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1、1 第五章第五章 测量误差的基本知识测量误差的基本知识 5 51 1测量误差概述测量误差概述 一误差来源一误差来源： 仪器误差仪器误差 观测误差观测误差 外界条件外界条件 观测条件观测条件 观测条件相同的为等精度观测观测条件相同的为等精度观测 直接观测直接观测: :对未知量直接测量对未知量直接测量 间接观测间接观测: :通过观测量与未知量的函数关系计算未知量通过观测量与未知量的函数关系计算未知量2 二误差分类二误差分类 1.1.粗差粗差: :错误错误, ,测错测错. .读错读错. .听错听错. .计错造成计错造成. . 2. 2.系统误差系统误差: :在相同的观测条件下在相同的观测条件下, ,
2、对某量进行多次观对某量进行多次观 测测, ,若误差大小若误差大小. .符号均一致或有规律变化符号均一致或有规律变化. . 或保持常数或保持常数. . 特点特点: :累积性、规律性累积性、规律性 削弱方法削弱方法: :计算中加改正数计算中加改正数. .观测方法观测方法. .误差限制误差限制 3.3.偶然误差偶然误差: :在相同的观测条件下在相同的观测条件下, ,对某量多次观测对某量多次观测, , 若误差大小若误差大小. .符号均不一符号均不一 致致. .从表面上从表面上 看没有任何规律。看没有任何规律。3 偶然误差特性曲线偶然误差特性曲线01.0 2.03.0-1.0-2.0-3.0误差分布曲线
3、频率/组距4 三三. .偶然误差特性偶然误差特性 偶然误差偶然误差-随机误差随机误差-统计规律统计规律 1.1.在相同的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定限值在相同的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定限值 （误差范围）（误差范围） 2.2.绝对值小的误差出现的机会比绝对值大的误差出现的机会多绝对值小的误差出现的机会比绝对值大的误差出现的机会多 （分布规律）（分布规律） 3.3.绝对值相等的正、负误差出现的机会均等绝对值相等的正、负误差出现的机会均等 （符号规律）（符号规律） 4.4.偶然误差的算术平均值随观测次数的增加趋于零（抵偿性）偶然误差的算术平均值随观测次数的增加趋于零（抵偿
4、性） 精度精度: : 误差分布的密集与离散程度误差分布的密集与离散程度 思考题思考题：水准尺倾斜、水准管气泡不居中、读数、瞄准、水准尺倾斜、水准管气泡不居中、读数、瞄准、 定线、拉力、钢尺不水平属哪类误差定线、拉力、钢尺不水平属哪类误差5 5.3 5.3 衡量精度的指标衡量精度的指标 一一中误差中误差：m=m=(/n)(/n) 真误差真误差= =真值真值- -观测值观测值( (=L-l)=L-l) 二二. . 算术平均值算术平均值 当观测次数趋于无穷大时当观测次数趋于无穷大时, ,观测值的算术平均值趋观测值的算术平均值趋 于真值。于真值。 当观测次数有限时，观测值的算术平均值最可靠当观测次数有
5、限时，观测值的算术平均值最可靠 三观测值的改正数三观测值的改正数 v vi i=L=Ll li i= =算术平均值算术平均值- -观测值观测值 V =O V =O6四白塞尔公式四白塞尔公式 m=m=(VV/n-1)(VV/n-1)五相对误差五相对误差 相对误差相对误差 K=|DK=|D往往-D-D返返|/D|/D平平=1/ =1/ 相对中误差相对中误差 K Km m=|m|/D=|m|/D平平=1/ =1/ 六允许误差与极限误差六允许误差与极限误差 允允=2m =2m 极极=3m=3m75 54 4误差传播定律误差传播定律 定律定律：阐述观测值的中误差与观测值函数中误：阐述观测值的中误差与观测
6、值函数中误 差之间的关系差之间的关系一一倍数函数倍数函数 Z=KX Z=KX m mz z= =kmkmx x 二二和差函数和差函数 Z=X+Y mZ=X+Y m2 2z z=m=m2 2x x+m+m2 2y y三三线性函数线性函数 Z=KZ=K1 1X X1 1+K+K2 2X X2 2+K+K3 3X X3 3+ + m m2 2z z=k=k2 21 1m m2 2x1x1+k+k2 22 2m m2 2x2x2+k+k2 23 3m m2 2x3x3 算术平均值中误差算术平均值中误差 m mL L= m / n = m / n VV/n(n-1)VV/n(n-1)8算术平均值中误差算
7、术平均值中误差m mL L与观测次数与观测次数n n的关系的关系15O0.20.45 mL0.61.020n100.89四四一般函数：一般函数：Z=f(xZ=f(x1 1.x.x2 2.x.x3 3) ) 1 1列函数式列函数式Z=f(xZ=f(x1 1.x.x2 2.x.x3 3) ) 2 2求全微分求全微分 3 3线性函数线性函数 4 4误差形式误差形式 10例例1. 1. 已知已知AA误差误差m mA A b b边误差边误差m mb b c c边误差边误差m mc c 求三角形面积中误差求三角形面积中误差解: S=1/2ch=S=1/2ch=bcbc* *sinAsinA dsds=1/
8、2c*sinAdb+1/2b*=1/2c*sinAdb+1/2b*sinAsinA*dc+1/2bc*dc+1/2bc*cosAdAcosAdA ms ms2 2=1/4c=1/4c2 2sinsin2 2AmAm2 2b b+1/4b+1/4b2 2sinsin2 2AmAm2 2c+c+ 1/4b 1/4b2 2c c2 2coscos2 2AmAm2 2A A/ /2 2Ab CBch11 例例2.2.等等精精度度观观测测一一个个三三角角形形三三个个内内角角A A.B.B.C.C，误误差差均均为为m m，三三角角形形闭闭合合差差= = A A+B+B+C+C180180，为为消消除除闭闭
9、合合 差差, , 将闭合差反号平均分配将闭合差反号平均分配, ,得得 A=AA=A-1/3-1/3,B,B=B=B-1/3-1/3，C= CC= C-1/3-1/3， 求求m m，m mA A解：由= A= A+B+B+C+C180180得得m m2 2=m=m2 2A A+m+m2 2B B+m+m2 2c c=3m=3m2 2m m=3=31/21/2m m由由A=AA=A-1/3-1/3=A=A-1/3-1/3（A A+B+B+C+C180180） /3/3A A1/31/3B B1/31/3C C0 0 m m2 2A A= =/ /m m2 2A A+ +1/1/m m2 2B B+
10、 +1/1/m m2 2c c= =/3/3m m2 2m mA A= =（3 3）1/2 1/2 m mA=AA=A-1/3-1/3 m m2 2A A =m=m2 2+1/9*(3m+1/9*(3m2 2)=4/3m)=4/3m2 2A与相关，故不能相关，故不能用此法算用此法算12例例3. 3. 根据三角形内角和闭合差，计算测角中误差根据三角形内角和闭合差，计算测角中误差解：解： 三角形内角和三角形内角和 Li=Li=Ai+Bi+CiAi+Bi+Ci 闭合差闭合差 ii=Li-180=Li-180 根据中误差概念根据中误差概念mm= =(/n)(/n) 又又ii=Li-180=Li-180
11、 =Ai+Bi+Ci-180=Ai+Bi+Ci-180 m m2 2=m=m2 2A A+m+m2 2B B+m+m2 2c c=3m=3m2 2角角 或或m m角角=m/3=m/31/21/2= =(/3n)(/3n) 菲列罗公式菲列罗公式 由真误差计算测角中误差由真误差计算测角中误差 13例例4. 4. 有一长方形测量四边长有一长方形测量四边长1010，1515，1010，1515米，误米，误 差分别为差分别为4 4，5 5，4 4，5 5毫米，求周长及毫米，求周长及 中误差中误差, , 面积及中误差。面积及中误差。 解：周长解：周长C=LC=L1 1+L+L2 2+L+L3 3+L+L4
12、 4= =.50.50米米 m m2 2C C= =m m2 2L1L1+m+m2 2L2L2+m+m2 2L3L3+m+m2 2L4L4=4=42 2+5+52 2+4+42 2+5+52 2=82=82 m mC C= =9.19.1毫米毫米 C=50C=50米米9.19.1毫米毫米 S=S=L L1 1L L2 2=10=1015=150 15=150 平方米平方米 dSdS= =L L2 2d dL L1 1+L+L1 1d dL L2 2 m m2 2s=s=L L2 22 2m m2 2L L1 1+L+L2 21 1m m2 2L L2 2=15000=150002 24 42
13、2+1000+10002 25 52 2 m ms=s=0.0780.078平方米平方米 S=S=150150平方米平方米0.0780.078平方米平方米 14 例例5. 5. 一直线测量六次结果为一直线测量六次结果为246.535246.535（545 520 545 520 529 550 537 529 550 537）米，求）米，求L L m mL L KmKm 解解: : L=( L=(L L1 1+L+L2 2+L+L3 3+L+L4 4+L+L5 5+L+L6 6)/6=246.536)/6=246.536米米 Vi=L-LiVi=L-Li V V1 1=1.V=1.V2 2=-
14、9.V=-9.V3 3=16.V=16.V4 4=7.V=7.V5 5=-14.V=-14.V6 6=-1=-1 V V1 1V V1 1=1. V=1. V2 2V V2 2=81. V=81. V3 3V V3 3=256. =256. V V4 4V V4 4=49. V=49. V5 5V V5 5=196. V=196. V6 6V V6 6=1=1 VV=584 VV=584 m mL L= =VV/n(n-1)VV/n(n-1)= = =4.44.4毫米毫米 Km=Km=m/m/L L平平=4.4/246536=1/56000=4.4/246536=1/5600015例量得一圆的
15、半径例量得一圆的半径. .，其误差，其误差 . .，求面积和面积中误差，求面积和面积中误差解：解： =r r2 2 = = 50.450.42 2=7976 =7976 2 2 d ds s=2=2rdrrdr msms2 2= =（22r r）2 2mrmr2 2 = =（2 250.450.4）2 2（. .）2 2 msms=158 =158 2 2 S=7976 S=7976158 158 2 2 16例例7 7在在A AB B两点间进行水准测量，共设个两点间进行水准测量，共设个站，若每个站的中误差都为站，若每个站的中误差都为，计算，计算A,BA,B两点间的高差中误差两点间的高差中误差
16、解：解： + + + m m2 2= = m m2 21 1+ + m m2 22 2+ + m m2 26 6 = 6= 6m m2 2 m m= 6= 61/2 1/2 m m = 6= 61/21/2（）= = 4.9 4.9 17例例8 8三角形中，观测三角形中，观测A A45451010”， B B0 0“，计算，计算 C C及及mcmc， 要使要使m mc c”，用，用J6J6仪观测几个测回仪观测几个测回解：解： C= 18C= 18-A-B= 65-A-B= 65 m m2 2c c= = m m2 2A A+ +m m2 2B B =10 =102 2+20+202 2=500
17、=500 m mc c= =2.42.4 由算术平均值中误差由算术平均值中误差 m mL L= m / n = m / n 得得n= mn= m2 2/m/m2 2L L = 8.5 = 8.52 2/6/62 2=2=2( (测回测回) )18例例9 9 观测五边形的内角，均为两个测回，一测回的观测五边形的内角，均为两个测回，一测回的 角值误差角值误差”，计算，计算m m2 2 要使要使m m 1 1“，需几个测回测角，需几个测回测角解：解： =1 1+ +2 2+ +5 5-540-540 m m2 2= m m2 21 1+ + m m2 22 2+ + m m2 25 5 =5=5m m2 2 m m2 2= 5 5m m/2/2 = 5 58.5/28.5/2=13.513.5“ 由算术平均值中误差由算术平均值中误差 m mL L= m / n = m / n 得得n= mn= m2 2/m/m2 2L L = = m m2 2/m/m2 2L L=5=58.58.52 2/10/102 2=4=4( (测回测回) )19例例. . 水准测量误差分析水准测量误差分析例例. . 水平角测量误差分析水平角测量误差分析
