《Lagrange插值ppt课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《Lagrange插值ppt课件（34页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第二讲第二讲 Lagrange插值插值主要知识点主要知识点插值的根本概念，插值多项式的存在独一性；插值的根本概念，插值多项式的存在独一性；LagrangeLagrange插值插值( (含线性插值、抛物插值、含线性插值、抛物插值、n n次次LagrangeLagrange插值公式；插值公式；插值余项；插值余项；插值方法：插值方法：1 1解方程组、解方程组、2 2基函数法。基函数法。插值问题描画插值问题描画设知某个函数关系设知某个函数关系 在某些离散点上的函在某些离散点上的函数值：数值：插值问题：根据这些知数据来构造函数插值问题：根据这些知数据来构造函数 的一种简单的近似表达式的一种简单的近似表达
2、式, ,以便于计以便于计算点算点 的函数值的函数值 ，或计算函，或计算函数的一阶、二阶导数值。数的一阶、二阶导数值。多项式插值定义多项式插值定义 在众多函数中在众多函数中,多项式最简单、最易计算，知函数多项式最简单、最易计算，知函数 个互不一样的点处的函数值个互不一样的点处的函数值 ，为求，为求 的近似式，自然应中选的近似式，自然应中选 次多项式次多项式使使 满足条件满足条件插值的几何意义插值多项式的几何意义插值多项式的几何意义插值独一性定理插值独一性定理定理：定理：(独一性独一性) 满足满足 的的 n 阶插值阶插值多项式是独一存在的。多项式是独一存在的。存在独一性定理证明存在独一性定理证明设
3、所要构造的插值多项式为：设所要构造的插值多项式为： 由插值条件由插值条件 得到如下线性代数方程组：得到如下线性代数方程组：存在独一性定理证明存在独一性定理证明( (续续) )此方程组的系数行列式为此方程组的系数行列式为 范得蒙行列式范得蒙行列式 ！当当 时， D 0，因此，因此，Pn(x)Pn(x)由由a0, a1, ana0, a1, an独一确定。独一确定。插值方法一、解方程组法：一、解方程组法： 类似插值独一性定理证明过程，先设插值多项式函数类似插值独一性定理证明过程，先设插值多项式函数为为 ，将，将 个节点的个节点的函数值代入多项式里，便得到函数值代入多项式里，便得到 个等式，得到一个
4、关个等式，得到一个关于多项式里系数的线性方程组，解此线性方程组，便得到于多项式里系数的线性方程组，解此线性方程组，便得到所要求的插值多项式。所要求的插值多项式。二、基函数法：一种既能防止解方程组，又能适宜于计算机二、基函数法：一种既能防止解方程组，又能适宜于计算机求解的方法，下面将详细引见。求解的方法，下面将详细引见。拉格朗日插值公式拉格朗日插值公式 拉拉格格朗朗日日LagrangeLagrange插插值公公式式的的根根本本思思想想是是，把把pn(x)pn(x)的的构构造造问题转化化为n+1n+1个个插插值基基函函数数li(x)(i=0,1,n)li(x)(i=0,1,n)的构造。的构造。 线
5、性插值函数线性插值函数x0x1(x0 ，y0)(x1，y1)P1(x)f(x)可见可见 是过是过 和和 两点的直线。两点的直线。抛物插值函数抛物插值函数x0x1x2p2(x) f(x)f(x)因过三点的二次曲线为抛物线，故称为抛物插值。因过三点的二次曲线为抛物线，故称为抛物插值。 N次插值函数要求：无重合节点，即要求：无重合节点，即设延续函数设延续函数 在在a, ba, b上对给定上对给定n + 1n + 1个不同结点：个不同结点：分别取函数值分别取函数值其中其中试构造一个次数不超越试构造一个次数不超越n n的插值多项式的插值多项式使之满足条件使之满足条件 i = 0, 1, 2, n一次La
6、grange插值多项式(1) 知函数知函数 在点在点 上的值为上的值为 ，要求，要求多项式多项式 ，使，使 ， 。其几何意义，。其几何意义，就是经过两点就是经过两点 的一条直线，如下的一条直线，如下图。图。一次Lagrange插值多项式(2)一次插值多项式一次插值多项式 一次Lagrange插值多项式(3)由直线两点式可知，经过由直线两点式可知，经过A A，B B的直线方程为的直线方程为 它也可变形为它也可变形为 显然有：显然有：一次一次Lagrange插值多项式插值多项式(4)记记可以看出可以看出的线性组合得到，其系数分别为的线性组合得到，其系数分别为 ，称称 为节点为节点 , 的线性插值基
7、函数的线性插值基函数一次Lagrange插值多项式(5)线性插值基函数线性插值基函数满足下述条件满足下述条件1001并且他们都是一次函数。并且他们都是一次函数。留意他们的特点对下面的推行很重要留意他们的特点对下面的推行很重要一次Lagrange插值多项式(6)我们称我们称 为点为点 的一次插值基函数，的一次插值基函数， 为点为点 的一次插值基函数。它们在对应的插值点上的一次插值基函数。它们在对应的插值点上取值为取值为1 1，而在另外的插值点上取值为，而在另外的插值点上取值为0 0。插值函。插值函数数 是这两个插值基函数的线性组合，其组合是这两个插值基函数的线性组合，其组合系数就是对应点上的函数
8、值。这种方式的插值称系数就是对应点上的函数值。这种方式的插值称作为拉格朗日作为拉格朗日LagrangeLagrange插值。插值。二次Lagrange插值多项式1 线线性性插插值值只只利利用用两两对对值值及及求求得得的的 近似值，误差较大。近似值，误差较大。 p2(x)是是x的的二二次次函函数数，称称为为二二次次插插值值多多项项式式。经过三点的插值问题称为二次插值或抛物插值。经过三点的插值问题称为二次插值或抛物插值。二次Lagrange插值多项式2以过节点以过节点 的二次函数的二次函数为插值函数。为插值函数。 用基函数的方法获得用基函数的方法获得其中其中设被插函数在插值节点设被插函数在插值节点
9、处的函数值为处的函数值为N次插值函数1我我们们看看到到，两两个个插插值值点点可可求求出出一一次次插插值值多多项项式式，而而三三个个插插值值点点可可求求出出二二次次插插值值多多项项式式。当当插插值值点点添添加加到到n+1个个时时，我我们们可可以以利利用用Lagrange插值方法写出插值方法写出n次插值多项式，如下所示：次插值多项式，如下所示：N次插值多项式问题次插值多项式问题2知知n+1个节点处的函数值个节点处的函数值求一个求一个n次插值函数次插值函数满足满足N次插值多项式3构造各个插值节点上的基函数构造各个插值节点上的基函数 满足如下条件满足如下条件100001000001N次插值多项式4求求
10、n n次多次多项式式 ， k = 0, 1, n k = 0, 1, n那么那么 i = 0, 1, 2, n即即 满足插值条件满足插值条件 根据根据 的表达式，的表达式， 以外一切的结点都是以外一切的结点都是 的根，的根，N次插值多项式5又由又由 ，得：，得： 因此令因此令N次插值多项式6从而得从而得n n 阶拉格朗日阶拉格朗日LagrangeLagrange插值公式：插值公式：N次插值多项式7在在a , b内存在内存在, 调查截断误差调查截断误差设节点设节点，且，且 f 满足条件满足条件 , 存在存在 使得使得 。且且推行：假推行：假设设使得使得使得使得罗尔定理罗尔定理 : 假设假设 在在
11、 延续，在延续，在 充分光滑，充分光滑，N次插值多项式8注：注： 通常不能确定通常不能确定 x , 而是估而是估计 , x(a,b) 将将 作作为误差估差估计上限。上限。 当当 f(x) 为任一个次数为任一个次数 n 的多项式时，的多项式时， , 可知可知 ，即插值多项式对于，即插值多项式对于次数次数 n 的多项式是准确的。的多项式是准确的。例题分析例题分析1例：例： 知特殊角知特殊角 处的正弦函数值处的正弦函数值分别为分别为求正弦函数的一次、二次插值多项式，并用求正弦函数的一次、二次插值多项式，并用插值函数近似计算插值函数近似计算 ，并估计误差，并估计误差解：一次插值函数为解：一次插值函数为例题分析例题分析2误差为误差为在所求点的函数值为在所求点的函数值为误差为误差为知知例题分析例题分析3二次插值多项式为二次插值多项式为误差为误差为所求函数值为所求函数值为例题分析例题分析4误差为误差为右图中红色曲线右图中红色曲线为为 图形图形, ,绿色绿色曲线为插插值函曲线为插插值函数的图形。数的图形。第二讲完！谢谢大家！再见！
