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1、第二章第二章 自动调节系统的自动调节系统的 数学描述数学描述2.12.1 调节系统的微分方程描述 2.62.6 典型环节及其传递函数2.22.2 传递函数2.32.3 动态结构图及其等效变换2.42.4 闭环系统的传递函数2.52.5 脉冲响应与阶跃响应2.72.7 利用计算机求取系统传递函数2-1 调节系统的微分 方程描述 列写微分方程的一般方法 非线性方程的线性化 复杂系统列写微分方程示例分析系统各部分运动的机理，根据这些机理分别写出描述各部分运动的微分方程，合在一起便成为描述整个系统的方程；解 析 法 步骤：1.明确输入、输出量 2.建立输入、输出量的动态联系 3.消掉中间变量，得到微分
2、方程人为地在系统上加上某种测试信号，记录系统中各变量的运动，然后选择合适的微分方程，使之能近似地表示这种运动，以此作为系统的方程。 辩 识 法解析法举例3412 根据电路理论的基尔霍夫电压定律，任一时刻网络的输入电压等于各支路的电压降和，则得 (2.1.1)而 (2.1.2)式中i为网络电流，是除输入、输出量之外的中间变量。例2.1.1 列写图示RC网络的微分方程。urucRCiRC无源网络解：1. 明确输入、输出量 网络的输入量为电压ur,输出量为电压 uc 。2. 建立输入、输出量的动态联系 3消掉中间变量将式(2.1.2)两端求导，得 (2.1.3)代入式（2.1.1）整理得 (2.1.
3、4)这就是RC网络的动态数学模型，是一个一阶常系数线性非齐次微分方程。等号右端为输入量所在项，左端为输出项。 例2.1.1续例2.1.2 列写图示的二级RC网络的微分方程。 u1ucR2C2i2二级RC网络urR1C1i1解：1. 明确输入、输出量 输入量为电压ur,输出量为电压 uc, i1、i2为中间变量。2. 建立输入、输出量的动态联系 根据电路理论的基尔霍夫电压定律，有 (2.1.5)例2.1.2续及 (2.1.6)又 (2.1.7)3消掉中间变量 将式(2.1.6)、(2.1.7)两边求导，代入式(2.1.5)，得(2.1.8) 二级RC网络的动态数学模型是一个二阶常系数线性非齐次微
4、分方程。例2.1.3 用热电偶测量环境介质的温度，如右图所示。输入信号为环境介质的温度 T，输出信号为热电偶的热电势E，试写出它的微分方程。 解： 设热电偶的冷端温度不变，为 0C，热电偶的热端温度为 Th。那么，被测介质与热电偶之间的热流量为： (2.1.9)式中，R 为传热阻力，假定为常数； q 为热流量，单位时间的传热量，时间的函数。T热电偶测温示意图ThE例2.1.3续 热电偶的热端温度Th随着热流量q的变化而改变，它们之间的动态关系为： (2.1.10)式中，C 为热电偶的热容量。而热电偶的热端温度Th与热电偶的输出热电势E之间的动态关系为： (2.1.11)式中，r 为热电偶的特性
5、常数， Th改变1C时E改变的值。从上面三式中消去中间q和Th，得到热电偶测温的微分方程： (2.1.12) 数学方法：对于光滑的非线性函数 y = f (x)，在平衡工作点x0附近的邻域内，将其展开为泰勒级数，并略去二阶以上的高阶小量，即 非线性微分方程的线性化非线性微分方程的线性化微偏线性化近似处理在平衡工作点x0附近， y和 x 呈近似的线性关系 。 举例举例讨论讨论1 12 2例2.1.4 图示蓄水箱系统中，蓄水箱面积为A，输入信号为进水流量Q1，输出信号为水位H，写出该系统的微分方程。 解：1.水箱的蓄水过程, Q1 和Q2不相等引起液位H的变化, 由单位时间内水箱中水体积变化的关系
6、，有1.(2.1.13)2.2. 流出流量Q2与液位H的关系，由伯努利方程有(2.1.14) 例2.1.4续13. 将(2.1.14) 代入(2.1.13)得蓄水箱系统的微分方程：1.(2.1.15)2.这是一个一阶非线性微分方程，采用微偏线性化方法将3.它线性化：HH0Q20Q2HaQ2o(1). 参看右图，选择一个平衡工作点a(H0,Q20)，连续可导；(2). 在a点将非线性曲线(2.1.14)作线性化处理，取泰勒展开式一阶项，略去二阶以上小量：(2.1.16)例2.1.4续2(3). 变非线性方程为线性化增量方程：代入(2.1.15)得到(2.1.17)(2.1.16)代入(2.1.1
7、7)得到线性化增量方程：RL为Q2= Q20时流出管路的阻力系数称为液阻。为了方便起见，常常省略线性化增量方程中的符号“”例2.1.5 铁芯线圈的动态方程为 (2.1.18)给定平衡点 u0、i0 , 试建立线性化增量方程。解： 将方程中所有变量看作是平衡点附近的变化量，即 (2.1.19)非线性函数（i）取近似式u、i、 代入原方程(2.1.18) ，有例2.1.5续上式中, 是原方程式(2.1.18)的静平衡方程。故整理后得线性化增量方程为: (2.1.19)式中 为线圈在i0处的电感，如用L表示，则上式可写为这是一个一阶线性常系数微分方程。对照原非线性方程 (2.1.18)可看出，只要将
8、非线性项用一阶增量项近似，而线性项直接将变量换写成相应增量，即得线性化方程。 线性化讨论1.线性化方程描述的不是变量变量自身，而是变量对平衡点的增量增量。线性化方程中的增量，不应理解为无穷小量，而应理解为是有工程实际概念的较小的变化量。2.平衡点应依据系统平衡工作状态而定，各部件应统一。3.关于增量假设的可靠性：所有变量都在平衡点附近变化，这一假设对控制系统而言是合理的。自动控制的任务是使被控量按给定值变化。因此，正常工作的系统，控制的偏差是不大的，各部件输入、输出的偏离量都不应过大，这就保证了小偏差法使用的可靠性。4.非线性变量变化范围很大的系统，仍可用线性化模型的计算结果定性分析。5.线性
9、化方程仍是近似方程。6.在平衡点附近不可导的函数不能微偏线性化方法。复杂系统列写微分方程示例复杂系统列写微分方程示例 为复杂对象列写运动方程通常比较费力，需要关于对象机理的详细知识和周密的思考。如果对象是由几个部分组成的，就先列写每一部分的方程，然后用一些联系方程把它们联系起来。 列写方程以后，要检查方程中的变量，区分输入量、输出量和中间变量，消去中间变量，最终导出单变量微分方程 。并写成以下的典型形式：举例举例例2.1.6 双容水箱液位自动调节系统如下图所示，流出蓄水箱的流量Q3只与水泵转速有关。设输入信号为流出的流量Q3，输出信号为水位H2，写出调节系统的动态方程式。解： 设流入水箱的流量
10、Q1只取决于进水调节阀开度。在平衡状态时：下面对非线性方程线性化时就以该平衡状态为参考点，所用的变量都从平衡状态算起。为清楚起见，将本问题划分为以下几个部分考虑。(1) 第一水箱蓄水过程：输入信号为流量差(Q1Q2)，输出信号为水位H1，根据质量平衡原理有： (2.1.20)(2) 水箱1至水箱2的流动过程：输入信号为(H1H2)，输出信号为水位Q2，动态方程式为：(2.1.21)式中为常数，决定于流管的阻力。以平衡状态为参考点对（2.1.21）进行线性化处理后，得到：(2.1.22)式中RL为两水箱间管路的液阻。(3) 第二水箱蓄水过程：输入信号为流量差(Q2Q3)，输出信号为水位H2，根据
11、质量平衡原理有(2.1.23)(4) 浮子、杠杆和阀门的运动：输入信号为H2，输出信号为，忽略摩擦阻力，有 (2.1.24)式中，“”号表示H2增加时， 减小。(5) 进水调节阀的作用：输入信号为，输出信号为Q1，其近似关系为 (2.1.25)式中为常数 。由以上动态方程式（2.1.20）至（2.1.25）式中消去中间变量、Q1、H1和Q2，就可以得到系统的微分方程为： 2-2 传 递 函 数 传 递 函 数 的 概 念 传 递 函 数 的 性 质q概念q定义q例题 传递函数的零极点微分方程t 域动态数学模型 urucRCi RC无源网络输入信号ur对输出uc的动态联系称为零状态分量初始状态u
12、c(0-)对输出uc的动态联系称为零输入分量传递函数的概念 以RC网络为例 象方程s 域动态数学模型象方程的解：微分方程的解时域（阶跃）响应零状态响应零输入响应若设uc(0-)=0，即系统有零初始状态，则由象方程可得：G(s)Ur(s)Uc(s)G(s)相当于放大系数， Ur(s) 经G(s)动态传递输出，故称其为传递函数传递函数的定义 线性定常系统的传递函数，定义为零初始条件下，系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。 考虑由下列微分方程描述的线性定常系统： 式中，y 为 系统的输出量，x为系统的输入量。在全部初始条件为零的假设下，ai和bi均为与系统结构有关的常数。对上式的两端进行拉氏
13、变换，可得系统的传递函数为：(2.2.1)利用传递函数的概念，可以用以s为变量的代数方程表示系统的动态特性。如果传递函数的分母中，s的最高阶次为n, 则称该系统为n 阶系统。 (2.2.2)例2.2.1 求例 2.1.2的二级RC网络的传递函数Uc(s)/ Ur(s) 。 解： 二级RC网络的微分方程用式 (2.1.8) 表示为： 在零初始条件下，对上式各项求拉氏变换，得 由传递函数的定义，得二级RC网络的传递函数为1.传递函数是经拉氏变换导出的，拉氏变换是一种线性积分运算，因此传递函数的概念只适用于线性定常系统。 2.系统的传递函数是一种数学模型，它表示联系输出量与输入量的微分方程的一种运算
14、方法。传递函数包含了微分方程的全部系数，与微分方程所包含的信息量相同。 3.传递函数G(s)是以s为自变量的复变函数，具有复变函数理论所阐明的一切性质。 4.传递函数完全取决于系统内部的结构和参数，而与初始条件无关。 传递函数的性质传递函数的性质5.传递函数只表明一个特定的输入、输出关系。同一系统，取不同变量作输出，以给定值或不同位置的干扰为输入，传递函数各不相同。6.传递函数G(s)是s的有理函数，即有理分式（2.2.2），分母多项式即为微分方程的特征多项式，分子多项式为微分方程右端函数的微分算符多项式。对于实际的即物理上可以实现的线性集总参数对象，传递函数表达式（2.2.2）为严格真有理分
15、式，即nm，只是在理想假设下，才有n=m。7.零初始条件，故仅为系统的零状态模型，不能反映零输入响应的动态特征 ，但在t=0-时，系统处于相对平衡状态，各变量对平衡点的增量为零。条件容易设置。传递函数的性质传递函数的性质传递函数的三种表达形式 多项式形式 零极点形式 因子连乘积形式 zi 传递函数的零点 pj 传递函数的极点 K *=b0/a0传递系数， 根 轨迹增益传递函数的零极点形式传递函数的因子连乘积二阶因子对应于共轭 复数零极点 i、Tj 时间常数 K 传递系数，增益传递函数的零点和极点因式分解因式分解传递函数的一般形式2-3 动态结构图及其 等效变换 动态结构图 结构图的等效变换 梅
16、森公式动动 态态 结结 构构 图图动态结构图是控制系统的一种数学模型，是系统原理图与数学方程的结合，既补充了原理图所缺少的定量描述，又避免了纯数学的抽象运算，从结构图上可以用方框进行运算，也可以直观了解各元部件的相互关系及其在系统中所起的作用，更重要的是从系统结构图可以方便地求出系统的传递函数。1.1动态结构图的四种基本单元信号线表示信号输入、输出通道，箭头表示信号传递方向。直线旁标注信号的时间函数或象函数。y(t)或Y(s)表示引出或测量的位置。从同一位置引出的信号在数值和性质方面完全相同 。引出点Y(s)Y(s)传递方框G(s)表示对信号进行的数学变换，方框两侧为输入、输出信号线，方框内为
17、传递函数。X(s)G X综合点表示几个信号相加减，叉圈符号的输出量即为诸信号的代数和，负信号需在相应信号线的箭头附近标以负号。X(s)Y(s)X-Y系统动态结构图的绘制系统动态结构图的绘制1.写出系统各元部件的微分方程和象方程（或传递函数）；2.选择输入、输出信号，绘出各元部件的方框图；3.根据系统内信号流向，将各方框依次连接，得到系统的动态结构图。例2.3.1 绘出例2.1.6所示双容水箱液位自动调节系统的动态结构图。Q1Q2H1方 框 图象方程解：(1) 第一水箱蓄水过程：微分方程(3) 第2水箱蓄水过程（与水箱1类似）：(2) 水箱1至水箱2的流动过程：方程H1Q2H2方 框 图Q3Q2
18、H2方 框 图(5) 进水调节阀的作用：(4) 浮子、杠杆和阀门的运动：方 程方 框 图 H2方 程方 框 图Q1 Q1 H2浮子、杠杆和阀门Q3Q2H2水箱2H1H2水箱1至水箱2Q1Q2H1水箱1进水调节阀(6) 系统动态结构图：Q2例2.3.3 试建立图示二级RC网络的动态结构图。解：采用复阻抗概念直接画图，用复数阻抗表示电阻时仍为R，电容的复阻抗为 1/Cs。R1两端的压差uru1乘以 1/R1即为过R1的电流i1。i1i2 即为过 C1的电流，此电流乘以容抗 1/C1s 即为电压 u1(即第二级的输入电压)。而 R2 两端的压差u1uc乘以 1/R2 即为过 R2 的电流 i2, i
19、2乘以容抗1/C2s即为输出电压uc。 u1ucR2C2i2二级RC网络urR1C1i1二级网络动态结构图二级网络的动态结构不同于两个一级网络动态结构的串联，电流i2经反馈作用影响u1，后一级网络对前级网络的这种反作用称为负载效应，后一级网络为前级的负载。UrU1I1UcI2I2U1Ucu1ucR2C2i2二级RC网络urR1C1i1urucRCiUrUcIUc动态结构图的等效变换动态结构图的等效变换1.串联结构的等效变换总的传递函数等于各个串联环节的传递函数的乘积 XYXY2.并联结构的等效变换总传递函数等于各个并联环节的传递函数的代数和 XYXY+YnY1Y23.反馈结构的等效变换XYXY
20、EB综合点后移综合点前移4.综合点的等效挪动XYQXYQXYQXYQXYQP综合点换位XYQP引出点后移引出点前移5. 引出点的等效挪动引出点换位XYXXYXXYYYYYYYYXYY引出点后移引出点前移6. 综合点和引出点之间换位XYQYXYQYQXYQXXYX+QQ7. 负号在支路上的移动XYEBXY+EB例2.3.4 利用方框图等效变换法则求出图示的系统的传递函数C(s)/R(s) R(s)C(s)G1(s)G2(s)G3(s)G4(s)H1(s)H2(s)H3(s)解：将图中间的引出点移至最右端：R(s)C(s)G1(s)G2(s)G3(s)G4(s)H1(s)H2(s)H3(s)1/G
21、4(s) (s)R(s)C(s)依次化简图中洋红色负反馈回路：R(s)C(s)G1(s)G2(s)G34(s)H1(s)H2(s)1/G4(s)R(s)C(s)G1(s)G23(s)H1(s)梅森公式为：式中：回路传递函数：反馈回路的前向通道和反馈通道传递函数的乘积并包含表示反馈极性的正负号。Pk 为第k条前向通道的传递函数 ，n为前向通道数k 是将主特征式中，与第 k 条前向通道相接触 （有重合部分）的回路所在项去掉后的余子式。 梅森（梅森（S。J。Mason）公）公 式式所有三个互不接触的回路，其回路传递函数乘积之和所有两两互不接触的回路，其回路传递函数乘积之和所有不同回路的回路传递函数之
22、和RRRCCCuruci1i2i3u1u2I11R1R1R I2I3UrUcu1u2例2.3.5 利用梅森公式求出图示三级RC网络的 传递函数Uc(s)/Ur(s) 解：绘制三级RC网络的动态结构图：共有5个反馈回路，回路传递函数均相同，即 所以 1Cs1Cs1Cs将 、P1 、1代入梅森公式，可得网络的传递函数为 5个回路中，可以组成6对两两互不接触的回路，故 还有一组三个互不接触的回路，因此 所以前向通道与各回路均有接触，故余子式 前向通道只有一条，即 2-4 2-4 系统传递函数系统传递函数 闭环系统典型结构 开环传递函数 闭环系统传递函数 误差传递函数 单位负反馈1. 闭环系统的典型结
23、构RCEBN2. 系统开环传递函数开环传递函数不是指开式控制系统的传递函数，而是闭环系统的开环。开环传递函数不含反馈的极性。3. r(t)作用下的系统闭环传递函数RCEBN令 n(t)=0 由上图可求得系统的闭环传递函数为4. n(t)作用下的系统闭环传递函数令 r(t)=0 由上图可求得输出c(t)对输入n(t)的传递函数为CN5.系统总输出根据线性迭加原理，线性系统的总输出应为各外作用引起的输出之和，因而总输出的拉氏变换式为 6. 误差传递函数系统分析时，除要了解被控量c(t)的变化规律，还经常关注控制过程中的误差变化。误差大小直接反映了系统的控制精度。上图中，暂且规定给定指令r(t)与代
24、表被控量c(t)的测量装置的输出b(t)之差为系统误差e(t), 即 为误差的拉氏变换式 。RCEBN则1). r(t)作用下闭环系统的误差传递函数REB令 n(t)=0 可得上图，则闭环系统的误差传递函数为2). n(t)作用下闭环系统的误差传递函数令 r(t)=0 可得上图，则闭环系统的误差传递函数为-EN3). 系统总误差根据迭加定理，系统总误差为 对比上面导出的四个闭环传递函数 (s)、n(s)、e(s)、en(s)的表达式，可以看出，虽然各不相同，但其分母却完全一样，均为1+G1(s)G2(s)H(s),这是控制系统的本质特征。无论是系统内部的哪个变量，无论是哪个外作用对系统的影响，
25、同一反馈系统、同一闭合回路，其动态规律必然存在着基本的共同点，反映在闭环传递函数上，即分母相同。从梅森公式可知，同一系统的具有唯一性。 7.单位负反馈反馈通道的传递函数H(s)=1, 则称单位负反馈，此时开环传递函数为RCEN闭环传递函数为 2-5 2-5 脉冲响应与阶跃响脉冲响应与阶跃响应应 典型响应 典型外作用 典型初状态 脉冲响应 阶跃响应1. 1. 典型响应典型响应 所谓响应，就是指系统的动态过程 y(t)，是指由于输入量的作用而造成的对象的输出量的变化的函数，不仅决定于系统内部的结构、参数，而且和系统的初状态以及加于系统上的外作用有关。典型响应是指在零初始条件下某种典型输入量函数作用
26、下对象的响应。简言之：初状态为零的系统，在典型外作用下输出量的动态过程，称典型时间响应。 2. 2. 典型外作用典型外作用 典型外作用是众多而复杂的实际外作用的近似和抽象，它的选择不仅应使数学运算简单，而且还应便于用实验验证，常用的典型外作用有以下几种： q 单位阶跃信号 1(t) q 单位斜坡信号 t1(t) q 正弦信号 asin t q 单位脉冲信号 (t)数学描述 单位脉冲信号 (t)拉氏变换式 数学描述 拉氏变换式 单位阶跃信号 1(t) 数学描述 拉氏变换式 单位斜坡信号 t1(t) 数学描述 拉氏变换式 正弦信号 asin t 3. 3. 典型初状态典型初状态 规定控制系统的初状
27、态为零状态，即 这表明，在外作用加于系统之前，被控量及其各阶导数相对于平衡工作点的增量为零，系统处于相对平衡状态。 推论1 4. 4. 脉冲响应脉冲响应 脉冲响应是在零初始条件下，系统在(t)作用下的响应称为单位脉冲响应。设系统的传递函数为(s),则 当x(t)= (t)时 ，得单位脉冲响应为 （*） 零初始条件下系统在任意输入量作用下的响应 ，对（*）式用卷积定理 或 y(t)为脉冲响应与输入量的卷积 (s)为脉冲响应(t)的拉氏变换 推论2 5. 5. 阶跃响应阶跃响应 在零初值条件下，系统的输入量是单位阶跃函数1(t)，则系统的响应称为单位阶跃响应。设系统的传递函数为(s),系统的输入量
28、x(t)=1(t), 则单位阶跃响应为 阶跃响应是脉冲响应的积分脉冲响应是阶跃响应的导数 2-6 2-6 典型环节及其传递函典型环节及其传递函数数1. 1. 基本环节概念基本环节概念线性定常系统的传递函数可以表示为 它是真有理式（nm）,分子分母均为 s的实系数多项式。我们知道，一个n次的实系数多项式有n个实的或复的零点，其中复零点以共轭对出现。因此，实系数多项式必可写成一系列形如 的因子的乘积，其中， 都是实数，这些因子分别对应于实零点和共轭复零点j 。(1)基本环节概念基本环节概念形如式（1）的传递函数，不论多么复杂，总可看成是一系列形如 的基本因子的乘积，在控制理论中，把这些基本因子叫作
29、基本单元（也称基本环节、基本元件），而认为一切有理分式传递函数都是由这样的基本单元组合起来的。 2. 2. 比例环节比例环节其中，K为实数，称为比例系数，在许多场合，比例系数K也称为增益。 比例环节用来描述系统中两个变量成正比的关系（如理想放大器，跟随器等）。 微分方程 传递函数3. 3. 积分环节积分环节微分方程 在零初值条件下，它的解为 传递函数即输出量是输入量的积分，积分单元由此得名。 阶跃响应 4. 4. 微分环节微分环节微分方程 传递函数因输出量中含有输入量的导数，微分环节由此得名。 或或5. 5. 惯性环节惯性环节微分方程 传递函数在起始阶段，t 很小，et/T 1t/T，y(t)
30、=Kx0t/T=K t，与积分环节相似，故又称实际积分环节。在最后阶段，即tT时，y (t) Kx0 ，为有一定惯性的比例环节。 或其中T0 ,称为时间常数 ，而 。阶跃响应 6. 6. 振荡环节振荡环节微分方程 传递函数或T 0 为时间常数 ，n =1/T为无阻尼自振角频率， 为阻尼比。 0 1，有一对共轭复极点，在左半平面或虚轴上： 1时，变为两个惯性环节的串联。7. 7. 纯延迟环节纯延迟环节动态方程 传递函数 是正实数，称为延时。 取拉氏变换，得到可见，传递函数是s的无理函数，根据复变函数理论，它在s平面处处解析，但在s=点有一个本性奇点。换句话说，在s=点的邻域内，函数e-s可以无限
31、多次的取任意值，包括任意大的值和零。有时把这种性质简单地说成 “函数e-s 在s=点有无穷多个极点和无穷多个零点。”（1）根据指数函数的一种定义，有 即把延时单元看成若干个时间常数相等的惯性环节的串联组合，这种近似方法精度较高，但所得结果复杂。 （2）把指数函数展开成Taylor级数（2）把指数函数展开成Taylor级数可看出，延时环节的输出量中含有输入量的各阶导数，如果输入量变化相当慢，就可以略去高阶导数项，而认为这种近似方法比较简单，但在输入量含有迅速变化的成分时（如阶跃函数），它的精度很差。8. 8. 不稳定环节不稳定环节传递函数极点位于右半平面。2-7 利用计算机求取系 统传递函数 软件的结构 软件的使用面向框图自动识别系统演示软件结构框图软件结构框图软件结构框图软件结构框图
