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1、v本本章章主主要要介介绍绍运运用用质质点点系系的的三三大大定定理理解解决决刚刚体定点运动动力学问题。体定点运动动力学问题。第八章第八章 刚体定点运动的动力学刚体定点运动的动力学v主要内容主要内容: 欧拉角欧拉角 欧拉运动学方程欧拉运动学方程 刚体定点运动的角动量和动能刚体定点运动的角动量和动能 惯量张量惯量张量 欧拉动力学方程欧拉动力学方程 欧拉欧拉- -潘索情况潘索情况11.11.1 1 欧拉欧拉角角 欧拉运动学方程欧拉运动学方程一一. . 欧拉角欧拉角固定坐标系固定坐标系:固定在刚体上的动固定在刚体上的动坐标系坐标系: .确定确定z轴的位置轴的位置:进动章动二二. .欧拉运动学方程欧拉运动
2、学方程动系中动系中: -欧拉运动学方程欧拉运动学方程11.211.2刚体定点运动的角动量和动能刚体定点运动的角动量和动能 惯量张量惯量张量本节介绍刚体作定点运动时具有的动量、角动量、动能本节介绍刚体作定点运动时具有的动量、角动量、动能的计算。的计算。一一. . 刚体做定点运动时对定点的角动量的计算刚体做定点运动时对定点的角动量的计算可知可知可知可知 一般与一般与一般与一般与 不共线不共线不共线不共线, , 只在某些特殊方向上只在某些特殊方向上只在某些特殊方向上只在某些特殊方向上 试推导上式分量形式试推导上式分量形式试推导上式分量形式试推导上式分量形式: :令令:刚体对刚体对刚体对刚体对x x
3、x x轴的轴转动惯量轴的轴转动惯量轴的轴转动惯量轴的轴转动惯量刚体对刚体对刚体对刚体对y y y y轴的轴转动惯量轴的轴转动惯量轴的轴转动惯量轴的轴转动惯量刚体对刚体对刚体对刚体对z z z z轴的轴转动惯量轴的轴转动惯量轴的轴转动惯量轴的轴转动惯量及及:惯惯量量积积则则:(11.2.6)现对上述结果进行分析：现对上述结果进行分析：1）惯性系数决定于刚体质量对坐标系的分布。惯性系）惯性系数决定于刚体质量对坐标系的分布。惯性系数也可用积分形式代替（数也可用积分形式代替（11.2.6）式；）式； 惯惯惯惯量系数是点坐标的函数量系数是点坐标的函数量系数是点坐标的函数量系数是点坐标的函数, , , ,
4、 所以用静止的坐标所以用静止的坐标所以用静止的坐标所以用静止的坐标系时系时系时系时, , , , 刚体转动时刚体转动时刚体转动时刚体转动时, , , ,惯量系数随之而变惯量系数随之而变惯量系数随之而变惯量系数随之而变. . . . 通常选取固着在刚体上、通常选取固着在刚体上、通常选取固着在刚体上、通常选取固着在刚体上、并随着刚体一同转动的动坐标系并随着刚体一同转动的动坐标系并随着刚体一同转动的动坐标系并随着刚体一同转动的动坐标系, , , , 这样这样这样这样, , , , 惯量系数都是惯量系数都是惯量系数都是惯量系数都是常数常数常数常数张量张量I也可写成也可写成并矢形式：并矢形式：二二. .
5、 惯量张量惯量张量惯量张量是用来描述刚体惯量张量是用来描述刚体定点转动的惯性的物理量；定点转动的惯性的物理量；而转动惯量是描述刚体定而转动惯量是描述刚体定轴转动的惯性的物理量。轴转动的惯性的物理量。（11.2.6）式）式用用用用矩阵表矩阵表矩阵表矩阵表示示示示:线性变换关系称为仿射变换线性变换关系称为仿射变换三三. . 惯量主轴惯量主轴使刚体对固定点的惯量张量中所有惯量积为零的坐标系使刚体对固定点的惯量张量中所有惯量积为零的坐标系为该点（为该点（O点）的主轴坐标系。点）的主轴坐标系。若刚体定点运动的角速度沿一主轴方向，则角动量为若刚体定点运动的角速度沿一主轴方向，则角动量为如何寻找惯量主轴呢？
6、如何寻找惯量主轴呢？1）对均匀对称的刚体，其对称轴是轴上各点的惯量主轴。）对均匀对称的刚体，其对称轴是轴上各点的惯量主轴。分析：分析：某轴某轴(设设x轴轴)要为固定要为固定O点的惯量主轴的必要条件点的惯量主轴的必要条件.设刚体以角速度设刚体以角速度 绕绕x轴转动轴转动,则则 ,根据根据若对称轴为若对称轴为X轴，刚体上有轴，刚体上有2）刚体的对称面的法线，也是该法线所在轴上）刚体的对称面的法线，也是该法线所在轴上各点的惯量主轴各点的惯量主轴证明：证明：3）坐标系的两个轴是惯量主轴，则第三个轴也是）坐标系的两个轴是惯量主轴，则第三个轴也是主轴，此坐标系是主轴坐标系。主轴，此坐标系是主轴坐标系。4）
7、以匀质旋转对称刚体的旋转对称轴（刚体绕此）以匀质旋转对称刚体的旋转对称轴（刚体绕此轴转过任意角度都对称）为一轴的坐标系是主轴轴转过任意角度都对称）为一轴的坐标系是主轴坐标系。坐标系。四四. . 刚体做定点运动时的动能刚体做定点运动时的动能把式把式代入上式代入上式得主轴坐标系上得主轴坐标系上动能表达式动能表达式:其中其中I为刚体对瞬时轴的转动惯量为刚体对瞬时轴的转动惯量.五五. . 惯量椭球惯量椭球研究刚体对过定点的一个轴的转动惯量的表达式研究刚体对过定点的一个轴的转动惯量的表达式.以以刚体固定点为原点建立坐标系刚体固定点为原点建立坐标系Oxyz坐标系，过坐标系，过O点点的的l轴方向余弦为轴方向
8、余弦为考虑到考虑到-如已知固定点的惯量张量如已知固定点的惯量张量,则可得过此点的任何轴的转动惯量则可得过此点的任何轴的转动惯量.我们从几何图象来描述转动惯量随轴方向分布的情况我们从几何图象来描述转动惯量随轴方向分布的情况.在转动轴上取一长为在转动轴上取一长为R的线段的线段OP,令令则则P点的坐标将是点的坐标将是代入式代入式得得P点的轨迹是点的轨迹是:-椭球面椭球面,反映了转动惯量的分布情况反映了转动惯量的分布情况,又称惯量椭球又称惯量椭球.几点说明几点说明:1)对刚体不同固定点对刚体不同固定点,有不同的惯量椭球有不同的惯量椭球,它属于刚体中它属于刚体中某一点某一点.2)惯量椭球的惯量椭球的3个
9、对称轴是固定点的个对称轴是固定点的3 个互相垂直的主轴个互相垂直的主轴,若若 ,则惯量椭球是个旋转椭球则惯量椭球是个旋转椭球;如如 ,则惯量椭球为圆球则惯量椭球为圆球.3)利用惯量椭球可知刚体对固定点的角动量利用惯量椭球可知刚体对固定点的角动量L的方向是的方向是沿过椭球面角速度矢量沿过椭球面角速度矢量 与惯量椭球相交点与惯量椭球相交点P点的法线点的法线方向上方向上.(证明见书证明见书P303)例题例题1: 一匀质薄圆盘能绕其中心一匀质薄圆盘能绕其中心O点做定点转动点做定点转动,其质其质量为量为m,半径为半径为R,已知英雄模范瞬时圆盘绕壶中心与盘已知英雄模范瞬时圆盘绕壶中心与盘面成面成 角的轴以
10、角速度角的轴以角速度 转动转动,试求此时圆盘对中心的试求此时圆盘对中心的角动量和圆盘的动能角动量和圆盘的动能,以及圆盘对此轴的转动惯量以及圆盘对此轴的转动惯量.解解: 建立过建立过O点的主轴坐标系点的主轴坐标系,依题意有依题意有:圆盘对圆盘对O点的角动量为点的角动量为:圆盘的动能为圆盘的动能为:11.3 11.3 欧拉动力学方程欧拉动力学方程一一. . 欧拉动力学方程欧拉动力学方程我们采用刚体固定点的主轴坐标系我们采用刚体固定点的主轴坐标系Oxyz,并与并与刚体固刚体固连连,则刚体对定点的角动量为则刚体对定点的角动量为:采用动坐标系，角动量定理为：采用动坐标系，角动量定理为：所以（所以（11.
11、3.2)式的投影方程为式的投影方程为:欧勒动力学方程欧勒动力学方程思考为何这里采用动坐思考为何这里采用动坐标系标系, ,没考虑惯性力没考虑惯性力? ?结合欧拉运动学方程结合欧拉运动学方程来求解刚体定点运动问题来求解刚体定点运动问题,但这两个方程组求解困难但这两个方程组求解困难,到目前为止到目前为止,只有在下列三种情况才得到解析解只有在下列三种情况才得到解析解.1.欧勒欧勒潘索情况潘索情况: 刚体不受外力矩作用的定点运动刚体不受外力矩作用的定点运动. 2. 拉拉格格朗朗日日泊泊松松情情况况: 即即陀陀螺螺在在重重力力场场中中的的运运动动，要要求求对对固固定定点点O所所作作的的惯惯量量椭椭球球是是
12、一一旋旋转转椭椭球球, 亦亦即即3个个主主转转动动惯惯量量中中有有两两个个相相等等，Ix=Iy , 重重心心则则位位于动力对称轴上但不与固定点重合于动力对称轴上但不与固定点重合. 回转仪回转仪.3. C.B.柯柯凡凡律律夫夫斯斯卡卡雅雅情情况况: 在在这这一一情情况况下下，IxIy2Iz, 而重心则在而重心则在Oxy平面上平面上. 这也是一种对称陀螺这也是一种对称陀螺.二二. .直接用角动量定理和质心运动定理外理比较直接用角动量定理和质心运动定理外理比较简单的定点运动问题简单的定点运动问题已知刚体的运动，求作用在刚体上的约束力。已知刚体的运动，求作用在刚体上的约束力。例例1 一个均质圆盘一个均
13、质圆盘, 由于安装不善由于安装不善, 涡轮转动轴与盘面法涡轮转动轴与盘面法线成交角线成交角 . 圆盘质量为圆盘质量为m,半径半径r, 中心中心O在转轴上在转轴上, O至两至两轴承轴承A与与B的距离均为的距离均为a. 设轴以角速度设轴以角速度 转动转动, 试求轴承试求轴承上的压力上的压力解：以圆盘和转轴为系统，建立圆盘中心解：以圆盘和转轴为系统，建立圆盘中心O点的主轴坐点的主轴坐标系标系 ；为分解约束力再建；为分解约束力再建 对对Z轴角动量知，轴角动量知，圆盘对圆盘对O点的角动量为点的角动量为上式在上式在X，Y方向的投影为：方向的投影为：质心运动定理为：质心运动定理为：由（由（4）-（7）得：）得：由上式可知，当高速运转部件安装不善造成对轴承的动由上式可知，当高速运转部件安装不善造成对轴承的动压力危害很大，因而要求高速运转部件安装精度高，另压力危害很大，因而要求高速运转部件安装精度高，另外可通过动平稀来消除动压力。外可通过动平稀来消除动压力。当当 时，约束力只有时，约束力只有 ,其他约束力为零，其他约束力为零，圆盘处于动平衡状态，则这样的转轴称为自由转圆盘处于动平衡状态，则这样的转轴称为自由转动轴。（轴须通过质心且是质心的惯量主轴则可动轴。（轴须通过质心且是质心的惯量主轴则可为自由转动轴）为自由转动轴）
