重心及截面的几何性质分解 第一节第一节 重心重心重心：重心：物体重力合力的作用点重心相对于刚体的位置固定不变一、重心坐标公式重心坐标公式 将物体分割成许多微小部分，其中某一微小部分Mi的重力为Wi，其作用点的坐标为xi、yi、zi，重心C的坐标为xC、yC、zC将各WiC物体的重力为： 应用合力矩定理，分别求物体的重力对x、y轴的矩，有 将物体随坐标系一起旋转90°，使y轴铅垂向下对x轴应用合力矩定理，有： 物体重心物体重心C的坐标公式为：的坐标公式为： 二、均质物体的重心公式二、均质物体的重心公式 若单位体积的重量γ=常量以ΔVi表示微小部分Mi的体积，均质物体的重心又称为形心代入重心公式得：以V=∑ΔVi表示整个物体的体积，则有 和 ， 如果将物体分割的份数为无限多，式子可改写成积分形式： 三、均质平板重心的坐标公式和平面图形形心公式三、均质平板重心的坐标公式和平面图形形心公式 厚度为δ均质平板，其重心在其对称面内取坐标面xy和对称面重合，平板重心的zC为零设对称面图形的面积为A，分割平面，某一微小部分的面积为ΔAi，重力为Wi， ，平板的重力 W= 该式亦为平面图形形心公式。
无限分割平面，平面图形的形心公式的积分形式为：代入重心公式，得均质平板的重心公式： 对于均质物体，如其几何形体上具有对称面、对称轴或对称中心，则该物体的重心或形心必在此对称面、对称轴或对称中心上 将复杂形体视为简单形体组合，这些简单形体的重心已知的或易求，这样整个形体的重心就可用坐标公式直接求得四、确定重心的常用方法四、确定重心的常用方法 3、负面积法、负面积法 形体上若有挖去的部分，把挖去的部分视为负值（负体积或负面积），利用坐标公式来求形体的重心 4、积分法、积分法对规则形体，适当的选取微元，可用定积分求重心 例例4-1 角钢截面的尺寸如图所示试求其形心的位置解：解：（一）组合法（一）组合法 取Oxy坐标系如图所示 （二）负面积法（二）负面积法 xy例例4-2 例例4-3 用积分法求扇形重心公式θdθdA= 解：解： (1)悬挂法悬挂法 过点A将板悬挂，作悬挂绳延长线AB ， 过D点将板悬挂， 得DE线，两线的交点为板的重心 问：悬挂法的依据是什么？ 二力平衡公理 (2)称重法称重法 先称出物体的重量，然后将其一端支于固定支点A，另一端放在磅秤上再称得一数值，由平衡方程确定重心的位置。
图示连杆，秤得其重量为W，第二次秤的读数等于秤对连杆的约束反力由平衡方程FNBFNA 第二节第二节第二节第二节 截面的几何性质截面的几何性质截面的几何性质截面的几何性质一、静矩一、静矩设该平面图形的形心设该平面图形的形心C的坐标为的坐标为xC 、、yC ，， 若若xC = 0、、yC= 0，则，则Sy = 0、、Sx = 0可见，若某轴通过可见，若某轴通过图形的形心，则图形对该轴的静矩必等于零图形的形心，则图形对该轴的静矩必等于零静矩可正，可负，可为零，具有长度的三次方量纲静矩可正，可负，可为零，具有长度的三次方量纲 二、惯性矩和惯性积二、惯性矩和惯性积惯性矩恒为正值，具有长度的四次方的量纲惯性矩恒为正值，具有长度的四次方的量纲i：：惯性半径惯性半径 组合图形对某轴的惯性矩组合图形对某轴的惯性矩 2．计算惯性矩的平行移轴公式．计算惯性矩的平行移轴公式 极惯性矩极惯性矩Ip恒为正值，具有长度的四次方的量纲恒为正值，具有长度的四次方的量纲 惯性积和惯性矩的量纲相同，但可正、可负，可为零惯性积和惯性矩的量纲相同，但可正、可负，可为零 如果图形有一根（或一根以上）对称轴，则此对称轴为惯如果图形有一根（或一根以上）对称轴，则此对称轴为惯性主性主轴。
轴通过形心，则称为形心惯性主轴，图形对这对轴的惯性矩称为若图形对一对正交坐标轴x、y的惯性积Ixy为零该对坐标轴称为惯性主轴，对应的惯性矩Ix、Iy称为主惯性矩主惯性矩若惯性主轴形心主惯性矩形心主惯性矩 例例4-3 试求矩形对其形心轴试求矩形对其形心轴x、、y以及以及x1的惯性矩的惯性矩Ix、、Iy、、Ix1 解：取与解：取与x轴平行的狭长条为微面积，则轴平行的狭长条为微面积，则dA = bdy 再取与再取与y轴平行的狭长条为微面积轴平行的狭长条为微面积 根据平行轴公式根据平行轴公式 例例4-4 试求圆形和圆环形图形对圆心的极惯性矩试求圆形和圆环形图形对圆心的极惯性矩Ip以及对各自形以及对各自形心轴心轴x、、y的惯性矩的惯性矩Ix、、Iy解：（一）圆形解：（一）圆形在圆形上距圆心为在圆形上距圆心为ρ处取宽度为处取宽度为dρ的细的细圆环为微面积圆环为微面积 圆形是中心对称的图形，对圆形是中心对称的图形，对x轴和轴和y轴的惯性矩相等，即轴的惯性矩相等，即Ix = Iy 将计算将计算Ip的积分式的积分上、下限的积分式的积分上、下限对应改为对应改为 、、 （二）圆环形（二）圆环形 一、重心公式一、重心公式1. 一般物体一般物体2. 均质物体均质物体小小 结结 。