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1、线性空间线性空间 所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间：所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间：1次数等于不构成。因两个n次多项式相加不一定是n次多项式。例如的实系数多项式的全体，对于多项式的加法和数量乘法； 解：解：构成.令 | 为实系数多项式， 是 实矩阵则有由于矩阵的加法和数量乘法满足线性空间定义的18条规则，故2设是一个构成线性空间。实矩阵，的全体，对于矩阵的加法和数量乘法；的实系数多项式3全体解：解：构成。因为实对称(反对称，上三角，下三角）之和、之倍数仍为实对称(反对称，上三角，下三角），故做成线性空间。级实对称（反对称，上三角）矩阵，对于矩阵的加法和数量乘法；4平面上不平行
2、于某一向量的全部向量所成的集合，对于向量的加法和数量乘法；解解：不构成。例如，以那个已知向量为对角线的任意两个向量，它们的和不属于这个集合。5全体实数的二元数列，对于下面定义的运算解：构成。6平面上的全体向量，对于通常的加法和如下定义的数量乘法： 解：不能构成。因为，不满足规则5。7集合与加法同6）数量乘法定义为： 解：不能构成。因为 8全体正实数，加法与数量乘法定义为： 解：解：能构成。显然所给集合对定义的加法和数量乘法都是封闭的，且满足八条规则。求下列线性空间的维数与一组基求下列线性空间的维数与一组基9数域 解：上的空间的元素为于是是令维，基是 10解：解：i) 令，其余都是零， 所以是中
3、全体对称（反对称，上三角）矩阵作成的数域P上的空间是对称矩阵所成空间的一组基，维的。ii)令，其余均为零,所以它是是反对称阵所成空间的一组基，维的。iii)令所以是是上三角阵所成空间的一组基，维。11第3题8）中的空间解解：数1是“零”元，任一不等于1的正实数都是线性无关的向量，取空间一非“零”元，例如，取2，对于任一正实数 ，所以此空间是一维的，2是一组基，或者说，任意非“零”元都可作可经2线性表出。 的基。12实数域上由矩阵A的全体实系数多项式组成的空间，其中解：解：因为 所以而下证令线性无关。即其系数行列式故方程只有零解： 线性无关，由它们作基，构成三维线性空间。在在 中，求由基中，求由
4、基 到基到基 的过渡矩阵，的过渡矩阵，并求向量在所指基下的坐标并求向量在所指基下的坐标.设设13 在下的坐标；解：解：14 在解解：令下的坐标；由前式得代入后一式得15.证明：实数域作为它自身上的线性空间与第证明：实数域作为它自身上的线性空间与第3题题8）中的空间同构）中的空间同构。证：证：因为它们都是实数域上的一维线性空间，故同构。16.设设 , 都是线性空间都是线性空间 的子空间，且的子空间，且 证明：如果证明：如果 的维数和的维数和 的维数相等，那么的维数相等，那么 。证证：设所以也是的一组基，且它们的维数相等，因为，可找到一组基17.设设 1)证明：全体与证明：全体与2)3)记作记作的
5、一子空间，的一子空间，可交换的矩阵组成可交换的矩阵组成时，求时，求时，求时，求的维数和一组基的维数和一组基。证：证：1)全体与A可交换的矩阵的集合记为构成子空间。2) 3)设 为可与 交换的矩阵，由第四章习题5可知， 只能是对角矩阵，故维数为 ; 时，为一组基。18.证明：和证明：和证：证：必要性 ： ，所以充分性（反证法）：设 （1）不是直和，那么零向量还有一个分解式：是直和的充要条件是是直和的充要条件是其中， 在式（1）中设最后一个不为零的向量是 ，这时因此那么式（1）变为，又，这与矛盾。19.设设求求解：解：设与可交换，即可交换的矩阵所成的子空间的维数可交换的矩阵所成的子空间的维数和一组
6、基和一组基。中全体与中全体与得由对应元素相等，得 (1)方程组(1)的系数矩阵秩为2，解空间维数为5。与其一组基由上面得到可经可交换的矩阵为 表示，20.求求由下列由下列向量向量 生成的子空间的交的基与维数生成的子空间的交的基与维数。设设解：解：设交的向量 则有即 (1)算得且方程(1)的解空间维数为1，交的维数也为1。任取一非零解 ，即它们的交为得交的一组基：，是一维的， 就是一组基。21.设设 与与 分别是齐次方程组分别是齐次方程组 与与 的解空间，的解空间，证明：证明： 证证：由 的解空间是取基为维，即其系数矩阵因此解空间是一维的，令基为 (1)故向量(1)是中任意元可经向量组(1)表示，从而的一组基。取
