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1、ACMACM基基础算法入算法入门讲述述引言n算法简单但思想及其重要n介绍的算法都堪称为经典中的经典基础动态规划n多阶段决策过程最优化的数学方法三要素：-阶段-决策-状态动态规划的适用范围n最优子结构（最优化原理）当前状态依赖于前面的状态得到，是前面状态的完美总结n无后效性（不成环）经典模型n数塔模型n背包问题n区间最大和模型n最长非降子序列模型n最长公共子序列n数字归并（区间dp）n旅行商问题（状态压缩）n求解从顶到下经过节点的最大值是多少解题思路n列状态 v I j 表示走到第i层的第j个节点的最大值n分阶段 每一个层就是一个阶段n状态转移方程（决策）V i-1 j += V I j v I
2、 j + 1 ? V I j : v I j + 1 ;单调递增非降子序列n给定一整型数列a1,a2.,an（0n=100000），找出单调递增最长子序列，并求出其长度。n如：1 9 10 5 11 2 13的最长单调递增子序列是1 9 10 11 13，长度为5。解题思路n定义状态dp【i】以i为结束节点最长单调子序列长度n阶段每一个点选择过程即阶段转移方程：Dp【i】= max（dp【1（i-1）】） + 1想想有没有更好的方法？dp总结n模型匹配法n三要素法 先确定阶段（数塔问题）先确定状态（一般题目都是）先确定决策（背包问题）贪心的三种区间问题n选择不相交区间n区间选点n区间覆盖选择不
3、相交区间n 数轴上有数轴上有n个开区间（个开区间（ai,bi），选择尽量多个区间，），选择尽量多个区间，n使得这些区间两两没有公共点。使得这些区间两两没有公共点。【分析】 首先明确一个问题：假设有两个区间x,y,区间x完全包含y。那么，选x是不划算的，因为x和y最多只能选一个，选x不如选y，这样不仅区间数目不会减少，而且给其他区间留出了更多的位置。接下来，按照bi从小到大的顺序对所有区间排序。会场安排问题n 先对n个区间按照bi从小到大的顺序排序，如果nbi相同，则ai按照从大到小的顺序排序。然后从前往后n扫描每个区间，找出所有的符合条件的区间。n 注意：排序后第一个区间一定会选，因为它的注意
4、：排序后第一个区间一定会选，因为它的bi最小，最小，n它不影响后面区间的选取，而且如果不选此区间，最它不影响后面区间的选取，而且如果不选此区间，最终终n求出的区间数目会变少。求出的区间数目会变少。区间选点问题n 数轴上有数轴上有n个闭区间个闭区间ai, bi。取尽量少的点，使得每个。取尽量少的点，使得每个n区间内都至少有一个点（不同区间内含的点可以是同一个）。区间内都至少有一个点（不同区间内含的点可以是同一个）。【分析】 如果区间i内已经有一个点被取到，我们称此区间已经被满足。受上一题的启发，我们先讨论区间包含的情况。由于小区间被满足时大区间一定也被满足。所以在区间包含的情况下，大区间不需要考
5、虑。 因此，我们把所有区间按b从小到大排序（b相同时a从大到小排序），则如果出现区间包含的情况，小区间一定排在前面。第一个区间应该选取哪一个点呢？正确的贪心策略是：取最后一个点。如下图。解题思路n根据刚才的讨论，所有需要考虑的区间的a也是递增的，n我们把它画成上图的形式。如果第一个区间不选最后一个点，n而是去中间的，如灰色点，那么把它移动到最后一个点后，n被满足的区间增加了，而且原先被满足的区间现在一定被满n足。这样才能保证选取的点最少。区间覆盖问题n 数轴上有数轴上有n个闭区间个闭区间ai, bi，选择尽量少的区间覆盖，选择尽量少的区间覆盖n一条指定线段一条指定线段s, t。【分析】 本题的
6、突破口仍然是区间包含和排序扫描，不过要先进行一次预处理。每个区间在s,t外的部分都应该预先被切掉，因为它们的存在是毫无意义的。例如要覆盖线段3,5，闭区间0,1的存在无意义。在预处理后，在相互包含的情况下，小区间显然不应该被考虑。解题思路n 把各区间按照a从小到大顺序。如果区间1的起点不是s，n则无解，即s,t无法被完全覆盖（因为其他区间的起点更大，n不可能覆盖到s点），否则选择起点在s的最长区间。选择此n区间ai,bi后，新的起点应该被设置为bi,并且忽略所有区间在nbi之前的部分，就像预处理一样。虽然贪心策略比上面的题n复杂，但是仍然只需要一次扫描。如下图5所示。s为当前有n效起点（此前部
7、分已被覆盖），则应该选择区间2。s穷竭搜索是指将所有的可能性罗列出来，在其中寻找答案的方法。概念：这里，我们主要介绍：深度优先搜索宽度优先搜索基础的“穷竭搜索”深度优先搜索n深度优先搜索（DFS，Depth-First Search）是搜索的手段之一。n它从某个状态开始，不断地转移状态直到无法转移，然后回退到前一步的状态，继续转移到其他状态，如此不断重复，直至找到最终的解。n根据深度优先搜索的特点，采用递归函数实现比较简单。 例题n给定整数 a1,a2,a3,.,an, 判断是否可以从中选出若干个数，使他们的和恰好为k。n限制条件：n1=n20n-108=ai=108n-108=k只需1次转移
8、就可到达的所有状态-只需2次转移就可到达的状态-.，这样的顺序进行搜索。对于同一状态，宽度优先搜索只经过一次，因此复杂度为O（状态数*转移的方式）。n根据宽度优先搜索的特点，采用队列进行实现。例题：n水池数目n南阳理工学院校园里有一些小河和一些湖泊，现在，我们把它们通一看成水池，假设有一张我们学校的某处的地图，这个地图上仅标识了此处是否是水池，现在，你的任务来了，请用计算机算出该地图中共有几个水池。n输入m行每行输入n个数，表示此处有水还是没水n（1表示此处是水池，0表示此处是地面） n0m100n0n100n输入：n3 4n1 0 0 0 n0 0 1 1n1 1 1 0n输出：n2输入：5
9、 51 1 1 1 00 0 1 0 10 0 0 0 01 1 1 0 00 0 1 1 1输出：3解题过程n本题是简单的搜索问题，采用深度优先遍历可以解决，根据题目要求，假设从任意一点值为1的出发，将这点的坐标上下左右全部用0替换，1次DFS后与初始动这个1连接的1全部被替换成0，因此，直到图中不再存在1为至，总共进行的DFS的次数就是最后的结果咯！那么，根据题目要求，有4个方向，时间复杂度为O(4*n*m)。数论那些事n数学，特别是数论与计算机科学有着密切的联系，所以也常被选作题材。虽然数学问题大多需要使用特定方法求解，但其中有几个基础算法扮演着重要的角色。数论基础n辗转相除法n有关素数
10、的基础算法n快速幂1、求最大公约数2、扩展欧几里得3、ax+by=gcd(a,b)1、埃氏筛法2、区间筛法辗转相除法n扩展欧几里得n 双六n一个双六上面有向前向后无限延续的格子，每个格子都写有整数。其中0号格子是起点，1号格子是终点。而骰子上只有 a , b , -a , -b 四个整数，所以根据 a 和 b 的值的不同，有可能无法到达终点。n格子如下：n -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 n掷出四个整数各多少次可以到达终点？输出任意一组解。n1= a , b b。n1，显然当 b=0，gcd（a，b）=a。此时 x=1，y=0；n2，ab!=0 时n设 ax1+by1=gcd(a,
11、b);nbx2+(a mod b)y2=gcd(b,a mod b);n根据朴素的欧几里德原理有 gcd(a,b)=gcd(b,a mod b);n则:ax1+by1=bx2+(a mod b)y2;n即:ax1+by1=bx2+(a-(a/b)*b)y2=ay2+bx2-(a/b)*by2;n根据恒等定理得：x1=y2; y1=x2-(a/b)*y2;n这样我们就得到了求解 x1,y1 的方法：x1，y1 的值基于 x2，y2.n上面的思想是以递归定义的，因为 gcd 不断的递归求解一定会有个时候 b=0，所以递归可以结束。埃氏筛法n给定整数n，请问n以内多少个素数nn=106n输入n25n
12、输出n9解题思路n要枚举n以内素数，可以用埃氏筛法n列出2以后的所有序列：n2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25n标出序列中的第一个素数，也就是2，序列变成：n2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 252n将剩下序列中，划摽2的倍数，序列变成：n2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25n 4 6 8 10 12 14 16 18 20 2
13、2 24 （划出的数）n如果现在这个序列中最大数小于最后一个标出的素数的平方，那么剩下的序列中所有的数都是素数，否则回到第二步。n本例中，因为25大于2的平方，我们返回第二步：n剩下的序列中第一个素数是3，将主序列中3的倍数划出，主序列变成：n2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25n 4 6 8 9 10 12 14 15 16 18 20 21 22 24 （划出的数）n我们得到的素数有：2，3n25仍然大于3的平方，所以我们还要返回第二步：n现在序列中第一个素数是5，同样将序列中5的倍数划出，主序列成了
14、：n2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25n 4 6 8 9 10 12 14 15 16 18 20 21 22 24 25 （划出的数）n我们得到的素数有：2 3 5 。n因为25等于5的平方，跳出循环.n结论：去掉数字，2到25之间的素数是：2 3 5 7 11 13 17 19 23。总结n算法竞赛是展示大学生创新能力、团队精神和在压力下编写程序、分析和解决问题能力的竞赛。n在此送上楼教主一句名言：n虽然我不会这道题，但是AC还是没有问题的！n谢谢thank you人有了知识，就会具备各种分析能力，明辨是非的能力。所以我们要勤恳读书，广泛阅读，古人说“书中自有黄金屋。”通过阅读科技书籍，我们能丰富知识，培养逻辑思维能力；通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平，培养文学情趣；通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知识面。有许多书籍还能培养我们的道德情操，给我们巨大的精神力量，鼓舞我们前进。结束结束
