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1、本讲整合答案：证明整除问题证明几何问题伯努利不等式 专题一专题二专题一:对数学归纳法原理及步骤的理解1.数学归纳法的证明过程共有两步,缺一不可,其中,第一步是奠基,第二步是假设与递推.2.第一步是证明n取第一个可取值时命题成立,但不一定就是n=1.3.第二步证明过程中,必须用上归纳假设,否则就不是用数学归纳法证明.专题一专题二例1用数学归纳法证明“对于任意x0的实数,以及正整数n,都有xn+xn-2+xn-4+n+1”时,需验证的使命题成立的最小正整数值n0应为()A.n0=1B.n0=2C.n0=1,2D.以上答案均不正确分析：根据n的取值条件以及不等式是否成立进行确定.解析：由于nN+,则
2、n的最小值为n0=1.答案：A专题一专题二变式训练1某个命题与正整数有关,如果当n=k时,该命题不成立,那么可推得当n=k+1时命题也不成立,现在当n=5时,该命题成立,那么可推得()A.当n=6时该命题不成立B.当n=6时该命题成立C.当n=4时该命题不成立D.当n=4时该命题成立解析：依题意当n=4时该命题不成立,则当n=5时,该命题也不成立.而当n=5时,该命题成立却无法判断n=6时该命题是不是成立,故选D.答案：D专题一专题二专题二:数学归纳法的应用分析：注意到这是与正整数n有关的命题,可考虑用数学归纳法证明.专题一专题二专题一专题二变式训练2求证:2n+2n2,nN+.证明：(1)当
3、n=1时,左边=21+2=4;右边=1,左边右边;当n=2时,左边=22+2=6,右边=22=4,所以左边右边;当n=3时,左边=23+2=10,右边=32=9,所以左边右边.因此当n=1,2,3时,不等式成立.(2)假设当n=k(k3)时不等式成立,即2k+2k2.当n=k+1时,2k+1+2=22k+2=2(2k+2)-22k2-2=k2+2k+1+k2-2k-3=(k2+2k+1)+(k+1)(k-3)k2+2k+1=(k+1)2.所以2k+1+2(k+1)2.故当n=k+1时,不等式成立.由(1)(2)可知,不等式2n+2n2对于任何nN+都成立.专题一专题二例3已知y=f(x)满足f
4、(n-1)=f(n)-lg an-1(n2,nN),且f(1)=-lg a,是否存在实数,使f(n)=(n2+n-1)lg a,对任意nN+都成立?证明你的结论.分析：可先根据f(1),f(2)的值,建立关于,的方程组,求得,的值,然后再利用数学归纳法证明结论.解：由已知得f(n)=f(n-1)+lg an-1.令n=2,f(2)=f(1)+lg a=-lg a+lg a=0.又f(1)=(-1)lg a,专题一专题二专题一专题二变式训练3设Pn=(1+x)n,Qn=1+nx+x2,nN+,x(-1,+),试比较Pn与Qn的大小,并加以证明.解：(1)当n=1,2时,Pn=Qn.(2)当n3时
5、,若x(0,+),显然有PnQn;若x=0,则Pn=Qn;若x(-1,0),则P3-Q3=x30,所以P3Q3.P4-Q4=4x3+x4=x3(4+x)0,所以P4Q4.猜想当k3时,PkQk.用数学归纳法证明如下.当k=3时,P3Q3成立.假设当k=m时不等式成立,即PmQm.当k=m+1时,Pm+1=(1+x)Pm(1+x)Qm专题一专题二即当k=m+1时,不等式成立.所以当n3,且x(-1,0)时,PnQn.1234考点:数学归纳法的应用1.(2017浙江高考)已知数列xn满足:x1=1,xn=xn+1+ln(1+xn+1)(nN+).证明:当nN+时,(1)0xn+10.当n=1时,x
6、1=10,假设n=k时,xk0,那么n=k+1时,若xk+10,则00.因此xn0(nN+).所以xn=xn+1+ln(1+xn+1)xn+1.因此0xn+10,即x0时,f(x)单调递增;当f(x)0时,f(x)单调递减.故f(x)的单调递增区间为(-,0),单调递减区间为(0,+).当x0时,f(x)f(0)=0,即1+xex.1234下面用数学归纳法证明.()当n=1时,左边=右边=2,成立.1234所以当n=k+1时,也成立.根据()(),可知对一切正整数n都成立.1234.(2014陕西高考节选)设函数f(x)=ln(1+x),g(x)=xf(x),x0,其中f(x)是f(x)的导函数.令g1(x)=g(x),gn+1(x)=g(gn(x),nN+,求gn(x)的表达式.4
