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1、第第2章章 连续时间系统的时域分析连续时间系统的时域分析第第第第 2 2 页页页页本章主要内容：本章主要内容： 信号的时域分解信号的时域分解用用 表示连续时间信号。表示连续时间信号。 LTI系统的时域分析系统的时域分析卷积积分。卷积积分。 LTI系统的微分方程表示；微分方程求解；响系统的微分方程表示；微分方程求解；响应的分类。应的分类。第第第第 3 3 页页页页2.1 引言引言 ( Introduction )基本思想：基本思想：如果能把任意输入信号分解成基本信号如果能把任意输入信号分解成基本信号的线性组合，那么只要得到了的线性组合，那么只要得到了LTI系统对基本信号系统对基本信号的响应，就可
2、以利用系统的线性特性，将系统对任的响应，就可以利用系统的线性特性，将系统对任意输入信号产生的响应表示成系统对基本信号的响意输入信号产生的响应表示成系统对基本信号的响应的线性组合。应的线性组合。 由于由于LTI系统满足齐次性和可加性，并且具有时系统满足齐次性和可加性，并且具有时不变性的特点，因而为建立信号与系统分析的理论不变性的特点，因而为建立信号与系统分析的理论与方法奠定了基础。与方法奠定了基础。第第第第 4 4 页页页页问题的实质：问题的实质：1. 研究信号的分解：即以什么样的信号作为构成任研究信号的分解：即以什么样的信号作为构成任意信号的基本信号单元，如何用基本信号单元的线意信号的基本信号
3、单元，如何用基本信号单元的线性组合来构成任意信号；性组合来构成任意信号；2. 如何得到如何得到LTI系统对基本单元信号的响应。系统对基本单元信号的响应。 作为基本单元的信号应满足以下要求：作为基本单元的信号应满足以下要求：1. 本身尽可能简单，并且用它的线性组合能够表示本身尽可能简单，并且用它的线性组合能够表示（构成）尽可能广泛的其它信号；（构成）尽可能广泛的其它信号；2. LTI系统对这种信号的响应易于求得。系统对这种信号的响应易于求得。第第第第 5 5 页页页页如果解决了信号分解的问题，即：若有如果解决了信号分解的问题，即：若有则则 将信号分解可以在时域进行，也可以在频域或变将信号分解可以
4、在时域进行，也可以在频域或变换域进行，相应地就产生了对换域进行，相应地就产生了对LTI系统的时域分析法、系统的时域分析法、频域分析法和变换域分析法。频域分析法和变换域分析法。分析方法分析方法：第第第第 6 6 页页页页2.2 用微分方程描述的因果用微分方程描述的因果LTI系统系统 在工程实际中有相当普遍的一类系统，其数学模型在工程实际中有相当普遍的一类系统，其数学模型可以用线性常系数微分方程或线性常系数差分方程来可以用线性常系数微分方程或线性常系数差分方程来描述。分析这类描述。分析这类LTI系统，就是要求解线性常系数微系统，就是要求解线性常系数微分分方程方程或差分方程。或差分方程。 一一. .
5、线性常系数微分方程线性常系数微分方程（Linear Constant-Coefficient Differential Equation）均为常数均为常数( Causal LTI Systems Described by Differential and Difference Equations )第第第第 7 7 页页页页 求解该微分方程，通常是求出求解该微分方程，通常是求出通解通解 和和一一个特解个特解 ，则，则 。特解。特解 是是与输入与输入 同类型的函数，通解同类型的函数，通解 是齐次方程是齐次方程的解，即的解，即 的解。的解。欲求得齐次解，可欲求得齐次解，可根据齐次方程建立一个特征方
6、程：根据齐次方程建立一个特征方程： 求出其特征根。在特征根均为单阶根时，可得出齐求出其特征根。在特征根均为单阶根时，可得出齐次解的形式为：次解的形式为：其中其中 是待定的常数。是待定的常数。第第第第 8 8 页页页页例根据电路形式，列回路方程根据电路形式，列回路方程列结点电压方程列结点电压方程(1)（1）列写电路的微分方程第第第第 1 10 0 页页页页(2)求系统的完全响应系统的特征方程系统的特征方程特征根特征根齐次解齐次解方程右端自由项为方程右端自由项为代入代入式式(1)(1)要求系统的完全响应为要求系统的完全响应为特解特解(3)换路前换路前因而可以求得（因而可以求得（根据电路求初始条件超
7、出范围根据电路求初始条件超出范围）由于电容两端电压和电感中的电流不会发生突变由于电容两端电压和电感中的电流不会发生突变, ,第第第第 1 13 3 页页页页(4)求得求得要求的完全响应为要求的完全响应为二微分方程的列写根据实际系统的物理特性列写系统的微分方程。根据实际系统的物理特性列写系统的微分方程。对于电路系统，主要是根据对于电路系统，主要是根据元件特性约束元件特性约束和和网络拓扑网络拓扑约束约束列写系统的微分方程。列写系统的微分方程。 元件特性约束：元件特性约束：表征元件特性的关系式。例如二端元表征元件特性的关系式。例如二端元件电阻、电容、电感各自的电压与电流的关系以及四件电阻、电容、电感
8、各自的电压与电流的关系以及四端元件互感的初、次级电压与电流的关系等等。端元件互感的初、次级电压与电流的关系等等。 网络拓扑约束：网络拓扑约束：由网络结构决定的电压电流约束关系由网络结构决定的电压电流约束关系,KCL，KVL。三求解系统微分方程的经典法分析系统的方法：分析系统的方法：列写方程，求解方程。列写方程，求解方程。 求解方程时域求解方程时域经典法经典法就是：就是：齐次解齐次解+特解。特解。 我们一般将激励信号加入的时刻定义为我们一般将激励信号加入的时刻定义为t=0 ，响应，响应为为 时的方程的解，初始条件时的方程的解，初始条件齐次解：齐次解：由特征方程由特征方程求出特征根求出特征根写出齐
9、次解形式写出齐次解形式注意重根情况处理方法。注意重根情况处理方法。特特 解：解：根据微分方程右端函数式形式，设含待定系根据微分方程右端函数式形式，设含待定系 数的特解函数式数的特解函数式代入原方程，比较系数代入原方程，比较系数 定出特解。定出特解。经典法全全 解：解：齐次解齐次解+特解，由特解，由初始条件初始条件定出齐次解定出齐次解 。几种典型激励函数相应的特解激励函数激励函数e(t)响应函数响应函数r(t)的特解的特解第第第第 1 18 8 页页页页结论（不做要求）：结论（不做要求）：LCCDE具有一组全部为零的初始条件可以描述具有一组全部为零的初始条件可以描述一个一个LTI因果系统。这组条
10、件是：因果系统。这组条件是：如果一个因果的如果一个因果的LTI系统由系统由LCCDE描述，且方程描述，且方程具有零初始条件，就称该系统具有零初始条件，就称该系统初始是静止的初始是静止的或或最初是最初是松弛的。松弛的。如果如果LCCDE具有一组具有一组不全为零的初始条件不全为零的初始条件，则可，则可以证明它所描述的系统是以证明它所描述的系统是增量线性的增量线性的。2.2.4 零输入响应和零状态响应一起始状态与激励源的等效转换在一定条件下，激励源与起始状态之间可以等效转换。在一定条件下，激励源与起始状态之间可以等效转换。即可以将原始储能看作是激励源。即可以将原始储能看作是激励源。电容器的等效电路电
11、路等效为起始状态为零的电容与电压源电路等效为起始状态为零的电容与电压源 的的串联串联等效电路中的等效电路中的电容器的起始电容器的起始状态为零状态为零第第第第 2 22 2 页页页页故电路等效为起始状态为零的电感故电路等效为起始状态为零的电感L和电流源和电流源的并联。的并联。电感的等效电路第第第第 2 23 3 页页页页二系统响应划分自由响应强迫响应自由响应强迫响应(Natural+forced)零输入响应零状态响应零输入响应零状态响应(Zero-input+Zero-state)暂态响应暂态响应+稳态响应稳态响应(Transient+Steady-state) 也称固有响应，由系统本身特性决定
12、，与也称固有响应，由系统本身特性决定，与外加激励形式无关。对应于齐次解。外加激励形式无关。对应于齐次解。 形式取决于外加激励。对应于特解。形式取决于外加激励。对应于特解。 是指激励信号接入一段时间内，完全响应中是指激励信号接入一段时间内，完全响应中暂时出现的有关成分，随着时间暂时出现的有关成分，随着时间t 增加，它将消失。增加，它将消失。 由完全响应中减去暂态响应分量即得稳态由完全响应中减去暂态响应分量即得稳态响应分量。响应分量。 没有外加激励信号的作用，只由起始状没有外加激励信号的作用，只由起始状态（起始时刻系统储能）所产生的响应。态（起始时刻系统储能）所产生的响应。 不考虑原始时刻系统储能
13、的作用（起始状不考虑原始时刻系统储能的作用（起始状态等于零），由系统的外加激励信号产生的响应。态等于零），由系统的外加激励信号产生的响应。 (1)(1)自由响应：自由响应：(2)(2)暂态响应：暂态响应：稳态响应：稳态响应：强迫响应：强迫响应：(3)(3)零输入响应：零输入响应：(4)(4)零状态响应：零状态响应：各种系统响应定义 系统系统零输入响应零输入响应，实际上是求系统方程的齐次解，实际上是求系统方程的齐次解，由非零的系统状态值由非零的系统状态值 决定的初始值求出待决定的初始值求出待定系数定系数。 系统系统零状态响应零状态响应，是在激励作用下求系统方程的非齐，是在激励作用下求系统方程的非
14、齐次解，由状态值次解，由状态值 为零决定的初始值求出待为零决定的初始值求出待定系数定系数。 求解非齐次微分方程是比较烦琐的工作，所以引出求解非齐次微分方程是比较烦琐的工作，所以引出卷卷积积分法积积分法。求解系统的零状态响应系统的零状态响应=激励与系统冲激响应的卷积，即激励与系统冲激响应的卷积，即三对系统线性的进一步认识由常系数微分方程描述的系统在下述意义上是线性的。由常系数微分方程描述的系统在下述意义上是线性的。(1)(1)响应可分解为：响应可分解为：零输入响应零状态响应。零输入响应零状态响应。(2)(2)零零状状态态线线性性：当当起起始始状状态态为为零零时时，系系统统的的零零状状态态响响应对
15、于各激励信号呈线性。应对于各激励信号呈线性。(3)(3)零输入线性：零输入线性：当激励为零时，系统的零输入响应对当激励为零时，系统的零输入响应对于各起始状态呈线性。于各起始状态呈线性。 第第第第 2 27 7 页页页页例解（续）解得解得第第第第 2 29 9 页页页页2.3冲激响应与阶跃响应冲激响应与阶跃响应单位冲激（样值）响应单位冲激（样值）响应阶跃响应阶跃响应零输入响应与零状态响应零输入响应与零状态响应系统在单位冲激信号系统在单位冲激信号 作用下产生的作用下产生的零状态零状态响应，响应，称为单位冲激响应，简称冲激响应，一般用称为单位冲激响应，简称冲激响应，一般用h(t)表示。表示。 一冲激
16、响应1定义 2一阶系统的冲激响应3n阶系统的冲激响应例1 一阶系统的冲激响应列系统微分方程：列系统微分方程：求下图求下图RC电路的冲激响应。电路的冲激响应。（条件：（条件： ）冲激冲激 在在 时转为系统的储能（由时转为系统的储能（由 体现），体现），t 0时，在非零初始条件下齐次方程的解，即为原系统时，在非零初始条件下齐次方程的解，即为原系统的冲激响应。的冲激响应。 齐次方程齐次方程特征方程特征方程特征根特征根求解下面的问题是确定系数下面的问题是确定系数A, ,求求A有两种方法：有两种方法：方法：方法：冲激函数匹配法（不做要求）求出冲激函数匹配法（不做要求）求出 ，定系数定系数A。即即:波形波
17、形波形电容器的电流在电容器的电流在 t =0时有一冲激，时有一冲激，这就是电容电压突这就是电容电压突变的原因变的原因 。注意！注意！二阶跃响应 系统的输入系统的输入 ，其响应为，其响应为 。系统。系统方程的右端将包含阶跃函数方程的右端将包含阶跃函数 ，所以除了齐次解外，所以除了齐次解外，还有还有特解项特解项。我们也可以根据线性时不变系统特性，利用我们也可以根据线性时不变系统特性，利用冲激响应与冲激响应与阶跃响应关系阶跃响应关系求阶跃响应。求阶跃响应。 系统在单位阶跃信号作用下的系统在单位阶跃信号作用下的零状态零状态响应，称为单响应，称为单位阶跃响应，简称阶跃响应。位阶跃响应，简称阶跃响应。1定
18、义 2阶跃响应与冲激响应的关系线性时不变系统满足线性时不变系统满足微、积分微、积分特性特性总结冲激响应的冲激响应的求解求解至关重要。至关重要。冲激响应的定义冲激响应的定义零状态；零状态；单位冲激信号单位冲激信号作用下，系统的响应为冲激响应。作用下，系统的响应为冲激响应。冲激响应说明：冲激响应说明：在时域，对于不同系统，零状态情况在时域，对于不同系统，零状态情况下加同样的激励下加同样的激励 ，看响应，看响应 ， 不同，说明其不同，说明其系统特性不同，系统特性不同，冲激响应冲激响应可以衡量系统的特性。可以衡量系统的特性。用用变换域变换域( (拉氏变换拉氏变换) )方法求方法求冲激响应和阶跃响应简捷
19、冲激响应和阶跃响应简捷方便，但时域求解方法直观、物理概念明确。方便，但时域求解方法直观、物理概念明确。第第第第 3 37 7 页页页页 与离散时间信号分解的思想相一致，连续时间与离散时间信号分解的思想相一致，连续时间信号应该可以分解成一系列移位加权的单位冲激信信号应该可以分解成一系列移位加权的单位冲激信号的线性组合。至少单位阶跃与单位冲激之间有这号的线性组合。至少单位阶跃与单位冲激之间有这种关系：种关系： 对一般信号对一般信号 ，可以将其分成很多，可以将其分成很多 宽度的区宽度的区段，用一个阶梯信号段，用一个阶梯信号 近似表示近似表示 。当。当 时时，有有（Continuous-Time LT
20、I Systems:The convolution integral）一一. . 用冲激信号表示连续时间信号用冲激信号表示连续时间信号2.4 卷积积分卷积积分第第第第 3 38 8 页页页页引用引用 ，即：，即：则有则有：第第第第 3 39 9 页页页页当当 时，时， 第第 个矩形可表示为：个矩形可表示为： 这些矩形叠加起来就成为阶梯形信号这些矩形叠加起来就成为阶梯形信号 ，即：即：表明：表明：任何连续时间信号任何连续时间信号 都可以被分解成移位都可以被分解成移位加权的单位冲激信号的线性组合。加权的单位冲激信号的线性组合。 于是：于是：第第第第 4 40 0 页页页页二二. . 卷积积分卷积积
21、分（The convolution integral） 与离散时间系统的分析类似，如果一个线性系统与离散时间系统的分析类似，如果一个线性系统对对 的响应为的响应为 ，则该系统对，则该系统对 的响应可的响应可表示为：表示为： 表明表明: :LTI系统可以完全由它的系统可以完全由它的单位冲激响应单位冲激响应 来来表征。这种求得系统响应的运算关系称为表征。这种求得系统响应的运算关系称为卷积积分卷积积分（The convolution integral）。 若系统是时不变的，即：若若系统是时不变的，即：若 ，则有，则有: : 于是系统对任意输入于是系统对任意输入 的响应的响应可表示为：可表示为：第第第
22、第 4 41 1 页页页页三三. . 卷积积分的计算卷积积分的计算 卷积积分的计算与卷积和很类似，也有图解法、解卷积积分的计算与卷积和很类似，也有图解法、解析法和数值解法。析法和数值解法。 运算过程的实质也是：参与卷积的两个信号中，一运算过程的实质也是：参与卷积的两个信号中，一个不动，另一个反转后随参变量个不动，另一个反转后随参变量 移动。对每一个移动。对每一个 的值，将的值，将 和和 对应相乘，再计算相乘后曲对应相乘，再计算相乘后曲线所包围的面积。线所包围的面积。 通过图形帮助确定积分区间和积分上下限是很有用通过图形帮助确定积分区间和积分上下限是很有用的。的。第第第第 4 42 2 页页页页
23、例例1: : 第第第第 4 43 3 页页页页例例2 : : 第第第第 4 44 4 页页页页 当当 时，时， 当当 时，时， 当当 时，时， 当当 时，时， 当当 时，时，第第第第 4 45 5 页页页页2.5 卷积积分的性质卷积积分的性质1. 交换律：交换律：第第第第 4 46 6 页页页页2. 分配律：分配律：第第第第 4 47 7 页页页页结论：结论：两个两个LTI系统并联，其总的单位脉冲系统并联，其总的单位脉冲( (冲激冲激) )响响应等于各子系统单位脉冲应等于各子系统单位脉冲( (冲激冲激) )响应之和。响应之和。第第第第 4 48 8 页页页页3. 结合律结合律: :第第第第 4
24、 49 9 页页页页 两个两个LTI系统级联时，系统总的单位冲激系统级联时，系统总的单位冲激( (脉冲脉冲) )响响应等于各子系统单位冲激应等于各子系统单位冲激( (脉冲脉冲) )响应的卷积。响应的卷积。 由于卷积运算满足交换律，因此，系统级联的先后由于卷积运算满足交换律，因此，系统级联的先后次序可以调换。次序可以调换。结论：结论：第第第第 5 50 0 页页页页产生以上结论的前提条件：产生以上结论的前提条件：系统必须是系统必须是LTI系统；系统；所有涉及到的卷积运算必须收敛。所有涉及到的卷积运算必须收敛。第第第第 5 51 1 页页页页4. 卷积运算还有如下性质：卷积运算还有如下性质：若若 ，则，则卷积积分满足微分、积分及时移特性：卷积积分满足微分、积分及时移特性：若若 ，则，则第第第第 5 52 2 页页页页将将 微分一次有微分一次有: :例如：例如：2.2 中的例中的例2根据微分特性有根据微分特性有: :*第第第第 5 53 3 页页页页利用积分特性即可得利用积分特性即可得: :
