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1、第第6章章 常微分方程常微分方程对自然界的深刻研究对自然界的深刻研究傅里叶傅里叶微积分微积分研究的对象是函数关系研究的对象是函数关系, ,但在但在实际问题中实际问题中, ,往往很难直接得到往往很难直接得到所研究的变量之间所研究的变量之间的函数关系的函数关系, ,却却比较容易建立起比较容易建立起这些变量与它们的导数或微分之这些变量与它们的导数或微分之间的间的联系联系, ,从而得到一个从而得到一个分的方程分的方程, ,即即微分方程微分方程. .通过求解通过求解这种方程这种方程, ,同样可同样可以找到指定未知量以找到指定未知量之间的函数关系之间的函数关系. .因此因此, ,微分方程是数学联微分方程是
2、数学联关于未知函数的导数或微关于未知函数的导数或微是数学最富饶的源泉是数学最富饶的源泉. .系实际系实际, ,并应用于实际并应用于实际并应用于实际的重要并应用于实际的重要途径和桥梁途径和桥梁, ,是各个学科进行是各个学科进行科学研究的强有力科学研究的强有力的工具的工具. .如果如果说说“数学是一门理性思维的科学数学是一门理性思维的科学, ,是研究、是研究、了了解和知晓现实解和知晓现实世界的工具世界的工具”,”,那么微分方程就是那么微分方程就是显示数学的这种威力和显示数学的这种威力和价值的一种体现价值的一种体现. .现实世界中的许现实世界中的许多实际问题多实际问题都可以抽象为都可以抽象为微分微分
3、方程问题方程问题. .例如例如, ,物体物体的冷却、的冷却、琴弦的琴弦的震动震动、电磁波的电磁波的传播等传播等, , 都可以归结为都可以归结为微分方程微分方程 的问题的问题. 人口的增长、人口的增长、微分方程是微分方程是一门独立的数学学科一门独立的数学学科, , 有完整有完整的的理论体系理论体系. .本章我们主要介绍微分方程的一些本章我们主要介绍微分方程的一些基本概念基本概念, ,种常用的微分方程的种常用的微分方程的求解方法求解方法, ,线性微分方程线性微分方程解的理论解的理论. .几几这时微分方程也称为这时微分方程也称为所研究问题的所研究问题的数数学模型学模型. .解解一、问题的提出一、问题
4、的提出6.1 微分方程的基本概念微分方程的基本概念解解代入条件后知代入条件后知故故开始制动到列车完全停住共需开始制动到列车完全停住共需微分方程微分方程: :凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程. .例例实质实质: : 联系自变量联系自变量, ,未知函数以及未知函数的未知函数以及未知函数的某些导数某些导数( (或微分或微分) )之间的关系式之间的关系式. .二、微分方程的定义二、微分方程的定义微分方程的阶微分方程的阶: : 微分方程中出现的未知函数的最微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称之高阶导数的阶数称之. .分类分类1 1: : 常微分
5、方程常微分方程, , 偏常微分方程偏常微分方程. .一阶微分方程一阶微分方程高阶高阶( (n) )微分方程微分方程分类分类2:2:分类分类3 3: : 线性与非线性微分方程线性与非线性微分方程. .分类分类4 4: : 单个微分方程与微分方程组单个微分方程与微分方程组. .微分方程的解微分方程的解: :代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称之代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称之. . 微分方程的解的分类：微分方程的解的分类：三、主要问题三、主要问题-求方程的解求方程的解(1)(1)通解通解: : 微分方程的解中含有任意常数微分方程的解中含有任意常数, ,且任且任意常数的个数与微分方程的阶数
6、相同意常数的个数与微分方程的阶数相同. .(2)(2)特解特解: : 确定了通解中任意常数以后的解确定了通解中任意常数以后的解. .解的图象解的图象: : 微分方程的积分曲线微分方程的积分曲线. .通解的图象通解的图象: : 积分曲线族积分曲线族. .初始条件初始条件: : 用来确定任意常数的条件用来确定任意常数的条件. .过定点的积分曲线过定点的积分曲线;一阶一阶:二阶二阶:过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.初值问题初值问题: : 求微分方程满足初始条件的解的问题求微分方程满足初始条件的解的问题. .求所满足的微分方程求所满足的微分方程 .
7、例例2. 已知曲线上点已知曲线上点 P(x, y) 处的法线与处的法线与 x 轴交轴交点为点为 Q解解: 如图所示如图所示, 令令 Y = 0 , 得得 Q 点的横坐标点的横坐标即即点点 P(x, y) 处的法线方程为处的法线方程为且线段且线段 PQ 被被 y 轴平分轴平分, 解解所求特解为所求特解为补充补充: :微分方程的初等解法微分方程的初等解法: : 初等积分法初等积分法. .求解微分方程求解微分方程求积分求积分(通解可用初等函数或积分表示出来通解可用初等函数或积分表示出来)例例5 求曲线族求曲线族满足的微分方程满足的微分方程, , 其中其中为任意常数为任意常数. .解解 求曲线族所满足
8、的方程求曲线族所满足的方程, , 就是求一微分方程就是求一微分方程, ,所所给给的的曲曲线线族族 正正好好是是该该微微分分方方程程的的积积分分曲曲线线族族 .此所求的微分方程的阶数应与此所求的微分方程的阶数应与常数的个数相等常数的个数相等. 这里这里, ,法法来得到所求的微分方程来得到所求的微分方程.已已知知曲曲线线族族中中的的任任意意我们通过消去任意常数的方我们通过消去任意常数的方对对求导求导, , 得得再从再从解出解出代入上式得代入上式得使使因因在等式在等式两端两端化简即得到所求的微分方程化简即得到所求的微分方程微分方程微分方程; 微分方程的阶微分方程的阶; 微分方程的解微分方程的解;通解通解; 初始条件初始条件;特解特解; 初值问题初值问题; 积分曲线积分曲线;四、小结四、小结思考题思考题思考题解答思考题解答中不含任意常数中不含任意常数,故为微分方程的故为微分方程的特特解解.练练 习习 题题练习题答案练习题答案
