a=7,b=24,c=25C C、a=6,b=8,c=10a=6,b=8,c=10DD、a=3,b=4,c=5a=3,b=4,c=5假设假设ab=34ab=34，c=10c=10， 那么那
16、么RtABCRtABC的面积为的面积为_。假设假设a=15a=15，c=25c=25，那么，那么b=_b=_；1.1.在在RtABCRtABC中，中，C=90C=90，假设假设a=5a=5，b=12b=12，那么，那么c=_c=_；假设假设c=61c=61，b=60b=60，那么，那么a=_a=_；根底练习根底练习勾股定理勾股定理1 1假设假设ABCABC的三边的三边a a、b b、c c，满足，满足a ab ba2a2b2b2c2c2=0=0，那么，那么ABCABC是是 A A等腰三角形；等腰三角形； B B直角三角形；直角三角形；C C等腰三角形或直角三角形；等腰三角形或直角三角形； D
17、D等腰直角三角形。等腰直角三角形。 2 2若若ABCABC的三边的三边a a、b b、c c，满足，满足a a：b b：c=1c=1：1 1： ，试判断，试判断ABCABC的形状的形状 根底练习根底练习勾股定理勾股定理郑凯想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的郑凯想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多绳子垂到地面还多1 1米，当他把绳子的下端米，当他把绳子的下端拉开拉开5 5米后，发现下端刚好接触地面，你能米后，发现下端刚好接触地面，你能帮他算出来吗？帮他算出来吗？ ABC5米(X+1)米x米解三角形：设未知数求长度解三角形：设未知数求长度勾股定理勾股定理印度数学家什迦逻印度数学家
18、什迦逻11411141年年-1225-1225年曾提出过年曾提出过“荷花荷花问题：问题：“平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲；平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲；出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边，出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边，渔人观看忙向前，花离原位二尺远；渔人观看忙向前，花离原位二尺远；能算诸君请解题，湖水如何知深浅？，能算诸君请解题，湖水如何知深浅？，请用学过的数学知识答复这个问题。请用学过的数学知识答复这个问题。2X+0.5XCBA荷花问题荷花问题勾股定理勾股定理如图，小颍同学折叠一个直角三角形如图，小颍同学折叠一个直角三角形的纸片，使的纸片，使A A与与B B重合，折痕为重合，折痕为DEDE，
19、假设，假设AC=10cmAC=10cm，BC=6cm,BC=6cm,你能求出你能求出CECE的长吗的长吗？CABDE折叠问题折叠问题勾股定理勾股定理等腰等腰ABCABC中，中，ABABACAC13cm 13cm ，BC=10cm,BC=10cm,求求ABCABC的面积和的面积和ACAC边上的高。边上的高。ABCD131310H面积法求三角形的高面积法求三角形的高勾股定理勾股定理如图，如图，ACB=ABD=90，CA=CB，DAB=30，AD=8，求，求AC的长。的长。ABCD308求三角形的边长求三角形的边长勾股定理勾股定理如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高如图，是一个三级台阶，它的
20、每一级的长、宽和高分别等于分别等于cmcm，cmcm和和cmcm，A A和和B B是这个是这个台阶的两个相对的端点，台阶的两个相对的端点，A A点上有一只蚂蚁，想到点上有一只蚂蚁，想到B B点去吃可口的食物。请你想一想，这只蚂蚁从点去吃可口的食物。请你想一想，这只蚂蚁从A A点点出发，沿着台阶面爬到出发，沿着台阶面爬到B B点，最短线路是多少？点，最短线路是多少？BAABC平面展开问题平面展开问题勾股定理勾股定理如下图，现在已测得长方体木块的长3厘米，宽4厘米，高24厘米。一只蜘蛛潜伏在木块的一个顶点A处，一只苍蝇在这个长方体上和蜘蛛相对的顶点B处。ACDBGFH平面展开问题平面展开问题勾股定理勾股定理 如下图，现在已测得长方体木块的长3厘米，宽4厘米，高24厘米。一只蜘蛛潜伏在木块的一个顶点A处，一只苍蝇在这个长方体上和蜘蛛相对的顶点B处。ACDBGFH勾股定理勾股定理AB我怎我怎么走么走会最会最近呢近呢? 有一个圆柱,它的高等于12厘米,底面半径等于3厘米,在圆柱下底面上的A点有一只蚂蚁,它想从点A爬到点B , 蚂蚁沿着圆柱侧面爬行的最短路程是多少? (的值取3) 平面展开问题平面展开问题勾股定理勾股定理BA 高高12cmBA长长18cm (的值取的值取3)9cm AB2=92+122=81+144=225= AB=15(cm)蚂蚁爬行的最短路程是15厘米.152
