《第9章无穷级数9.1、9.2、9.3、9.4、9.5》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第9章无穷级数9.1、9.2、9.3、9.4、9.5（13页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、9.3 任意项级数任意项级数 本节讨论一般的常数项级数, 即各项符号不尽相同的变号级数(任意项级数). 如级数一一. .交错级数交错级数 下面讨论任意项级数的敛散性的判别法.首先讨论其中的一种各项正负相间的特殊情形 交错级数, 它是一种常见而有实用价值的特殊级数.定义定义4 4 正负项相间的级数,称为交错级数.其一般形式为1定理定理11 11 ( (Leibnitz判别法) 若交错级数满足条件:则交错级数收敛, 且其和证证 因为则序列 单増.则序列余项2则无论n是奇数还是偶数均有于是交错级数收敛, 且其和也是交错级数, 同样满足定理给出的两个条件.从而例例1414 判定下列交错级数的敛散性.收
2、敛.3 由于任意常数项级数各项的符号不一定同号,因而正项级数的敛散性的判别法对它来说是不适用的.但当我们定义定义5 5 若级数 每项取绝对值构成的级数 收敛,二二. .任意常数项级数任意常数项级数可借助于正项级数的敛散性的判别法来研究它了.绝对收敛; 例如级数是条件收敛的.是绝对收敛的;它的每一项取绝对值后组成的级数正项级数,便考察收敛, 则称级数则称级数若级数发散, 而级数条件收敛.4定理定理1212 若级数 收敛, 则级数 必定收敛.即绝对收敛的级数必收敛. 证证 设收敛.收敛.注注1 1 所有正项级数的收敛都是绝对收敛所有正项级数的收敛都是绝对收敛. . 注注2 2 一切判别正项级数的敛
3、散性的判别法都可用来一切判别正项级数的敛散性的判别法都可用来判定任意常数项级数是否绝对收敛判定任意常数项级数是否绝对收敛, , 从而收敛从而收敛. .5而不能断定它必为发散, (2) 若用比值法和根值法判别级数 , 得出级数 注意注意:定理定理1313 若任意项级数 满足条件则 (1)当 l 1时, 级数发散.(1) 当 发散时, 就只能断定此时需进一步用其他方法来判的敛散性.定发散,则可断言级数一定发散.非绝对收敛,6如级数收敛的定义如级数收敛的定义, ,级数的一些基本性质等进行判别级数的一些基本性质等进行判别. .证证则对发散.注注3 3 对于任意项级数对于任意项级数首先判断它是否绝对收敛
4、首先判断它是否绝对收敛再看它是否为交错级数再看它是否为交错级数; ; 是否收敛是否收敛););( (即用正项级数的判即用正项级数的判别法别法, ,判别判别若是交错级数，就用若是交错级数，就用莱布尼兹判别法判别莱布尼兹判别法判别是否收敛是否收敛;若前面方法失效若前面方法失效,就考虑用其它方法就考虑用其它方法;7例例1515 判定下列级数的敛散性:由比较判别法的极限形式知故原级数绝对收敛.发散.收敛.8从而原级数不绝对收敛； 则原级数条件收敛.设但它却是满足莱布尼兹条件的交错级数, 即9故原级数条件收敛.当 x e 时,单减, 则由根值判别法知 收敛.故原级数绝对收敛.单减； 10例例1616 判定下列级数的敛散性:递减, 则原级数条件收敛.则原级数发散.则原级数绝对收敛.则原级数不绝对收敛.11则原级数条件收敛;而原级数为此两级数的和, 则原级数发散;解解 当 时, 级数为当 时,收敛;发散,当 时,将原级数加括号后所得级数为12发散,故原级数发散.从而加括号后所得级数为发散的,13
