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1、1张家港高级中学张新秀张家港高级中学张新秀张家港高级中学张新秀张家港高级中学张新秀等比数列通项公式等比数列通项公式 :等比数列的定义等比数列的定义:等比数列的性质等比数列的性质 :棋盘上的麦粒棋盘上的麦粒 引入新课引入新课: 印度国王锡拉要奖赏国印度国王锡拉要奖赏国际象棋的发明者际象棋的发明者,问他有什么问他有什么要求要求,发明者说发明者说:“请在棋盘的请在棋盘的第第1个格子里放上个格子里放上1颗麦粒颗麦粒,在在第第2个格子里放上个格子里放上2颗麦粒颗麦粒,在在第第3个格子里放上个格子里放上4颗麦粒颗麦粒,在在第第4个格子里放上个格子里放上8颗麦粒颗麦粒,依依此类推此类推,每个格子里放的麦粒每
2、个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦数都是前一个格子里放的麦粒的粒的2倍倍,直到第直到第64个格子个格子,请请给我足够的粮食来实现上述给我足够的粮食来实现上述要求要求”.国王觉得这并不是很国王觉得这并不是很难办到的难办到的,就欣然同意了他的就欣然同意了他的要求要求.国王要给国王要给多少多少麦粒？麦粒？hgfedcba12345678让我们来分析一下让我们来分析一下: 由于每个格子里的麦粒数都是前一个由于每个格子里的麦粒数都是前一个格子里的麦粒数的格子里的麦粒数的2倍倍,且共有且共有64个格子个格子,各个格子里的麦粒数依次是各个格子里的麦粒数依次是于是发明者要求的麦粒总数就是于是发明者要求的
3、麦粒总数就是=？引例：引例： 求和求和：回忆等差数列前回忆等差数列前n项和公式推导方法：项和公式推导方法：倒序相加法倒序相加法记记两边同乘公比，得两边同乘公比，得将上面两式列在一起，进行比较将上面两式列在一起，进行比较 ，得=18,446,744,073,709,551,615q, 得得，得，得等比数列的前n项和设等比数列设等比数列它的前它的前n项和是项和是即即说明：说明：这种求和方法称为这种求和方法称为错位相减法错位相减法等比数列前等比数列前n项和求和公式项和求和公式 于是于是当当q1时时，当当q=1q=1时，此数列是常数列，时，此数列是常数列，等比数列前等比数列前n项和公式的其他推导方法项
4、和公式的其他推导方法用等比定理推导用等比定理推导当当 q = 1 时时 Sn = n a1因为因为所以所以解：解：例例1 在等比数列在等比数列 中，中，（1）根据等比数列的前n项和公式，得：（2）根据等比数列的前n项和公式，得：题题题题型一型一型一型一等比数列前等比数列前n项和公式的基本运算项和公式的基本运算例例2 在等比数列在等比数列 中中，解：解：将上面两个等式的两边分别相除，得例例3分析：分析：这个数列的每一项都是一个等差数列与一个等比数列的对应项的和，因此可以分组求和.解：解：题题题题型二型二型二型二“错位相减法错位相减法”及其应用及其应用 错位相减法适合求一个等差数列与一个错位相减法
5、适合求一个等差数列与一个等比数列相应项相乘得到的新数列的前等比数列相应项相乘得到的新数列的前n项项和，即已知和，即已知 为等差数列，为等差数列， 为等比数列，为等比数列，利用错位相减法可求数列利用错位相减法可求数列 的前的前n项和，项和，因而具有一般性，其它方法求和可使学生进因而具有一般性，其它方法求和可使学生进一步认识一步认识q1时，等比数列前时，等比数列前n项和的特征，项和的特征，也能进一步开拓求和思路也能进一步开拓求和思路例例4求求 的和。的和。变式训练变式训练解：解：得得 得得 【点评点评】 要注意本题特点它是形如要注意本题特点它是形如 a an nb bn n 数列的前数列的前n n
6、项的和其中项的和其中 a an n 是等差数列，是等差数列， b bn n 是等比数列具体解法是：乘等比数列是等比数列具体解法是：乘等比数列的公比或倒数然后错位相减，使其转化为等的公比或倒数然后错位相减，使其转化为等比数列问题来解比数列问题来解巩固练习练习练习1. 根据下列条件，求相应的等比数列根据下列条件，求相应的等比数列 的的练习练习2.求等比数列求等比数列 1，2，4，从第从第5项到第项到第10项的和项的和. 从第从第5项到第项到第10项的和项的和: 练习3求和：当当时时解: 1 1、等比数列的前、等比数列的前n n项的公式项的公式 Sn=q1 q=12 2、数列求和的错位相减法及方程思、数列求和的错位相减法及方程思 想、分类讨论思想、整体思想的应用。想、分类讨论思想、整体思想的应用。 3 3、对于含有字母的等比数列应注意考、对于含有字母的等比数列应注意考虑其公比是否为虑其公比是否为1 1。 思考题思考题
