《一维无限深势阱》由会员分享，可在线阅读，更多相关《一维无限深势阱（35页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2.6 2.6 一维无限深势阱一维无限深势阱2008.52008.5Quantum MechanicsQuantum Mechanicsa金属金属U(x)U=U0U=U0EU=0x极极限限U=0EUUU(x)x0a 无限深方势阱无限深方势阱 （potential well）是实际情况的极端化和简化。粒子在势阱内受力为零，势能为零。在阱内自由运动在阱外势能为无穷大，在阱壁上受极大的斥力, 不能到阱外。2.6 2.6 一维无限深势阱一维无限深势阱2008.52008.5Quantum MechanicsQuantum Mechanics势函数势函数粒子在阱内自由运动不能到阱外一、薛定谔方程和波函数
2、02008.52008.5Quantum MechanicsQuantum Mechanics哈密顿量哈密顿量定态薛定谔方程定态薛定谔方程阱内：阱内：0阱外：阱外：2008.52008.5Quantum MechanicsQuantum Mechanics根据波函数有限的条件阱外1)阱外分区求通解分区求通解2008.52008.5Quantum MechanicsQuantum Mechanics令2)阱内(为了方便将波函数脚标去掉)将方程写成通解式中 A 和 B 是待定常数2008.52008.5Quantum MechanicsQuantum Mechanics由波函数标准条件和边界条件定
3、特解由波函数标准条件和边界条件定特解v 在在在在 x=0x=0x=0x=0处，波函数要连续，即处，波函数要连续，即处，波函数要连续，即处，波函数要连续，即v 在在在在x=a x=a x=a x=a 处，波函数要连续，即处，波函数要连续，即处，波函数要连续，即处，波函数要连续，即通解是2008.52008.5Quantum MechanicsQuantum MechanicsA 已经为零了，B 不能再为零了。即只能 sin(ka)等于零要求故能量可能值但由上式2008.52008.5Quantum MechanicsQuantum Mechanicsv 由波函数的归一性质定常数由波函数的归一性质
4、定常数由波函数的归一性质定常数由波函数的归一性质定常数 B B B B得本征函数这组函数构成本征函数系。2008.52008.5Quantum MechanicsQuantum Mechanics定态波函数定态波函数概率密度概率密度2008.52008.5Quantum MechanicsQuantum Mechanicsr 每个可能的值叫能量本征值讨论r 束缚态 粒子能量取值分立 (能级概念) 能量量子化r 基态：最低能量不为零-波粒二象性的必然结果，因为静止的波是不存在的。2008.52008.5Quantum MechanicsQuantum Mechanicsr 能级间距：L-阱宽r
5、通常表达式写为当n 很大时,能量趋于连续, 量子效应不明显。2008.52008.5Quantum MechanicsQuantum Mechanics本征能量和本征函数的可能取值小结：2008.52008.5Quantum MechanicsQuantum Mechanics一维无限深方势阱中粒子的波函数和概率密度一维无限深方势阱中粒子的波函数和概率密度一维无限深方势阱中粒子的波函数和概率密度一维无限深方势阱中粒子的波函数和概率密度oaao2008.52008.5Quantum MechanicsQuantum Mechanics时，量子经典符合玻尔对应原理|2n|an 很大En0平均效应明
6、显2008.52008.5Quantum MechanicsQuantum Mechanics2 2、有限深方形势阱、有限深方形势阱 势的特点：空间反射对称0 0x xa/2a/2-a/2-a/2V V0 0V V0 0V V( (x x) )E2008.52008.5Quantum MechanicsQuantum Mechanics写出分区定态方程在阱外(经典禁介区)令方程(1)变为其解为都是方程的解？2008.52008.5Quantum MechanicsQuantum Mechanics现在是有限深的情况！2008.52008.5Quantum MechanicsQuantum Me
7、chanics在阱内(经典允许区)令则方程变为其解可以写为2008.52008.5Quantum MechanicsQuantum Mechanics2008.52008.5Quantum MechanicsQuantum Mechanics2008.52008.5Quantum MechanicsQuantum Mechanics令则(5)式化为由有再利用(6)式,有2008.52008.5Quantum MechanicsQuantum Mechanics试考虑：如何由 求2008.52008.5Quantum MechanicsQuantum Mechanics2008.52008.5Q
8、uantum MechanicsQuantum Mechanics2008.52008.5Quantum MechanicsQuantum Mechanics2008.52008.5Quantum MechanicsQuantum Mechanics3、束缚态与分立谱的讨论 由以上分析可知，束缚态能量是分立的。相应动量也是分立的。我们也可从波函数变化规律来解释这一现象.由定态方程这是在束缚态边界条件下求解定态方程的结果。2008.52008.5Quantum MechanicsQuantum Mechanics解为2008.52008.5Quantum MechanicsQuantum Mec
9、hanics解为2008.52008.5Quantum MechanicsQuantum Mechanics 据此可定性讨论能量可能取值及波函数的节点数。0 0x xa/2a/2-a/2-a/2V V0 0V V0 0V V( (x x) )E2008.52008.5Quantum MechanicsQuantum Mechanics2008.52008.5Quantum MechanicsQuantum Mechanics也不满足束缚态条件2008.52008.5Quantum MechanicsQuantum Mechanics2008.52008.5Quantum MechanicsQuantum Mechanics2008.52008.5Quantum MechanicsQuantum Mechanics 总之，基态波函数无节点，激发态（能量较高的束缚态）节点数依次增加。而且能量越高，振荡越激烈。2008.52008.5Quantum MechanicsQuantum Mechanics
