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1、角平分线的性质角平分线的性质本课内容本节内容5.5 角平分线是以这个角的顶点为端点的一条角平分线是以这个角的顶点为端点的一条射线，它把这个角分为相等的两个角射线，它把这个角分为相等的两个角. 如图如图5-37，（1）用折纸法画出用折纸法画出AOB的角平分线；的角平分线；动脑筋动脑筋（2）在在AOB的角平分线上任取一点的角平分线上任取一点P，量一，量一 量点量点P到角两边的距离，看它们是否相等到角两边的距离，看它们是否相等. 为什么？为什么？图图5-37分析分析 如图如图5-38，沿，沿过过O点的一条直线折叠，使点的一条直线折叠，使 AOB的边的边OB与与OA重合，则折痕重合，则折痕OC是是 A
2、OB的平分线的平分线.过过OC上一点上一点P分别向分别向OA，OB作垂线，垂作垂线，垂足为足为D，E，则，则3=4.从而在沿从而在沿OC的折叠下，射线的折叠下，射线PE与射线与射线PD重合，于是点重合，于是点E与点与点D重合，所以重合，所以PD=PE.图图5-38由此我们得到角的平分线的性质：由此我们得到角的平分线的性质：结论结论角平分线上的点到角的两边的距离相等角平分线上的点到角的两边的距离相等. 如图如图5-39，ABC的角平分线的角平分线BM，CN相交相交于点于点P. 试问点试问点P到三边到三边AB，BC，CA的距离相等的距离相等吗？为什么？吗？为什么？动脑筋动脑筋在在ABC中，中，BP
3、是是B的的平分线，则有平分线，则有PD=PE.又因又因CP是是C的平分线，的平分线，则有则有PE=PF.从而得：从而得：PD=PE=PF.相等相等图图5-39 例例 如图如图5-40，P为为ABC中中A的外角平分线的外角平分线上任一点，且上任一点，且PEBA，PDAC，E，D分别是分别是垂足垂足.试探索试探索BE+PD与与PB的大小关系的大小关系. 举举例例图图5-40解解 因为射线因为射线AP是是ABC中中A的外角平分线，的外角平分线， PEBA，PDAC，所以，根据角的平分线的性质，所以，根据角的平分线的性质，可以得到可以得到 PD=PE. 于是于是 BE+PD=BE+PE，又又 BE+P
4、EPB，因此因此 BE+PDPB.练习练习 如图如图5-41，一个工厂在一个工厂在A区区，到公路到公路、铁路距离相等铁路距离相等，离公路和铁路交叉处离公路和铁路交叉处500m，在图上标出它的位置在图上标出它的位置( (比例尺比例尺1:20000).).答：作出公路和铁路交成角答：作出公路和铁路交成角的平分线，再在角平分线的平分线，再在角平分线上找一点，使它到交叉处上找一点，使它到交叉处的距离为的距离为500m，并按指定，并按指定的比例关系描出点的位置的比例关系描出点的位置.中考中考 试题试题例例1 如图所示，在如图所示，在ABC中，中，AD是是BAC的的外角平分线，外角平分线，P是是AD上异于点上异于点A的任意一点，的任意一点，试比较试比较PB+PC与与AB+AC的大小的大小.解析解析将将APC以以AP为折线折叠为折线折叠. AD是是BAC的外角平分线，由角平分线的对的外角平分线，由角平分线的对称性，点称性，点C落在落在BA的延长线上点的延长线上点E， AC=AE，PC=PE. AB+AC=AB+AE=BE， PB+PC=PB+PE.在在BPE中中，PB+PEBE. PB+PCAB+AC.结结 束束
