一数列概念二数列极限

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1、一、数列的概念一、数列的概念二、数列的极限二、数列的极限第一节第一节 数列的极限数列的极限一、数列的概念定义2.1 按一定顺序排列起来的无穷多个数称为数列,简记为 .数列中的每个数称为数列的项. 第n项 称为数列通项或一般项. 中的n称为数列的下标.例1 数列例2例3 数列例4 数列数列 可以理解为正整数n的函数，因此，又可以称数列为整标函数，其定义域是正整数集.单调增加的；单调增加或单调减少的数列统称为单调数列.单调减少的.若有定义2.2 对于数列 ，若存在正数M，使得对于一切的n都有成立，则称数列 是有界的，否则称 是无界的.容易验证例1、例2、例3数列是有界的，的和例4中数列是无界的.在

2、几何上，通常用数轴上的点列 来表示数列 .这种表示法可以显示数列的某些性态.如单调增加的数列 是自左向右依次排列的点列.表示有界数列的点列全部落在某一区间M，M之内，表示无界数列的点列，无论区间M，M多么长，总有落在该区间之外的点.二、数列的极限我国古代著名的“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的论断，就是数列极限思想的体现.数列的变化趋势，也可以通过平面直角坐标系上的图形来直观表示.例如对于 来说，当n越来越大时，没有确定的变化趋势.当n“充分大”时， “无限接近于1”;的图形当n“充分大时”， “无限接近于0”.定义2.3 设有数列 和常数a，如果对于任意给定的正数 (不论它多么小)，总存在正

3、整数N，使得当nN时，有那么就称数列 以a为极限，或者称数列 收敛于a，记作 或如果这样的常数a不存在，就说数列 没有极限，可表示为 或者说数列 是发散的. 数列收敛于a的几何意义如下：当我们把 看成是数轴上的点列时，数列 收敛于a，就是对点a 的任何一个邻域 ，都存在一个序号N，使得点列 的第N个点 以后的所有点 都在这个邻域之内，即点列中最多除去前N个点外，都聚集在点a的这个邻域之内，或者说至多有N个点 落在区间之外. 当我们把数列 看成是n的整标函数，即 其图形是在平面直角坐标系中的二维点列： 数列 收敛于a，就是对于任意给定的正数 (无论其多么小)，总存在正整数N，当nN时，二维点 都在直线 与直线 形成的带状域之内，一般来说， 越小( 带宽小)，N越大.例5 用定义验证证 对于任意给定的0,欲使只需因此取正整数则当nN时,都有从而知,当 时, 以0为极限,即证 当q=0时，等式显然成立.当0|q|1时，对任意给定的正数 (不妨设 1).例6证 对于任意给定的正数 (不妨设0 N时，都有 ,则存在M0,使得对于一切n,都有取则对于一切n,都有由定理2.1知，无界数列一定是发散的.注意: 数列有界是数列收敛的必要条件，但不是充分条件.例如，数列 是有界的，而 却是发散数列.