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1、第一章 分析基础分析基础 函数函数 极限极限 连续连续 研究对象 研究方法 研究桥梁函数与极限目录 上页 下页 返回 结束 第一章 二、映射二、映射 三、函数三、函数 一、集合一、集合第一节映射与函数目录 上页 下页 返回 结束 元素 a 属于集合 M , 记作元素 a 不属于集合 M , 记作一、一、 集合集合1. 定义及表示法定义及表示法定义定义 1. 具有某种特定性质的事物的总体称为集合集合.组成集合的事物称为元素元素.不含任何元素的集合称为空集空集 , 记作 . ( 或) .注注: M 为数集 表示 M 中排除 0 的集 ;表示 M 中排除 0 与负数的集 .简称集集简称元元目录 上页
2、 下页 返回 结束 表示法表示法：(1) 列举法：按某种方式列出集合中的全体元素 .例例: 有限集合自然数集(2) 描述法： x 所具有的特征例例: 整数集合或有理数集 p 与 q 互质实数集合 x 为有理数或无理数开区间闭区间目录 上页 下页 返回 结束 无限区间点的 邻域邻域其中, a 称为邻域中心 , 称为邻域半径 .半开区间去心 邻域邻域左左 邻域邻域 :右右 邻域邻域 :目录 上页 下页 返回 结束 是 B 的子集子集 , 或称 B 包含 A ,2. 集合之间的关系及运算集合之间的关系及运算定义定义2 .则称 A若且则称 A 与 B 相等相等,例如,显然有下列关系 :,若设有集合记作
3、记作必有目录 上页 下页 返回 结束 定义定义 3 . 给定两个集合 A, B, 并集交集且差集且定义下列运算:余集直积特例:记为平面上的全体点集或目录 上页 下页 返回 结束 二、二、 映射映射某校某校学生的集合学生的集合 学号的集合学号的集合 按一定规则查号某某班学生的集合班学生的集合 某教室座位某教室座位 的集合的集合按一定规则入座引例引例1. 目录 上页 下页 返回 结束 引例引例2.引例引例3.(点集)(点集)向 y 轴投影目录 上页 下页 返回 结束 定义定义4.设 X , Y 是两个非空集合, 若存在一个对应规则 f , 使得有唯一确定的与之对应, 则称 f 为从 X 到 Y 的
4、映射映射, 记作元素 y 称为元素 x 在映射 f 下的像像, 记作元素 x 称为元素 y 在映射 f 下的原像原像 . 集合 X 称为映射 f 的定义域定义域 ; Y 的子集称为 f 的 值域值域 . 注意注意: 1) 映射的三要素 定义域 , 对应规则, 值域. 2) 元素 x 的像 y 是唯一的, 但 y 的原像不一定唯一. 目录 上页 下页 返回 结束 对映射若, 则称 f 为满射满射; 若有 则称 f 为单射单射;若 f 既是满射又是单射, 则称 f 为双射双射 或一一映射一一映射. 引例引例2, 3引例引例2引例引例2目录 上页 下页 返回 结束 例例1.海伦公式例例2. 如图所示
5、,对应阴影部分的面积则在数集自身之间定义了一种映射(满射满射) 例例3. 如图所示, 则有(满射满射) (满射满射) 目录 上页 下页 返回 结束 X (数集 或点集 ) 说明说明:在不同数学分支中有不同的惯用 X ( ) Y (数集) f 称为X 上的泛函X ( ) X f 称为X 上的变换 R f 称为定义在 X 上的函数映射又称为算子. 名称. 例如, 目录 上页 下页 返回 结束 定义域三、函数三、函数1. 函数的概念函数的概念 定义定义5. 设数集则称映射为定义在D 上的函数 ,记为称为值域 函数图形函数图形:自变量因变量目录 上页 下页 返回 结束 (对应规则)(值域)(定义域)例
6、如, 反正弦主值 定义域定义域 对应规律对应规律的表示方法: 解析法、图像法、列表法使表达式或实际问题有意义的自变量集合.定义域值域又如, 绝对值函数定义域值 域对无实际背景的函数, 书写时可以省略定义域.对实际问题, 书写函数时必须写出定义域；目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 已知函数解解:及写出 f (x) 的定义域及值域, 并求f (x) 的定义域 值域 目录 上页 下页 返回 结束 2. 函数的几种特性函数的几种特性设函数且有区间(1) 有界性有界性使称 使称 说明说明: 还可定义有上界、有下界、无界 .(2) 单调性单调性为有界函数.在 I 上有界. 使若对任意正数 M , 均
7、存在 则称 f ( x ) 无界无界.称 为有上界有上界称 为有下界有下界当称 为 I 上的称 为 I 上的单调增函数 ;单调减函数 .(见 P11 )目录 上页 下页 返回 结束 (3) 奇偶性奇偶性且有若则称 f (x) 为偶函数;若则称 f (x) 为奇函数. 说明说明: 若在 x = 0 有定义 ,为奇函数奇函数时,则当必有例如, 偶函数双曲余弦 记目录 上页 下页 返回 结束 又如,奇函数双曲正弦 记再如,奇函数双曲正切 记说明: 给定 则 偶函数偶函数 奇奇函数函数 目录 上页 下页 返回 结束 (4) 周期性周期性且则称为周期函数 ,若称 l 为周期 ( 一般指最小正周期 ).周
8、期为 周期为注注: 周期函数不一定存在最小正周期 .例如, 常量函数狄利克雷函数x 为有理数x 为无理数目录 上页 下页 返回 结束 3. 反函数与复合函数反函数与复合函数(1) 反函数的概念及性质若函数为单射, 则存在一新映射习惯上,的反函数记成称此映射为 f 的反函数 ., 其反函数(减)(减) .1) yf (x) 单调递增且也单调递增 性质: 使其中目录 上页 下页 返回 结束 2) 函数与其反函数的图形关于直线对称 .例如 ,对数函数互为反函数 ,它们都单调递增, 其图形关于直线对称 .指数函数目录 上页 下页 返回 结束 (2) 复合函数 则设有函数链称为由, 确定的复合函数 ,
9、u 称为中间变量. 注意: 构成复合函数的条件 不可少. 例如, 函数链 :但可定义复合函数时, 虽不能在自然域 R下构成复合函数,可定义复合函数当改目录 上页 下页 返回 结束 两个以上函数也可构成复合函数. 例如, 可定义复合函数:约定约定: 为简单计, 书写复合函数时不一定写出其定义域, 默认对应的函数链顺次满足构成复合函数的条件.目录 上页 下页 返回 结束 4. 初等函数初等函数(1) 基本初等函数幂函数、 指数函数、 对数函数、 三角函数、 反三角函数(2) 初等函数由常数及基本初等函数否则称为非初等函数 . 例如 ,并可用一个式子表示的函数 ,经过有限次四则运算和复合步骤所构成
10、,称为初等函数 .可表为故为初等函数.又如 , 双曲函数与反双曲函数也是初等函数 .( 自学, P17 P20 )目录 上页 下页 返回 结束 非初等函数举例:符号函数当 x 0当 x = 0当 x 0取整函数当目录 上页 下页 返回 结束 设函数 x 换为 f (x)例例5.解解: 目录 上页 下页 返回 结束 例例6. 求的反函数及其定义域.解解: 当时,则当时,则当时,则反函数定义域为目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1. 集合及映射的概念定义域对应规律3. 函数的特性有界性, 单调性,奇偶性, 周期性4. 初等函数的结构 作业作业 P21 4 (5),(8) ,(10); 6; 8; 9; 13 ; 16; 17; 18 2. 函数的定义及函数的二要素第二节 目录 上页 下页 返回 结束 且备用题备用题证明证证: 令则由消去得时其中a, b, c 为常数, 且为奇函数 .为奇函数 .1. 设目录 上页 下页 返回 结束 2 . 设函数的图形与均对称, 求证是周期函数.证证: 由的对称性知于是故是周期函数 , 周期为
