精品课件32立体几何中的向量方法

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1、3.2 3.2 立体几何中的向量方法立体几何中的向量方法-直线的方向向量与平面的法向量直线的方向向量与平面的法向量 一、点、直线、平面的位置的向量表示一、点、直线、平面的位置的向量表示点点OP基点基点空间中任意一点空间中任意一点P的的位置可用向量位置可用向量 表示表示 直线直线APl点点A和和 不仅可以确不仅可以确定直线定直线l的位置，还可的位置，还可以具体表示出以具体表示出l上的任上的任意一点意一点P。平面平面OP点点O和和 、 不仅可以确定平面不仅可以确定平面 的位置，还可以具体表示出的位置，还可以具体表示出 内的任内的任意一点意一点P。平面平面法向量：若法向量：若 ，则，则 叫做叫做平面

2、平面 的法向量。的法向量。A过点过点A，以，以 为法向为法向量的平面是完全确定的量的平面是完全确定的二、线线、线面、面面间的位置关系与向二、线线、线面、面面间的位置关系与向量运算的关系量运算的关系探究探究1：平行关系：平行关系设直线设直线l，m的方向向量分别为的方向向量分别为 ， ，平面，平面 ， 的法向量分别为的法向量分别为 ， 线线平行线线平行线面平行线面平行面面平行面面平行点击点击点击点击点击点击探究探究2：垂直关系：垂直关系设直线设直线l，m的方向向量分别为的方向向量分别为 ， ，平面，平面 ， 的法向量分别为的法向量分别为 ， 线线垂直线线垂直线面垂直线面垂直面面垂直面面垂直点击点击

3、点击点击点击点击探究探究3：夹角：夹角设直线设直线l，m的方向向量分别为的方向向量分别为 ， ，平面，平面 ， 的法向量分别为的法向量分别为 ， 线线夹角线线夹角线面夹角线面夹角面面夹角面面夹角点击点击点击点击点击点击三、简单应用三、简单应用练习练习1：设直线设直线l，m的方向向量分别的方向向量分别为为 ， ，根据下列条件判，根据下列条件判断断l，m的位置关系：的位置关系：练习练习2： 设平面设平面 ， 的法向量分别为的法向量分别为 ， ，根据下列条件判断，根据下列条件判断 ， 的位置关系：的位置关系：四、课堂小结四、课堂小结1、点、直线、平面的位置的向量表示、点、直线、平面的位置的向量表示2

4、、线线、线面、面面间的位置关系的、线线、线面、面面间的位置关系的向量表示向量表示五、思考五、思考lmllmllmlmll3.2 3.2 立体几何中的向量方法（立体几何中的向量方法（2 2）xxz-空间角与距离的计算举例空间角与距离的计算举例 一、复习二、讲授新课1 1、用空间向量解决立体几何问题的、用空间向量解决立体几何问题的“三步曲三步曲”。 （1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题； （2）通过向量运算，研究点、直线、平面

5、之间的位置关系以及）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；它们之间距离和夹角等问题；（3）把向量的运算结果）把向量的运算结果“翻译翻译”成相应的几何意义。成相应的几何意义。（化为（化为向量问题）向量问题）（进行向量运算）（进行向量运算）（回到图形（回到图形问题）问题）2 2、例题、例题 例例1：如图如图1：一个结晶体的形状为四棱柱，其中，以顶点：一个结晶体的形状为四棱柱，其中，以顶点A为为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60，那么以这个，那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系？顶点为端点的

6、晶体的对角线的长与棱长有什么关系？ A1B1C1D1ABCD图图1解：解：如图如图1，设，设化为向量问题化为向量问题依据向量的加法法则，依据向量的加法法则，进行向量运算进行向量运算所以所以回到图形问题回到图形问题这个晶体的对角线这个晶体的对角线 的长是棱长的的长是棱长的 倍。倍。思考：思考：（1）本题中四棱柱的对角线）本题中四棱柱的对角线BD1的长与棱长有什么关系？的长与棱长有什么关系？ （2 2）如果一个四棱柱的各条棱）如果一个四棱柱的各条棱长都相等，都相等，并且以某一并且以某一顶点点为端点的各棱端点的各棱间的的夹角都等角都等于于 , , 那么有这个四棱柱的对角线的长可以那么有这个四棱柱的对

7、角线的长可以确定棱长吗确定棱长吗? ?A1B1C1D1ABCD分析分析:分析分析: 这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长。这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长。 （3 3）本题的晶体中相对的两个平面之间的距离是多少？（提示）本题的晶体中相对的两个平面之间的距离是多少？（提示：求两个平行平面的距离，通常归结为求两点间的距离）：求两个平行平面的距离，通常归结为求两点间的距离）A1B1C1D1ABCDH 分析：分析：面面距离面面距离回归图形回归图形点面距离点面距离向量的模向量的模解：解： 所求的距离是所求的距离是练习: 如图如图2 2，空间四边形，空间四边形OABCOABC各边以及各边以及ACAC，BO

8、BO的长都是的长都是1 1，点，点D D，E E分别是边分别是边OAOA，BCBC的中点，连结的中点，连结DEDE，计算，计算DEDE的长。的长。 OABCDE图图2 例例2 2：如如图3 3，甲站在水，甲站在水库底面上的点底面上的点A A处，乙站在水，乙站在水坝斜面上的点斜面上的点B B处。从。从A A，B B到直到直线 （库底与水坝的交线）的距离（库底与水坝的交线）的距离ACAC和和BDBD分别为分别为 和和 ,CD,CD的长为的长为 , AB, AB的长为的长为 。求库底与水坝所成二面角的余弦值。求库底与水坝所成二面角的余弦值。 解：解：如图，如图，化为向量问题化为向量问题根据向量的加法

9、法则根据向量的加法法则进行向量运算进行向量运算于是，得于是，得设向量设向量 与与 的夹角为的夹角为 ， 就是库底与水坝所成的二面角。就是库底与水坝所成的二面角。因此因此ABCD图图3所以所以回到图形问题回到图形问题库底与水坝所成二面角的余弦值为库底与水坝所成二面角的余弦值为 例例2 2：如如图3 3，甲站在水，甲站在水库底面上的点底面上的点A A处，乙站在水，乙站在水坝斜面上的点斜面上的点B B处。从。从A A，B B到直到直线 （库底与水坝的交线）的距离（库底与水坝的交线）的距离ACAC和和BDBD分别为分别为 和和 ,CD,CD的长为的长为 , AB, AB的长为的长为 。求库底与水坝所成

10、二面角的余弦值。求库底与水坝所成二面角的余弦值。 思考：思考： （1）本题中如果夹角）本题中如果夹角 可以测出，而可以测出，而AB未知，未知，其他条件不变，可以计算出其他条件不变，可以计算出AB的长吗？的长吗？ABCD图图3分析：分析： 可算出可算出 AB 的长。的长。 （2）如果已知一个四棱柱的各棱长和一条）如果已知一个四棱柱的各棱长和一条对角线的长，并且以同一顶点为端点的各棱间的对角线的长，并且以同一顶点为端点的各棱间的夹角都相等，那么可以确定各棱之间夹角的余弦夹角都相等，那么可以确定各棱之间夹角的余弦值吗？值吗？ 分析：分析：如图，设以顶点如图，设以顶点 为端点的对角线为端点的对角线长为

11、长为 ，三条棱长分别为，三条棱长分别为 各棱间夹角为各棱间夹角为 。A1B1C1D1ABCD （3）如果已知一个四棱柱的各棱长都等于）如果已知一个四棱柱的各棱长都等于 ，并且以某一顶，并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于点为端点的各棱间的夹角都等于 ，那么可以确定这个四棱柱相邻，那么可以确定这个四棱柱相邻两个夹角的余弦值吗？两个夹角的余弦值吗？A1B1C1D1ABCD分析：分析：二面角二面角平面角平面角向量的夹角向量的夹角回归图形回归图形 解：解：如图，在平面如图，在平面 AB1 内过内过 A1 作作 A1E AB 于点于点 E，EF在平面在平面 AC 内作内作 CF AB 于于 F。 可

12、以确定这个四棱柱相邻两个夹角的余弦值。可以确定这个四棱柱相邻两个夹角的余弦值。练习：练习： （1 1）如图）如图4 4，6060的二面角的棱上有的二面角的棱上有A A、B B两两点，直线点，直线ACAC、BDBD分别在这个二面角的两个半平面分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直内，且都垂直ABAB，已知，已知ABAB4 4，ACAC6 6，BDBD8 8，求，求CDCD的长。的长。 B图图4ACD （2）三棱柱）三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是边长为中，底面是边长为2的正三的正三角形，角形，A1AB45，A1AC60，求二面角，求二面角B-A A1-C的平面角的余弦值。的平面角的余弦值。

13、 ABCA1B1C1图图5 如图如图6，在棱长为，在棱长为 的正方体的正方体 中，中， 分别是棱分别是棱 上的动点，且上的动点，且 。 （1）求证：）求证： ； （2）当三棱锥）当三棱锥 的体积取最大值时，求二的体积取最大值时，求二面角面角 的正切值。的正切值。OCBAOAB CEF图图6小结：小结：用空间向量解决立体几何问题的用空间向量解决立体几何问题的“三步曲三步曲”。作业：作业： 课本课本P121 第第 2、4 题题面面距离面面距离回归图形回归图形点面距离点面距离向量的模向量的模二面角二面角平面角平面角向量的夹角向量的夹角回归图形回归图形3.2 3.2 立体几何中的向量方法（立体几何中的

14、向量方法（3 3）xxz-利用向量解决平行与垂直问题利用向量解决平行与垂直问题一、复习1 1、用空间向量解决立体几何问题的、用空间向量解决立体几何问题的“三步曲三步曲” （1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题； （2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；它们之间距离和夹角等问题；（3）把向量的运算结果）把向量的运算结果“翻译翻译”成相

15、应的几何意义。成相应的几何意义。（化为（化为向量问题）向量问题）（进行向量运算）（进行向量运算）（回到图形（回到图形问题）问题）2、平行与垂直关系的向量表示、平行与垂直关系的向量表示（1）平行关系）平行关系设直线设直线l，m的方向向量分别为的方向向量分别为 ， ，平面，平面 ， 的法向量分别为的法向量分别为 ， 线线平行线线平行线面平行线面平行面面平行面面平行点击点击点击点击点击点击 （2）垂直关系）垂直关系设直线设直线l，m的方向向量分别为的方向向量分别为 ， ，平面，平面 ， 的法向量分别为的法向量分别为 ， 线线垂直线线垂直线面垂直线面垂直面面垂直面面垂直点击点击点击点击点击点击二、新课

16、（一）（一）用向量处理平行问题用向量处理平行问题（二）（二）用向量处理垂直问题用向量处理垂直问题（一）用向量处理平行问题（一）用向量处理平行问题ADCBEFNMADCBEFNM评注：评注：向量向量p p与两个不共线的向量与两个不共线的向量a a、b b共面的充要条件是共面的充要条件是存在实数对存在实数对x,yx,y使使p p=x=xa a+y+yb b. .利用共面向量定理可以证明线面平行问题。利用共面向量定理可以证明线面平行问题。本题用的就是本题用的就是向量法向量法。XYZXYZ评注：评注：由于三种平行关系可以相互转化，由于三种平行关系可以相互转化，所以本题可用逻辑推理来证明。所以本题可用逻

17、辑推理来证明。用向量法将逻辑论证转化为问题的算法化，用向量法将逻辑论证转化为问题的算法化，在应用向量法时需要合理建立空间直角坐标系，在应用向量法时需要合理建立空间直角坐标系，方能减少运算量。本题选用了方能减少运算量。本题选用了坐标法坐标法。（二）用向量处理垂直问题（二）用向量处理垂直问题FEXYZFEXYZFEXYZ评注：评注：本题若用一般法证明，本题若用一般法证明，容易证容易证AF垂直于垂直于BD，而证而证AF垂直于垂直于DE，或证或证AF垂直于垂直于EF则较难，则较难，用建立空间坐标系的方法用建立空间坐标系的方法能使问题化难为易。能使问题化难为易。向量法向量法坐标法坐标法三、小结利用向量解

18、决平行与垂直问题利用向量解决平行与垂直问题v向量法：利用向量的概念技巧运算解决问 题。v坐标法：利用数及其运算解决问题。 两种方法经常结合起来使用。ABCDMXYZ四四、作作业业 1.ABCDMXYZ1.作业：作业：2.课本课本p.116第第2题。题。vByebye!lmllml3.2 3.2 立体几何中的向量方法（立体几何中的向量方法（4 4）xxz-坐标法中解方程组求向量的有关问题坐标法中解方程组求向量的有关问题 一、复习1 1、单位向量，平面的法向量、单位向量，平面的法向量 （1）单位向量模为）单位向量模为1的向量。的向量。 （2）平面的法向量垂直于平面的向量。）平面的法向量垂直于平面的

19、向量。2、坐标法、坐标法 例例1，如图，在正方体，如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，中，棱长为棱长为1，求证：平面，求证：平面A1BC1的法向量为直线的法向量为直线DB1的方向向量的方向向量.二、讲授新课分析：分析：（1）建立空间坐标系；（2）用坐标表示向量（3）设平面A1BC1的方向向量为n=(x,y,z)，由下列关系列方程组求x,y,z.（4）证明向量n/思考：有更简单的方法吗？2分析分析：二面角的范围：关键：观察二面角的范围关键：观察二面角的范围设平面2F F1 1F F2 2F F3 3ACBO500kgF F1 1F F2 2F F3 3ACBO500kgzxyF F1 1

20、F F2 2F F3 3ACBO500kgzxyF F1 1F F2 2F F3 3ACBO500kgzxyF F1 1F F2 2F F3 3ACBO500kgzxy三、练习: 1 1，在正方体，在正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，中，P P在在A A1 1B B1 1上，上，Q Q在在BCBC上，且上，且A A1 1P=QBP=QB，M M、N N分别为分别为AB1AB1、PQPQ的中点。求证：的中点。求证：MN/MN/平面平面ABCDABCD。 DBCAA1QPNMD1C1B1zyxo证明：建立如图所证明：建立如图所示的空间直角坐标示的空间直角坐

21、标系系o-xyz设正方形边长为设正方形边长为2，又设又设A1P=BQ=2x则则P(2，2x，2)、Q(2-2x，2，0) 故故N(2-x, 1+x, 1),而而M(2, 1, 1)所以向量所以向量 (-x, x, 0)，又平面，又平面AC的法的法向量为向量为 (0, 0, 1)， 又又M不在平面不在平面AC 内，所以内，所以MN平面平面AC 2，课本，课本P122第第11题。题。答案：答案：3/8.四、小结：四、小结：1，根据图形特点建立合适的空间直角坐，根据图形特点建立合适的空间直角坐标系，用坐标表示点和向量，通过向量解标系，用坐标表示点和向量，通过向量解决问题。决问题。五、作业：五、作业： 课本课本P111 第第 6 题，题，P112第第10题题2，个别点和向量的坐标先假设，再列方，个别点和向量的坐标先假设，再列方程组来求出。程组来求出。