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1、第一章第一章 误差的根本概念差的根本概念教学目的和要求 经过本章内容的教学，使学生本章内容的教学，使学生对误差的差的定定义、表达方法、分、表达方法、分类和和误差来源等根本概差来源等根本概念有一个系念有一个系统全面的了解，全面的了解，为后后续内容学内容学习打下根底。要求学生了解真打下根底。要求学生了解真值的概念，掌握的概念，掌握误差最常用的表达方式，了解差最常用的表达方式，了解误差来源的分差来源的分析方法，正确运用近似数的修析方法，正确运用近似数的修约准那么。准那么。主要内容主要内容一、丈量的概念一、丈量的概念二、二、误差的定差的定义及根本概念及根本概念三、丈量三、丈量误差的来源差的来源四、四、
2、误差的分差的分类五、近似数的修五、近似数的修约与运算与运算定定义：以确定量：以确定量值为目的的一目的的一组操作。操作。 目的：确定被丈量的目的：确定被丈量的值或或获取丈量取丈量结果。果。 第一第一节 丈量的概念丈量的概念丈量丈量定定义：实现单位一致、量位一致、量值准确可靠的活准确可靠的活动。 单单单单位一致指的是位一致指的是位一致指的是位一致指的是计计计计量量量量单单单单位的一致。位的一致。位的一致。位的一致。计计计计量量量量单单单单位的一致，位的一致，位的一致，位的一致，是量是量是量是量值值值值一致的重要前提。一致的重要前提。一致的重要前提。一致的重要前提。 量量量量值值值值准确可靠表征的是
3、丈量准确可靠表征的是丈量准确可靠表征的是丈量准确可靠表征的是丈量结结结结果与被丈量量的真果与被丈量量的真果与被丈量量的真果与被丈量量的真值值值值的的的的接近程度，准的定量描画用接近程度，准的定量描画用接近程度，准的定量描画用接近程度，准的定量描画用误误误误差或丈量不确定度。差或丈量不确定度。差或丈量不确定度。差或丈量不确定度。“ “准准准准是是是是计计计计量的中心。量的中心。量的中心。量的中心。 计量量1 1、丈量是一个广、丈量是一个广义义的概念，丈量包括的概念，丈量包括计计量。量。 2 2、计计量是一种特殊的丈量。量是一种特殊的丈量。 计计计计量量量量仪仪仪仪器必需有器必需有器必需有器必需有
4、计计计计量量量量检检检检定合格定合格定合格定合格证书证书证书证书。 计计计计量人量人量人量人员员员员必需持必需持必需持必需持证证证证上上上上岗岗岗岗。 计计计计量量量量环环环环境必需境必需境必需境必需满满满满足国家技足国家技足国家技足国家技术规术规术规术规范的要求。范的要求。范的要求。范的要求。 计计计计量方法必需按国家量方法必需按国家量方法必需按国家量方法必需按国家计计计计量量量量检检检检定定定定规规规规程程程程进进进进展。展。展。展。 计计计计量量量量结结结结果必需果必需果必需果必需给给给给出出出出误误误误差与丈量不确定度的大小。差与丈量不确定度的大小。差与丈量不确定度的大小。差与丈量不确
5、定度的大小。 3 3、计计量是丈量的根底，又是最高量是丈量的根底，又是最高层层次的丈量。次的丈量。 丈量与丈量与计量的关系量的关系测测 量量直直直直接接接接测测测测量量量量间间间间接接接接测测测测量量量量工工工工程程程程测测测测量量量量精精精精密密密密测测测测量量量量电电电电量量量量测测测测量量量量非非非非电电电电量量量量测测测测量量量量等等等等权权权权测测测测量量量量非非非非等等等等权权权权测测测测量量量量静静静静态态态态测测测测量量量量动动动动态态态态测测测测量量量量丈量的分丈量的分类直接丈量直接丈量直接丈量直接丈量指指指指经过经过直接丈量与被丈量有直接丈量与被丈量有直接丈量与被丈量有直接
6、丈量与被丈量有函数关系的量，函数关系的量，函数关系的量，函数关系的量，经过经过函数关系函数关系函数关系函数关系求得被丈量求得被丈量求得被丈量求得被丈量值值的丈量方法。的丈量方法。的丈量方法。的丈量方法。指被丈量与指被丈量与指被丈量与指被丈量与该规该规范量直接范量直接范量直接范量直接进进展比展比展比展比较较的的的的丈量，指丈量，指丈量，指丈量，指该该被丈量的丈量被丈量的丈量被丈量的丈量被丈量的丈量结结果可以直接果可以直接果可以直接果可以直接由丈量由丈量由丈量由丈量仪仪器器器器输输出得到，而不再需求出得到，而不再需求出得到，而不再需求出得到，而不再需求经过经过量量量量值值的的的的变换变换与与与与计
7、计算。算。算。算。用游标卡尺丈用游标卡尺丈用游标卡尺丈用游标卡尺丈量小尺寸轴工量小尺寸轴工量小尺寸轴工量小尺寸轴工件的直径时，件的直径时，件的直径时，件的直径时，游标卡尺的读游标卡尺的读游标卡尺的读游标卡尺的读数即是被测工数即是被测工数即是被测工数即是被测工件的直径件的直径件的直径件的直径间间接丈量接丈量接丈量接丈量用游标卡尺测大用游标卡尺测大用游标卡尺测大用游标卡尺测大尺寸轴工件的直尺寸轴工件的直尺寸轴工件的直尺寸轴工件的直径，因量程不够，径，因量程不够，径，因量程不够，径，因量程不够，采用丈量弦长与采用丈量弦长与采用丈量弦长与采用丈量弦长与矢高的方法，间矢高的方法，间矢高的方法，间矢高的方
8、法，间接得到工件直径接得到工件直径接得到工件直径接得到工件直径按丈量按丈量结果的果的获取方式分取方式分类指指指指在在在在丈丈丈丈量量量量过过程程程程中中中中被被被被丈丈丈丈量量量量可可可可以以以以以以以以为为是是是是固固固固定定定定不不不不变变的的的的。因因因因此此此此，不不不不需需需需求求求求思思思思索索索索时时间间要要要要素素素素对对丈丈丈丈量量量量的的的的影影影影响响响响指被丈量在丈量期指被丈量在丈量期指被丈量在丈量期指被丈量在丈量期间间随随随随时间时间或其他影响量或其他影响量或其他影响量或其他影响量发发生生生生变变化化化化静静静静态态丈量丈量丈量丈量在日常丈量中，大在日常丈量中，大在日
9、常丈量中，大在日常丈量中，大多接触的是静态丈多接触的是静态丈多接触的是静态丈多接触的是静态丈量。对于这种丈量，量。对于这种丈量，量。对于这种丈量，量。对于这种丈量，被丈量和丈量误差被丈量和丈量误差被丈量和丈量误差被丈量和丈量误差可以当作一种随机可以当作一种随机可以当作一种随机可以当作一种随机变量来处置变量来处置变量来处置变量来处置动态动态丈量丈量丈量丈量弹道轨迹的丈量、弹道轨迹的丈量、弹道轨迹的丈量、弹道轨迹的丈量、环境噪声的丈量等。环境噪声的丈量等。环境噪声的丈量等。环境噪声的丈量等。对这类被丈量的丈对这类被丈量的丈对这类被丈量的丈对这类被丈量的丈量，需求当作一种量，需求当作一种量，需求当作
10、一种量，需求当作一种随机过程的问题来随机过程的问题来随机过程的问题来随机过程的问题来处置。处置。处置。处置。根据被丈量根据被丈量对象在丈量象在丈量过程中程中所所处的形状分的形状分类指指指指在在在在丈丈丈丈量量量量过过程程程程中中中中，丈丈丈丈量量量量仪仪器器器器、丈丈丈丈量量量量方方方方法法法法、丈丈丈丈量量量量条条条条件件件件和和和和操操操操作作作作人人人人员员都都都都坚坚持持持持不不不不变变。因因因因此此此此，对对同同同同一一一一被被被被丈丈丈丈量量量量进进展展展展的的的的多多多多次次次次丈丈丈丈量量量量结结果果果果可可可可以以以以为为具具具具有有有有一一一一样样的信任程度，的信任程度，的
11、信任程度，的信任程度，应应按同等原那么按同等原那么按同等原那么按同等原那么对对待。待。待。待。指丈量指丈量指丈量指丈量过过程中丈量程中丈量程中丈量程中丈量仪仪器、丈量方法、丈量器、丈量方法、丈量器、丈量方法、丈量器、丈量方法、丈量条件或操作人条件或操作人条件或操作人条件或操作人员员某一要素或某几要素某一要素或某几要素某一要素或某几要素某一要素或某几要素发发生生生生变变化，使得丈量化，使得丈量化，使得丈量化，使得丈量结结果的信任程度不同。果的信任程度不同。果的信任程度不同。果的信任程度不同。对对不等不等不等不等权权丈量的数据丈量的数据丈量的数据丈量的数据应应按不等按不等按不等按不等权权原那么原那
12、么原那么原那么进进展展展展处处置。置。置。置。 等等等等权权丈量丈量丈量丈量不等不等不等不等权权丈量丈量丈量丈量根据丈量条件能否根据丈量条件能否发生生变化分化分类x-a定定义被丈量被丈量的真的真值丈量丈量结果果丈量丈量误差差第二第二节 丈量丈量误差的定差的定义及根本概念及根本概念一、丈量一、丈量误差差 丈量丈量结结果果x的的值值是由丈量所得到的是由丈量所得到的赋赋予被丈量的予被丈量的值值。 广广义义上我上我们们可以把可以把测测得得值值、丈量、丈量值值、检测值检测值、实验值实验值、示、示值值、名、名义值义值、标标称称值值、预预置置值值、给给出出值值等均看作等均看作是丈量是丈量结结果。丈量果。丈量
13、结结果是我果是我们们要研要研讨讨的的对对象。象。丈量丈量结果果真真值定定义为与与给定定的特定量的定一致的特定量的定一致的的值。 实际真真值普通只存在于普通只存在于纯理理论之中。之中。 三角形内角之和恒为180一个整圆周角为360真真 值亦称 指定指定指定指定值值、商定、商定、商定、商定值值、参考、参考、参考、参考值值或或或或最正确估最正确估最正确估最正确估计值计值是指是指是指是指对对于于于于给给定用途具有适当不确定用途具有适当不确定用途具有适当不确定用途具有适当不确定度的、定度的、定度的、定度的、赋赋予特定量的予特定量的予特定量的予特定量的值值。由国家建立的由国家建立的由国家建立的由国家建立的
14、实实物物物物规规范范范范或基准所指定的千或基准所指定的千或基准所指定的千或基准所指定的千克副原器克副原器克副原器克副原器质质量的商定真量的商定真量的商定真量的商定真值为值为1kg1kg1kg1kg，其复，其复，其复，其复现现的不确的不确的不确的不确定度定度定度定度为为0.008mg0.008mg0.008mg0.008mg。七个七个七个七个SISISISI根本根本根本根本单单位：位：位：位：米、千克、安培、米、千克、安培、米、千克、安培、米、千克、安培、秒、开秒、开秒、开秒、开尔尔文、堪文、堪文、堪文、堪德拉德拉德拉德拉 、摩、摩、摩、摩尔尔商定真商定真值商定真商定真值二、根本表示方法二、根本
15、表示方法误差误差 绝对绝对绝对绝对误差误差误差误差相对相对相对相对误差误差误差误差援用援用援用援用误差误差误差误差x-a特点：特点：特点：特点：绝对误绝对误差是一个差是一个差是一个差是一个具有确定的大小、符号具有确定的大小、符号具有确定的大小、符号具有确定的大小、符号及及及及单单位的量。位的量。位的量。位的量。单单位位位位给给出出出出了被丈量的量了被丈量的量了被丈量的量了被丈量的量纲纲，其，其，其，其单单位与位与位与位与测测得得得得值值一一一一样样。 适用于同一量适用于同一量适用于同一量适用于同一量级级的的的的同种量的丈量同种量的丈量同种量的丈量同种量的丈量结结果果果果的的的的误误差比差比差比
16、差比较较和和和和单单次次次次丈量丈量丈量丈量结结果的果的果的果的误误差差差差计计算。算。算。算。 绝对误差差绝对误差差与与与与误误差差差差绝对值绝对值相等、符号相反的相等、符号相反的相等、符号相反的相等、符号相反的值值，普通用，普通用，普通用，普通用c c c c表示。表示。表示。表示。 在自在自在自在自动动丈量丈量丈量丈量仪仪器中，可将修正器中，可将修正器中，可将修正器中，可将修正值编值编成程序存成程序存成程序存成程序存储储在在在在仪仪器中，器中，器中，器中，仪仪器器器器输输出的是出的是出的是出的是经过经过修正的丈量修正的丈量修正的丈量修正的丈量结结果。果。果。果。 修正修正结果果 是将是将
17、测得得值加上修正加上修正值后的丈后的丈量量结果，果，这样可提高丈量准确度。可提高丈量准确度。 在丈量在丈量在丈量在丈量仪仪器中，修正器中，修正器中，修正器中，修正值值常以表格、曲常以表格、曲常以表格、曲常以表格、曲线线或公式的或公式的或公式的或公式的方式方式方式方式给给出。出。出。出。 修正修正值修正修正值真真真真值值绝对误绝对误差差差差用某用某用某用某电压电压表丈量表丈量表丈量表丈量电压电压，电压电压表的示表的示表的示表的示值为值为226V226V226V226V，查该查该表的表的表的表的检检定定定定证书证书，得知，得知，得知，得知该电压该电压表在表在表在表在220V220V220V220V
18、附近附近附近附近的的的的误误差差差差为为5V 5V 5V 5V ，被，被，被，被测电压测电压的修正的修正的修正的修正值为值为5V 5V 5V 5V ，那，那，那，那么修正后的丈量么修正后的丈量么修正后的丈量么修正后的丈量结结果果果果为为226+(226+(226+(226+(5V )=221V5V )=221V5V )=221V5V )=221V。 测测得得得得值值【例【例1-11-1】定定义 特点特点相相相相对误对误差只需大差只需大差只需大差只需大小和符号，而无量小和符号，而无量小和符号，而无量小和符号，而无量纲纲，普通用百分数，普通用百分数，普通用百分数，普通用百分数来表示。来表示。来表示
19、。来表示。 相相相相对误对误差差差差常用来衡量常用来衡量常用来衡量常用来衡量丈量的相丈量的相丈量的相丈量的相对对准确程度。准确程度。准确程度。准确程度。 绝对误绝对误差差差差被丈量的真被丈量的真被丈量的真被丈量的真值值，常用商定，常用商定，常用商定，常用商定真真真真值值替代，也可以近似用替代，也可以近似用替代，也可以近似用替代，也可以近似用丈量丈量丈量丈量值值x x x x来替代来替代来替代来替代 x0 x0 x0 x0相相相相对误对误差差差差 相相对误差差relative errorrelative error用用用用1m1m1m1m测长仪测长仪丈量丈量丈量丈量0.01m0.01m0.01m
20、0.01m长长的工件，其的工件，其的工件，其的工件，其绝对误绝对误差差差差 =0.0006m =0.0006m =0.0006m =0.0006m，但用来丈量，但用来丈量，但用来丈量，但用来丈量1m1m1m1m长长的工件，其的工件，其的工件，其的工件，其绝对误绝对误差差差差为为0.0105m0.0105m0.0105m0.0105m。前者的相前者的相前者的相前者的相对误对误差差差差为为 后者的相后者的相后者的相后者的相对误对误差差差差为为用用用用绝对误绝对误差不便于比差不便于比差不便于比差不便于比较较不同量不同量不同量不同量值值、不同、不同、不同、不同单单位、不同位、不同位、不同位、不同物理量
21、等的准确度。物理量等的准确度。物理量等的准确度。物理量等的准确度。 绝对误差和相对误差的比较定定义 援用援用援用援用误误差是一种相差是一种相差是一种相差是一种相对误对误差，而且差，而且差，而且差，而且该该相相相相对误对误差是援差是援差是援差是援用了特定用了特定用了特定用了特定值值，即，即，即，即标标称范称范称范称范围围上限或量程得到的，上限或量程得到的，上限或量程得到的，上限或量程得到的，故故故故该误该误差又称差又称差又称差又称为为援用相援用相援用相援用相对误对误差、差、差、差、满满度度度度误误差。差。差。差。 仪仪器某器某器某器某标标称范称范称范称范围围或量程或量程或量程或量程内的最大内的最
22、大内的最大内的最大绝对误绝对误差差差差 该标该标称范称范称范称范围围或量程上限或量程上限或量程上限或量程上限 援用援用援用援用误误差差差差 援用援用误差差我国我国我国我国电电工工工工仪仪表、表、表、表、压压力表的准确度等力表的准确度等力表的准确度等力表的准确度等级级accuracy accuracy accuracy accuracy classclassclassclass就是按照援用就是按照援用就是按照援用就是按照援用误误差差差差进进展分展分展分展分级级的。的。的。的。 当一个当一个当一个当一个仪仪表的等表的等表的等表的等级级s s s s选选定后，用此表丈量某一被定后，用此表丈量某一被定
23、后，用此表丈量某一被定后，用此表丈量某一被丈量丈量丈量丈量时时，所，所，所，所产产生的最大生的最大生的最大生的最大绝对误绝对误差差差差为为 绝对误差的最大值与绝对误差的最大值与绝对误差的最大值与绝对误差的最大值与该仪表的标称范围该仪表的标称范围该仪表的标称范围该仪表的标称范围或量程上限或量程上限或量程上限或量程上限xmxmxmxm成正成正成正成正比比比比电工工仪表、表、压力表的准确度等力表的准确度等级 用有一用有一用有一用有一块块丈量范丈量范丈量范丈量范围为围为0.1MPa0.1MPa0.1MPa0.1MPa0.1MPa0.1MPa0.1MPa0.1MPa，2.52.52.52.5级级的的的的
24、压压力真空表，在力真空表，在力真空表，在力真空表，在进进展展展展计计量校准量校准量校准量校准时时，各示，各示，各示，各示值值点上点上点上点上最大允最大允最大允最大允许误许误差是多少？差是多少？差是多少？差是多少？解：解：解：解：该压该压力真空表在力真空表在力真空表在力真空表在0.1MPa0.1MPa0.1MPa0.1MPa0.1MPa0.1MPa0.1MPa0.1MPa范范范范围围内各内各内各内各示示示示值值点上的援用点上的援用点上的援用点上的援用误误差不差不差不差不应应超越超越超越超越2.52.52.52.5，那么各示，那么各示，那么各示，那么各示值值点点点点上允上允上允上允许误许误差的最大
25、示差的最大示差的最大示差的最大示值误值误差差差差应为应为： 2.5 2.5 2.5 2.50.10.10.10.10.10.10.10.1 0.0050.0050.0050.005MPaMPaMPaMPa援用援用援用援用误误差公用于差公用于差公用于差公用于仪仪器器器器仪仪表表表表误误差的描画。差的描画。差的描画。差的描画。【例【例1-21-2】为为了了了了减减减减小小小小丈丈丈丈量量量量误误差差差差，提提提提高高高高丈丈丈丈量量量量准准准准确确确确度度度度，就就就就必必必必需需需需了了了了解解解解误误差差差差来来来来源源源源。而而而而误误差差差差来来来来源源源源是是是是多多多多方方方方面面面面
26、的的的的，在在在在丈丈丈丈量量量量过过程程程程中中中中，几几几几乎乎乎乎一一一一切切切切要素都将引入丈量要素都将引入丈量要素都将引入丈量要素都将引入丈量误误差。差。差。差。 主要来源主要来源主要来源主要来源 丈量丈量丈量丈量设设备误备误差差差差 丈量方丈量方丈量方丈量方法法法法误误差差差差 丈量丈量丈量丈量环环境境境境误误差差差差 丈量人丈量人丈量人丈量人员误员误差差差差 被被被被测对测对象象象象误误差差差差 第三第三节 丈量丈量误差的来源差的来源以固定方式复现规范量值的器具，以固定方式复现规范量值的器具，如规范电阻、规范量块、规范砝如规范电阻、规范量块、规范砝码等等，他们本身表达的量值，码等
27、等，他们本身表达的量值，不可防止地存在误差。普通要求不可防止地存在误差。普通要求规范器件的误差占总误差的规范器件的误差占总误差的1/31/31/101/10。 丈量安装在制造过程中由于设计、制丈量安装在制造过程中由于设计、制造、装配、检定等的不完善，以及在造、装配、检定等的不完善，以及在运用过程中，由于元器件的老化、机运用过程中，由于元器件的老化、机械部件磨损和疲劳等要素而使设备所械部件磨损和疲劳等要素而使设备所产生的误差。产生的误差。 丈量仪器所丈量仪器所带附件和附带附件和附属工具所带属工具所带来的误差。来的误差。 丈量丈量设备误差差 规规范器范器范器范器误误差差差差仪仪器器器器仪仪表表表表
28、误误差差差差附件附件附件附件误误差差差差设计设计丈量安装丈量安装时时，由于采用，由于采用近似原理所近似原理所带带来的任来的任务务原理原理误误差差 组组成成设备设备的的主要零部件主要零部件的制造的制造误误差差与与设备设备的装的装配配误误差差 设备设备出厂出厂时时校准与校准与定度所定度所带带来的来的误误差差 读读数分辨数分辨力有限而力有限而呵斥的呵斥的读读数数误误差差 数字式数字式仪仪器所特有器所特有的量化的量化误误差差 元器件老化、元器件老化、磨磨损损、疲、疲劳劳所呵斥的所呵斥的误误差差 丈量方法丈量方法误差差丈量方法丈量方法误差差丈量丈量环境境误差差 丈量人丈量人丈量人丈量人员员的任的任的任的
29、任务责务责任心、技任心、技任心、技任心、技术术熟熟熟熟练练程度、生程度、生程度、生程度、生理感官与心思要素、丈量理感官与心思要素、丈量理感官与心思要素、丈量理感官与心思要素、丈量习惯习惯等的不同而引起的等的不同而引起的等的不同而引起的等的不同而引起的误误差。差。差。差。 为为了减小丈量人了减小丈量人了减小丈量人了减小丈量人员误员误差，就要求丈量人差，就要求丈量人差，就要求丈量人差，就要求丈量人员员要要要要仔仔仔仔细细了解丈量了解丈量了解丈量了解丈量仪仪器的特性和丈量原理，熟器的特性和丈量原理，熟器的特性和丈量原理，熟器的特性和丈量原理，熟练练掌握掌握掌握掌握丈量丈量丈量丈量规规程，精心程，精心
30、程，精心程，精心进进展丈量操作，并正确展丈量操作，并正确展丈量操作，并正确展丈量操作，并正确处处置丈量置丈量置丈量置丈量结结果。果。果。果。 丈量人丈量人员误差差用用用用工工工工具具具具显显微微微微镜镜丈丈丈丈量量量量圆圆的的的的直直直直径径径径。右右右右图图是是是是这这一一一一丈丈丈丈量量量量的的的的表表表表示示示示图图。丈丈丈丈量量量量时时，调调整整整整显显微微微微镜镜目目目目的的的的线线同同同同圆圆的的的的两两两两侧侧直直直直径径径径方方方方向向向向相相相相切切切切。实实际际上上上上要要要要求求求求目目目目的的的的线线调调至至至至同同同同圆圆的的的的影影影影象象象象相相相相切切切切，目目
31、目目的的的的线线压压住住住住或或或或脱脱脱脱离离离离影影影影象象象象均均均均会会会会产产生生生生丈丈丈丈量量量量误误差差差差。在在在在目目目目的的的的线线和和和和影影影影象象象象相相相相切切切切的的的的同同同同时时，估估估估计计读读取取取取目目目目的的的的线线在在在在刻刻刻刻度度度度尺尺尺尺的的的的位位位位置置置置a a和和和和b b，那那那那么么么么圆圆的的的的直直直直径径径径d db ba a。在在在在上上上上述述述述丈丈丈丈量量量量过过程程程程中中中中，用用用用人人人人眼眼眼眼二二二二次次次次瞄瞄瞄瞄准准准准相相相相切切切切，二二二二次次次次估估估估计计读读数数数数均均均均遭遭遭遭到到到
32、到人人人人眼眼眼眼最最最最小小小小分分分分辨辨辨辨才才才才干干干干的的的的限限限限制制制制。因因因因此此此此，在在在在该该丈丈丈丈量量量量过过程程程程中中中中，有有有有二二二二次次次次对对线线瞄瞄瞄瞄准准准准误误差差差差和和和和二次估二次估二次估二次估读误读误差。差。差。差。【例【例1-31-3】 被被被被测对测对象在整个丈量象在整个丈量象在整个丈量象在整个丈量过过程中程中程中程中处处在不断地在不断地在不断地在不断地变变化化化化中。由于丈量中。由于丈量中。由于丈量中。由于丈量对对象本身的象本身的象本身的象本身的变变化而引起的丈量化而引起的丈量化而引起的丈量化而引起的丈量误误差差差差称称称称为为
33、丈量丈量丈量丈量对对象象象象变变化化化化误误差。差。差。差。 例如，被例如，被例如，被例如，被测测光度灯的光度，被光度灯的光度，被光度灯的光度，被光度灯的光度，被测测温度温度温度温度计计的温的温的温的温度，被度，被度，被度，被测线纹测线纹尺的尺的尺的尺的长长度，被丈量度，被丈量度，被丈量度，被丈量块块的尺寸等，在的尺寸等，在的尺寸等，在的尺寸等，在丈量丈量丈量丈量过过程中均程中均程中均程中均处处于不停地于不停地于不停地于不停地变变化中，由于它化中，由于它化中，由于它化中，由于它们们的的的的变变化，使丈量不准而化，使丈量不准而化，使丈量不准而化，使丈量不准而带带来来来来误误差。下述的丈量差。下述
34、的丈量差。下述的丈量差。下述的丈量实实例例例例阐阐明了明了明了明了这这一点。一点。一点。一点。 被被测对象象变化化误差差分析分析误差来源本卷差来源本卷须知知误差误差 系统误差粗大误差随机误差第四第四节 误差的分差的分类在反复性条件下，在反复性条件下，在反复性条件下，在反复性条件下，对对同一被丈量同一被丈量同一被丈量同一被丈量进进展无展无展无展无限多次丈量所得限多次丈量所得限多次丈量所得限多次丈量所得结结果的平均果的平均果的平均果的平均值值与被丈量与被丈量与被丈量与被丈量的真的真的真的真值值之差。之差。之差。之差。 定定义特征特征 在一在一在一在一样样条件下，多次丈量同一量条件下，多次丈量同一量
35、条件下，多次丈量同一量条件下，多次丈量同一量值时值时，该误该误差的差的差的差的绝对值绝对值和符号和符号和符号和符号坚坚持不持不持不持不变变，或，或，或，或者在条件改者在条件改者在条件改者在条件改动时动时，按某一确定，按某一确定，按某一确定，按某一确定规规律律律律变变化的化的化的化的误误差。差。差。差。 系系统误差差systematic errorsystematic error用天平用天平用天平用天平计计量物体量物体量物体量物体质质量量量量时时，砝，砝，砝，砝码码的的的的质质量量量量偏向偏向偏向偏向用千分表用千分表用千分表用千分表读读数数数数时时，表表表表盘盘安装偏心引起安装偏心引起安装偏心引
36、起安装偏心引起的示的示的示的示值误值误差差差差刻刻刻刻线线尺的温度尺的温度尺的温度尺的温度变变化引起的示化引起的示化引起的示化引起的示值误值误差差差差 在在在在实实践估践估践估践估计计丈量器具示丈量器具示丈量器具示丈量器具示值值的系的系的系的系统误统误差差差差时时，经经常用适当次数常用适当次数常用适当次数常用适当次数的反复丈量的算的反复丈量的算的反复丈量的算的反复丈量的算术术平均平均平均平均值值减去商定真减去商定真减去商定真减去商定真值值来表示，又称其来表示，又称其来表示，又称其来表示，又称其为为丈丈丈丈量器具的偏移或偏畸量器具的偏移或偏畸量器具的偏移或偏畸量器具的偏移或偏畸biasbiasb
37、iasbias。 由于系由于系由于系由于系统误统误差具有一定的差具有一定的差具有一定的差具有一定的规规律性，因此可以根据其律性，因此可以根据其律性，因此可以根据其律性，因此可以根据其产产生生生生缘缘由，采取一定的技由，采取一定的技由，采取一定的技由，采取一定的技术术措施，措施，措施，措施，设设法消除或减小；也可以在一法消除或减小；也可以在一法消除或减小；也可以在一法消除或减小；也可以在一样样条件下条件下条件下条件下对对知商定真知商定真知商定真知商定真值值的的的的规规范器具范器具范器具范器具进进展多次反复丈量的方法，展多次反复丈量的方法，展多次反复丈量的方法，展多次反复丈量的方法，或者或者或者或
38、者经过经过多次多次多次多次变变化条件下的反复丈量的方法，化条件下的反复丈量的方法，化条件下的反复丈量的方法，化条件下的反复丈量的方法，设设法找出其系法找出其系法找出其系法找出其系统误统误差的差的差的差的规规律后，律后，律后，律后，对对丈量丈量丈量丈量结结果果果果进进展修正。展修正。展修正。展修正。 系系统误差差举例例测测得得得得值值与在反复性条件下与在反复性条件下与在反复性条件下与在反复性条件下对对同一被丈量同一被丈量同一被丈量同一被丈量进进展无展无展无展无限多次丈量限多次丈量限多次丈量限多次丈量结结果的平均果的平均果的平均果的平均值值之差。又称之差。又称之差。又称之差。又称为为偶偶偶偶尔误尔
39、误差。差。差。差。 定定定定义义特征特征特征特征 在一在一在一在一样样丈量条件下，多次丈量同一量丈量条件下，多次丈量同一量丈量条件下，多次丈量同一量丈量条件下，多次丈量同一量值时值时，绝绝对值对值和符号以不可和符号以不可和符号以不可和符号以不可预预定方式定方式定方式定方式变变化的化的化的化的误误差。差。差。差。 产产生生生生缘缘由由由由实验实验条件的偶条件的偶条件的偶条件的偶尔尔性微小性微小性微小性微小变变化，如温度化，如温度化，如温度化，如温度动摇动摇、噪、噪、噪、噪声干声干声干声干扰扰、电电磁磁磁磁场场微微微微变变、电电源源源源电压电压的随机起伏、的随机起伏、的随机起伏、的随机起伏、地面振
40、地面振地面振地面振动动等。等。等。等。 随机随机误差差random errorrandom error随机随机误差的特征差的特征指明指明指明指明显显超出超出超出超出统计规统计规律律律律预预期期期期值值的的的的误误差。又差。又差。又差。又称称称称为为忽略忽略忽略忽略误误差、差、差、差、过过失失失失误误差或差或差或差或简简称粗差。称粗差。称粗差。称粗差。 定定义产产生生生生缘缘由由由由某些偶某些偶某些偶某些偶尔尔突突突突发发性的异常要素或忽略所致。性的异常要素或忽略所致。性的异常要素或忽略所致。性的异常要素或忽略所致。 丈量方法不当或丈量方法不当或丈量方法不当或丈量方法不当或错误错误，丈量操作忽略
41、和失，丈量操作忽略和失，丈量操作忽略和失，丈量操作忽略和失误误如未如未如未如未按按按按规规程操作、程操作、程操作、程操作、读错读读错读数或数或数或数或单单位、位、位、位、记录记录或或或或计计算算算算错误错误等等等等 丈量条件的忽然丈量条件的忽然丈量条件的忽然丈量条件的忽然变变化如化如化如化如电电源源源源电压电压忽然增高或降低、忽然增高或降低、忽然增高或降低、忽然增高或降低、雷雷雷雷电电干干干干扰扰、机械冲、机械冲、机械冲、机械冲击击和振和振和振和振动动等。等。等。等。由于由于由于由于该误该误差很大，明差很大，明差很大，明差很大，明显显歪曲了丈量歪曲了丈量歪曲了丈量歪曲了丈量结结果。故果。故果。
42、故果。故应应按照一定的准按照一定的准按照一定的准按照一定的准那么那么那么那么进进展判展判展判展判别别，将含有粗大，将含有粗大，将含有粗大，将含有粗大误误差的丈量数据称差的丈量数据称差的丈量数据称差的丈量数据称为为坏坏坏坏值值或异常或异常或异常或异常值值予以剔除。予以剔除。予以剔除。予以剔除。详细见详细见第四章。第四章。第四章。第四章。 粗大粗大误差差gross errorgross error 如一如一如一如一块电块电表，它的刻度表，它的刻度表，它的刻度表，它的刻度误误差在制造差在制造差在制造差在制造时时能能能能够够是是是是随机的，但用此随机的，但用此随机的，但用此随机的，但用此电电表来校准一
43、批其它表来校准一批其它表来校准一批其它表来校准一批其它电电表表表表时时，该电该电表的刻度表的刻度表的刻度表的刻度误误差就会呵斥被校准的差就会呵斥被校准的差就会呵斥被校准的差就会呵斥被校准的这这一批一批一批一批电电表的系表的系表的系表的系统误统误差。又如，由于差。又如，由于差。又如，由于差。又如，由于电电表刻度不准，用表刻度不准，用表刻度不准，用表刻度不准，用它来丈量某它来丈量某它来丈量某它来丈量某电电源的源的源的源的电压时电压时必必必必带带来系来系来系来系统误统误差，但差，但差，但差，但假假假假设设采用很多采用很多采用很多采用很多块电块电表表表表测测此此此此电压电压，由于每一，由于每一，由于每
44、一，由于每一块电块电表的刻度表的刻度表的刻度表的刻度误误差有大有小，有正有差有大有小，有正有差有大有小，有正有差有大有小，有正有负负，就使得，就使得，就使得，就使得这这些丈量些丈量些丈量些丈量误误差具有随机性。差具有随机性。差具有随机性。差具有随机性。误差性差性质的相互的相互转化化 1 1 1 1假假假假设设设设舍去部分的数舍去部分的数舍去部分的数舍去部分的数值值值值大于保管末位的大于保管末位的大于保管末位的大于保管末位的0.50.50.50.5，那么末位加那么末位加那么末位加那么末位加1 1 1 1， 大于大于大于大于5 5 5 5进进进进 ； 2 2 2 2假假假假设设设设舍去部分的数舍去
45、部分的数舍去部分的数舍去部分的数值值值值小于保管末位的小于保管末位的小于保管末位的小于保管末位的0.50.50.50.5，那么末位不那么末位不那么末位不那么末位不变变变变， 小于小于小于小于5 5 5 5舍舍舍舍 ； 3 3 3 3假假假假设设设设舍去部分的数舍去部分的数舍去部分的数舍去部分的数值值值值恰等于保管末位的恰等于保管末位的恰等于保管末位的恰等于保管末位的0.50.50.50.5，此，此，此，此时时时时，假假假假设设设设末位是偶数；那么末位不末位是偶数；那么末位不末位是偶数；那么末位不末位是偶数；那么末位不变变变变，假假假假设设设设末位是奇数，那么末位加末位是奇数，那么末位加末位是奇
46、数，那么末位加末位是奇数，那么末位加1 1 1 1， 等于等于等于等于5 5 5 5奇奇奇奇进进进进偶偶偶偶不不不不进进进进 。 第五第五节 近似数的修近似数的修约与运算与运算近似数的根本修近似数的根本修约规那么那么 修修修修约约约约必需一次完成，不能延必需一次完成，不能延必需一次完成，不能延必需一次完成，不能延续续续续修修修修约约约约，如：，如：，如：，如：1.327 4651.327 461.327 51.3281.327 4651.327 461.327 51.328 正确正确正确正确为为为为：1.3274651.3271.3274651.327 假假假假设设设设数字舍入恰巧数字舍入恰巧
47、数字舍入恰巧数字舍入恰巧发发发发生在合格与否的生在合格与否的生在合格与否的生在合格与否的边边边边境数字上境数字上境数字上境数字上时时时时，那，那，那，那么要用么要用么要用么要用 或或或或 分分分分别补别补别补别补充充充充阐阐阐阐明它明它明它明它们们们们的数的数的数的数值值值值大小。如大小。如大小。如大小。如1.291.31.291.3 ，13.21.313.21.3 。 误误误误差或不确定度的舍入最好一概采用增大的方式，即只差或不确定度的舍入最好一概采用增大的方式，即只差或不确定度的舍入最好一概采用增大的方式，即只差或不确定度的舍入最好一概采用增大的方式，即只进进进进不舍。后面将提到的有效自在
48、度的不舍。后面将提到的有效自在度的不舍。后面将提到的有效自在度的不舍。后面将提到的有效自在度的计计计计算，那么采用截断算，那么采用截断算，那么采用截断算，那么采用截断小数取整的只舍不小数取整的只舍不小数取整的只舍不小数取整的只舍不进进进进的算法。的算法。的算法。的算法。 规那么运用那么运用阐明：明：定定定定义义：是指：是指：是指：是指经过经过修修修修约约后所得的近似数从左后所得的近似数从左后所得的近似数从左后所得的近似数从左边边第一第一第一第一 个不是零的数字起到末位上的一切数字。一个近个不是零的数字起到末位上的一切数字。一个近个不是零的数字起到末位上的一切数字。一个近个不是零的数字起到末位上
49、的一切数字。一个近似数有似数有似数有似数有n n n n个有效数字，也称个有效数字，也称个有效数字，也称个有效数字，也称这这个近似数个近似数个近似数个近似数为为n n n n位有效位有效位有效位有效数。数。数。数。 意意意意义义：有效数字描画了近似数的近似程度。：有效数字描画了近似数的近似程度。：有效数字描画了近似数的近似程度。：有效数字描画了近似数的近似程度。有效数字有效数字 1 1 1 1它能它能它能它能够够够够是有效数字，也能是有效数字，也能是有效数字，也能是有效数字，也能够够够够不是有效数字，不是有效数字，不是有效数字，不是有效数字，这这这这取决于它取决于它取决于它取决于它处处处处在近
50、似数中的位置。在近似数中的位置。在近似数中的位置。在近似数中的位置。当零当零当零当零处处处处在第一个有效数字之前在第一个有效数字之前在第一个有效数字之前在第一个有效数字之前时时时时，那么零不算有效数字。例如，近似数，那么零不算有效数字。例如，近似数，那么零不算有效数字。例如，近似数，那么零不算有效数字。例如，近似数0.003 860.003 860.003 860.003 86前面前面前面前面的三个的三个的三个的三个“0“0“0“0，均不是有效数字。当零，均不是有效数字。当零，均不是有效数字。当零，均不是有效数字。当零处处处处在第一个有效数字之后，那么均在第一个有效数字之后，那么均在第一个有效
51、数字之后，那么均在第一个有效数字之后，那么均为为为为有效数字。有效数字。有效数字。有效数字。例如，近似数例如，近似数例如，近似数例如，近似数110.00110.00110.00110.00和和和和200.030200.030200.030200.030中的一切中的一切中的一切中的一切“0“0“0“0均均均均为为为为有效数字。有效数字。有效数字。有效数字。 2 2 2 2小数点以后的零反映了近似数的小数点以后的零反映了近似数的小数点以后的零反映了近似数的小数点以后的零反映了近似数的误误误误差，不能随意取舍。例如，近似数差，不能随意取舍。例如，近似数差，不能随意取舍。例如，近似数差，不能随意取舍。
52、例如，近似数100100100100，100.0100.0100.0100.0和和和和100.00100.00100.00100.00。这这这这三个近似数在数三个近似数在数三个近似数在数三个近似数在数值值值值上是相等的，但是它上是相等的，但是它上是相等的，但是它上是相等的，但是它们们们们的的的的误误误误差是各不一差是各不一差是各不一差是各不一样样样样的，由的，由的，由的，由舍入舍入舍入舍入误误误误差原理知，差原理知，差原理知，差原理知，这这这这三个近似数的三个近似数的三个近似数的三个近似数的误误误误差差差差绝对值绝对值绝对值绝对值分分分分别别别别不超越不超越不超越不超越0.50.50.50.5
53、，0.050.050.050.05和和和和0.0050.0050.0050.005。 3 3 3 3在第一个有效数字之前的零那么与在第一个有效数字之前的零那么与在第一个有效数字之前的零那么与在第一个有效数字之前的零那么与误误误误差无关。例如，近似数差无关。例如，近似数差无关。例如，近似数差无关。例如，近似数0.003 60.003 60.003 60.003 6的的的的误误误误差差差差绝绝绝绝对值对值对值对值不超越不超越不超越不超越 0.000 05 0.000 05 0.000 05 0.000 05，而近似数，而近似数，而近似数，而近似数 0.3610 0.3610 0.3610 0.36
54、102 2 2 2的的的的误误误误差差差差绝对值绝对值绝对值绝对值也不超越也不超越也不超越也不超越0.005100.005100.005100.005102 2 2 20.000 050.000 050.000 050.000 05。在判在判在判在判别别有效数字有效数字有效数字有效数字时时，对对于零于零于零于零这这个数字有三点个数字有三点个数字有三点个数字有三点阐阐明：明：明：明： 几个不超越几个不超越几个不超越几个不超越10101010个近似数相加或相减个近似数相加或相减个近似数相加或相减个近似数相加或相减时时， 小数位数小数位数小数位数小数位数较较多的近似数，只多的近似数，只多的近似数，只
55、多的近似数，只须须比小数位数最少的比小数位数最少的比小数位数最少的比小数位数最少的那个数多保管那个数多保管那个数多保管那个数多保管1 1 1 1位。在位。在位。在位。在计计算算算算结结果里，果里，果里，果里，应应保管的小保管的小保管的小保管的小数位数与原来小数位数最少的那个近似数一数位数与原来小数位数最少的那个近似数一数位数与原来小数位数最少的那个近似数一数位数与原来小数位数最少的那个近似数一样样。近似数的加减运算近似数的加减运算求近似数求近似数求近似数求近似数 1648.0 1648.0 1648.0 1648.0，13.6513.6513.6513.65，0.00820.00820.008
56、20.0082，1.6321.6321.6321.632， 86.82 86.82 86.82 86.82，5.5.5.5.，316.34316.34316.34316.34，0.5450.5450.5450.545的和。的和。的和。的和。解：解：解：解： 1648.0 1648.0 1648.0 1648.013.6513.6513.6513.650.00820.00820.00820.00821.6321.6321.6321.63286.8286.8286.8286.825.5.5.5. 316.34316.34316.34316.340.5450.5450.5450.5451648.01
57、648.01648.01648.013.6513.6513.6513.650.010.010.010.011.631.631.631.6386.8286.8286.8286.825.145.145.145.14 316.34316.34316.34316.340.540.540.540.542 072.132 072.132 072.132 072.132 072.12 072.12 072.12 072.1【例【例1-41-4】 在几个近似数相乘或相除在几个近似数相乘或相除在几个近似数相乘或相除在几个近似数相乘或相除时时，有效数字，有效数字，有效数字，有效数字较较多多多多的近似数，只的近似数
58、，只的近似数，只的近似数，只须须比有效数字最少的那个多保管比有效数字最少的那个多保管比有效数字最少的那个多保管比有效数字最少的那个多保管1 1位，其他均舍去。位，其他均舍去。位，其他均舍去。位，其他均舍去。计计算算算算结结果果果果应应保管的有效数字的保管的有效数字的保管的有效数字的保管的有效数字的位数，与原来近似数里有效数字最少的那个一位数，与原来近似数里有效数字最少的那个一位数，与原来近似数里有效数字最少的那个一位数，与原来近似数里有效数字最少的那个一样样。近似数的乘除运算近似数的乘除运算求求求求 0.012 11.368 72 0.012 11.368 72的的的的积积。解：解：解：解：
59、0.012 11.368 72 0.012 11.368 72 0.012 11.369 0.012 11.369 0.016 564 90.016 564 9 0.016 6 0.016 6 【例【例1-51-5】 对于近似数的乘方和开方运算可于近似数的乘方和开方运算可归纳为；在近似数乘方或者开方；在近似数乘方或者开方时，计算算结果果应保管的有效数字与原来近似数的有效数保管的有效数字与原来近似数的有效数字的位数一字的位数一样。近似数的乘方和开方运算近似数的乘方和开方运算乘方：乘方：乘方：乘方： 求近似数求近似数求近似数求近似数5.325.32的平方的平方的平方的平方解：解：解：解： 5.322 5.32228.302 428.328.302 428.3开方：求开方：求开方：求开方：求 3.164 3 3.164 3的开方。的开方。的开方。的开方。解：解：解：解： 1.778 847 9411.778 81.778 847 9411.778 8【例【例1-61-6】
