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1、第五节第五节 函数的幂级数展开式函数的幂级数展开式 1问题问题:2.如果能展开如果能展开, 是什么是什么?3.展开式是否唯一展开式是否唯一?1. f (x)在什么条件下才能展开成幂级数在什么条件下才能展开成幂级数?麦克劳林展开式麦克劳林展开式 泰勒展开式泰勒展开式 求幂级数求幂级数, 在其收敛域内以在其收敛域内以 f (x) 为和函数为和函数函数函数的幂级数展开的幂级数展开。2定理定理证略证略3定理定理称为称为n阶余项阶余项. . 4基本展开式基本展开式注意到注意到 所以所以 56 间接法求展开式间接法求展开式: : 利用已知展开式利用已知展开式, 通过通过变量代变量代换换, 四则运算四则运算
2、, 恒等变形恒等变形, 逐项求导逐项求导, 逐项积分逐项积分等方等方法法, 求展开式求展开式 .例例1 1解解7两边求导两边求导, 得得解解8解解9把函数展开成幂级数的步骤把函数展开成幂级数的步骤: :2. 求出展开式的收敛域求出展开式的收敛域;1. 利用求导利用求导,积分积分,变量代换，恒等变形等化为变量代换，恒等变形等化为 已有展开式的初等函数，求出展开式已有展开式的初等函数，求出展开式;3. 写出展开式写出展开式(带收敛域带收敛域).10解解11解解当当x=1时时当当x=-1时时12例例2 2思路思路: : 利用马克劳林展开式来求函数的泰勒展开式利用马克劳林展开式来求函数的泰勒展开式. .设级数的泰勒展开式为设级数的泰勒展开式为于是有于是有13例例2 2由由例例1(4)知，知，所以所以14( (课堂练习课堂练习) )解解于是于是 而而例例3 315所以所以 16作业作业：P35616: (2),(5)17
