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1、点、线、面的投影复习点、线、面的投影复习广汉中学：邱华广汉中学：邱华立体几何立体几何返回返回下页下页教学目标：教学目标：l1.理解正投影法的基本特性和三视图的形成过程，熟练掌握空间物体与三视图之间的投影关系和方位关系，根据简单形体的模型或立体图画三视图。l2.掌握点的投影规律，理解和掌握直线和平面的投影特性，能根据直线或平面的投影图想象与投影面的相对位置。返回返回下页下页上页上页教学重点和难点教学重点和难点1.重点 （1）理解三视图的投影对应关系和方位对应关系。 （2）点的投影规律，特殊位置直线或平面的投影特征。2.难点 （1）空间点的三面投影与直角坐标的关系，空间两点的相对位置。 （2）直线
2、或平面上点的投影作图。返回返回下页下页上页上页 投影的形成及常用的投影方法投影的形成及常用的投影方法投影方法投影方法中心投影法中心投影法平行投影法平行投影法直角投影法（正投影法）直角投影法（正投影法）斜角投影法斜角投影法画透视图画透视图画斜轴测图画斜轴测图画工程图样画工程图样及正轴测图及正轴测图返回返回下页下页上页上页中心投影法中心投影法 投射中心、物体、投影面投射中心、物体、投影面三者之间的三者之间的相对距离对投影的大小有影响。相对距离对投影的大小有影响。度量性较差度量性较差投影特性投影特性投射线投射线投射中心投射中心物体物体投影面投影面投影投影物体位置改变，物体位置改变，投影大小也改投影大
3、小也改变变返回返回下页下页上页上页平行投影法平行投影法斜角投影法斜角投影法投投 影影 特特 性性投影大小与物体和投影面之间的距离无关。投影大小与物体和投影面之间的距离无关。度量性较好度量性较好工程图样多数采用正投影法绘制。工程图样多数采用正投影法绘制。投投射射线线互互相相平平行行且且垂垂直直于于投投影影面面投投射射线线互互相相平平行行且且倾倾斜斜于于投投影影面面直角（正）投影法直角（正）投影法返回返回下页下页上页上页HWV空间三投影面体系空间三投影面体系投影面投影面正面投影面（简称正正面投影面（简称正 面或面或V面）面）水平投影面（简称水水平投影面（简称水 平面或平面或H面）面）侧面投影面（简
4、称侧侧面投影面（简称侧 面或面或W面）面）投影轴投影轴oXZOX轴轴 V面与面与H面的交线面的交线OZ轴轴 V面与面与W面的交线面的交线OY轴轴 H面与面与W面的交线面的交线Y三个投影面三个投影面互相垂直互相垂直返回返回下页下页上页上页三面投影与三视图三面投影与三视图1.1.视图的概念视图的概念主视图主视图 （正面投影）（正面投影）俯视图俯视图 （水平投影）（水平投影）左视图左视图 （侧面投影）（侧面投影）2.2.三视图之间的度量对应关系三视图之间的度量对应关系三等关系三等关系主视俯视长相等且对正主视俯视长相等且对正主视左视高相等且平齐主视左视高相等且平齐俯视左视宽相等且对应俯视左视宽相等且对
5、应长长高高宽宽宽宽长对正长对正宽相等宽相等高平齐高平齐 视图就是将物体向投视图就是将物体向投影面投射所得的图形。影面投射所得的图形。返回返回下页下页上页上页3.三视图之间的方位对应关系主视图反映：上、下主视图反映：上、下 、左、右、左、右俯视图反映：前、后俯视图反映：前、后 、左、右、左、右 左视图反映：上、下左视图反映：上、下 、前、后、前、后上上下下左左右右后后前前上上下下前前后后左左右右返回返回下页下页上页上页 P Pb A AP P 过空间点过空间点A A的的投射线与投影投射线与投影面面P P的交点即为点的交点即为点A A在在P P面上的投面上的投影。影。B B3 3B B2 2B B
6、1 1 点在一个投影面上点在一个投影面上的投影不能确定点的空的投影不能确定点的空间位置。间位置。点在一个投影面上的投影点在一个投影面上的投影a 点的投影点的投影返回返回下页下页上页上页WHVoX空间点空间点A在三个投影面上的投影在三个投影面上的投影a 点点A的正面投影的正面投影a点点A的水平投影的水平投影a 点点A的侧面投影的侧面投影空间点用大写字母空间点用大写字母表示，表示，点的投影用点的投影用小写字母小写字母表示表示。a aa AZY返回返回下页下页上页上页WVHXYZOVHWAaa a xaazay向右翻向右翻向下翻向下翻不动不动投影面展开投影面展开aaZaa yayaXYYO azx返
7、回返回下页下页上页上页XYZOVHWAaa a 点的投影规律点的投影规律: a aOX轴轴 aax= a az=y=A到到V面的距离面的距离a ax= a ay=z=A到到H面的距离面的距离aay= a az=x=A到到W面的距离面的距离xaazayYZaza XYayOaaxaya a a OZ轴轴返回返回下页下页上页上页三、两点的相对位置三、两点的相对位置 两点的相对位置指两两点的相对位置指两点在空间的点在空间的上下、前后、上下、前后、左右左右位置关系。位置关系。判断方法：判断方法： x 坐标大的在左坐标大的在左 y 坐标大的在前坐标大的在前 z 坐标大的在上坐标大的在上b aa a b
8、bB点在点在A点之前、点之前、之右、之下。之右、之下。XYHYWZ返回返回下页下页上页上页四、重影点：四、重影点： 空间两点在某一投空间两点在某一投影面上的影面上的投影重合为一投影重合为一点点时，则称此两点为时，则称此两点为该该投影面投影面的重影点。的重影点。A、C为为H面的重影点面的重影点a a c c 被挡住的投被挡住的投影加影加( )( )a c返回返回下页下页上页上页a aax例：已知点的两个投影，求第三投影。例：已知点的两个投影，求第三投影。a a aaxazaz解法一解法一:通过作通过作45线线使使a az=aax解法二解法二:用圆规直接量用圆规直接量取取a az=aaxa 返回返
9、回下页下页上页上页aa a b b b直线的投影直线的投影 两点确定一条直线，将两两点确定一条直线，将两点的同名投影用直线连接，点的同名投影用直线连接，就得到直线的同名投影。就得到直线的同名投影。 直线对一个投影面的投影特性直线对一个投影面的投影特性一、直线的投影特性一、直线的投影特性ABab直线垂直于投影面直线垂直于投影面投影重合为一点投影重合为一点 积聚性积聚性直线平行于投影面直线平行于投影面投影反映线段实长投影反映线段实长 ab=AB直线倾斜于投影面直线倾斜于投影面投影比空间线段短投影比空间线段短 ab=ABcosABabAMBabm返回返回下页下页上页上页 直线在三个投影面中的投影特性
10、直线在三个投影面中的投影特性投影面平行线投影面平行线平行于某一投影面而平行于某一投影面而与其余两投影面倾斜与其余两投影面倾斜投影面垂直线投影面垂直线正平线（平行于面）正平线（平行于面）侧平线（平行于面）侧平线（平行于面）水平线（平行于面）水平线（平行于面）正垂线（垂直于面）正垂线（垂直于面）侧垂线（垂直于面）侧垂线（垂直于面）铅垂线（垂直于面）铅垂线（垂直于面）一般位置直线一般位置直线与三个投影面都倾斜的直线与三个投影面都倾斜的直线统称特殊位置直线统称特殊位置直线垂直于某一投影面垂直于某一投影面返回返回下页下页上页上页b a aba b b aa b ba 投影面平行线投影面平行线 在其平行的
11、那个投影面上的投影反映实长，在其平行的那个投影面上的投影反映实长， 并反映直线与另两投影面倾角的实大。并反映直线与另两投影面倾角的实大。 另两个投影面上的投影平行于相应的投影另两个投影面上的投影平行于相应的投影 轴。轴。水平线水平线侧平线侧平线正平线正平线投投 影影 特特 性：性：与与H面的夹角面的夹角: 与与V面的角面的角:与与W面的夹角面的夹角: 实长实长实长实长实长实长ba aa b b 返回返回下页下页上页上页 反映线段实长。且垂直反映线段实长。且垂直 于相应的投影轴。于相应的投影轴。 投影面垂直线投影面垂直线铅垂线铅垂线正垂线正垂线侧垂线侧垂线 另外两个投影另外两个投影， 在其垂直的
12、投影面上，在其垂直的投影面上，投影有积聚性投影有积聚性。投影特性投影特性: :c (d )cdd c a b a(b)a b e f efe (f )返回返回下页下页上页上页 一般位置直线一般位置直线Z Z Y YaO OX XabbaY Yb 三个投影都倾斜于投影轴，其与投影轴的夹角三个投影都倾斜于投影轴，其与投影轴的夹角并不反映空间线段与三个投影面夹角的大小。三个并不反映空间线段与三个投影面夹角的大小。三个投影的长度均比空间线段短，即都不反映空间线段投影的长度均比空间线段短，即都不反映空间线段的实长。的实长。投影特性投影特性H HaaAb V VBbW Wa b 返回返回下页下页上页上页c
13、acX XabcY YY YbO OaZ ZbcAH HacaV VbBabcCbW W二、二、直线与点的相对位置直线与点的相对位置 若点在直线上若点在直线上, ,则点的投影必在直线的则点的投影必在直线的同名投同名投影影上。上。 点的投影将线段的同名投影分割成与空间线段点的投影将线段的同名投影分割成与空间线段相同的比例。即：相同的比例。即：AC:CB=ac:cb= a c : c b = a c : c b 定比定理定比定理返回返回下页下页上页上页例：判断点例：判断点C是否在线段是否在线段AB上。上。c abca b abca b c 在在不在不在a b c aa b c bc不在不在返回返回
14、下页下页上页上页二、平面的投影特性二、平面的投影特性平行平行垂直垂直倾斜倾斜投投 影影 特特 性性 平面平行投影面平面平行投影面-投影就把实形现投影就把实形现 平面垂直投影面平面垂直投影面-投影积聚成直线投影积聚成直线 平面倾斜投影面平面倾斜投影面-投影类似原平投影类似原平面面实形性实形性类似性类似性积聚性积聚性 平面对一个投影面的投影特性平面对一个投影面的投影特性返回返回下页下页上页上页 平面在三投影面体系中的投影特性平面在三投影面体系中的投影特性平面对于三投影面的位置可分为三类平面对于三投影面的位置可分为三类：投影面垂直面投影面垂直面 投影面平行面投影面平行面一般位置平面一般位置平面特殊位
15、置平面特殊位置平面垂直于某一投影面，垂直于某一投影面，倾斜于另两个投影面倾斜于另两个投影面平行于某一投影面，平行于某一投影面，垂直于另两个投影面垂直于另两个投影面与三个投影面都倾斜与三个投影面都倾斜 正垂面正垂面 侧垂面侧垂面铅垂面铅垂面 正平面正平面 侧平面侧平面 水平面水平面返回返回下页下页上页上页abca c b c b a （1 1）投影面垂直面）投影面垂直面类似性类似性类似性类似性积聚性积聚性投影特性：投影特性： 在它垂直的投影面上的投影积聚成直在它垂直的投影面上的投影积聚成直线。该直线与投影轴的夹角反映空间平面线。该直线与投影轴的夹角反映空间平面与另外两投影面夹角的大小。与另外两投
16、影面夹角的大小。 另外两个投影面上的投影有类似性。另外两个投影面上的投影有类似性。返回返回下页下页上页上页a b c a b c abc（2 2） 投影面平行面投影面平行面积聚性积聚性积聚性积聚性实形性实形性投影特性：投影特性：在它所平行的投影面上的投影反映实形。在它所平行的投影面上的投影反映实形。 另两个投影面上的投影分别积聚成与相应另两个投影面上的投影分别积聚成与相应的投影轴平行的直线。的投影轴平行的直线。返回返回下页下页上页上页a b c a c b abc（3 3）一般位置平面）一般位置平面三个投影都类似。三个投影都类似。投影特性：投影特性：返回返回下页下页上页上页a c b c a
17、abcb 例例：正垂面：正垂面ABCABC与与H H面的夹角为面的夹角为4545，已知其水平投影，已知其水平投影 及顶点及顶点B B的正面投影，求的正面投影，求ABCABC的正面投影及侧面的正面投影及侧面 投影。投影。思考：此题有几个解？思考：此题有几个解？45返回返回下页下页上页上页三、平面上的直线和点三、平面上的直线和点位于平面上的直线应满足的条件：位于平面上的直线应满足的条件： 平面上取任意直线平面上取任意直线M MN NA AB BM M若一直线过平面上的若一直线过平面上的两点，则此直线必在两点，则此直线必在该平面内。该平面内。若一直线过平面上的若一直线过平面上的一点且平行于该平面一点
18、且平行于该平面上的另一直线，则此上的另一直线，则此直线在该平面内。直线在该平面内。返回返回下页下页上页上页 平面上取点平面上取点 先找出过此点而又在平面内的一条直线作为先找出过此点而又在平面内的一条直线作为辅助线，然后再在该直线上确定点的位置。辅助线，然后再在该直线上确定点的位置。例：已知例：已知K点在平面点在平面ABC上，求上，求K点的水平投影。点的水平投影。baca k b c 面上取点的方法：面上取点的方法：利用平面的积聚性求解利用平面的积聚性求解通过在面内作辅助线求解通过在面内作辅助线求解首先面上取线首先面上取线kd dabca b k c k返回返回下页下页上页上页 小小 结结 1.1.点、直线、平面的投影特性，尤其是点、直线、平面的投影特性，尤其是特殊位置直特殊位置直 线与平面的投影特性线与平面的投影特性。 2.2.直线上求点、平面内点或直线的求作。直线上求点、平面内点或直线的求作。重点掌握：重点掌握：返回返回下页下页上页上页返回返回上页上页
