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1、1 1一、比较法一、比较法(1)作差比较法作差比较法2 23 3下面给出证明下面给出证明4 4练习求证：a2b2abab1.5 5 归纳领悟归纳领悟 比较法证明不等式最常用的是作差法，其基本步比较法证明不等式最常用的是作差法，其基本步骤是：骤是： (1)(1)作差；作差；(2)(2)变形；变形；(3)(3)判断差的符号；判断差的符号；(4)(4)下结论下结论 其中其中“变形变形”是关键，通常将差是关键，通常将差变形成因式连乘积的形式或平方和的形式，再结变形成因式连乘积的形式或平方和的形式，再结合不等式的性质判断出差的正负合不等式的性质判断出差的正负6 6(2)作商比较法作商比较法7 78 89
2、 9练习练习:DA1010ABQPM11117. 已知a1a2，b1b2，则Pa1b1a2b2，Qa1b2a2b1的大小关系是()A. PQB. PQn n答案：Cn n解析：(a1b1a2b2)(a1b2a2b1)(b1b2)(a1a2)n na1a2，b1b2n n(b1b2)(a1a2)0n na1b1a2b2a1b2a2b1.1212二、综合法与分析法二、综合法与分析法(1)综合法综合法在不等式的证明中在不等式的证明中,我们经常从已知条件和不等式的性我们经常从已知条件和不等式的性质、基本不等式等出发质、基本不等式等出发,通过逻辑推理通过逻辑推理,推导出所要证明推导出所要证明的结论的结论
3、.这种从已知条件出发这种从已知条件出发,利用定义、公理、定理、利用定义、公理、定理、性质等性质等,经过一系列的推理、论证而得出命题成立经过一系列的推理、论证而得出命题成立,这种这种证明方法叫做证明方法叫做综合法综合法.又叫又叫顺推证法或由因导果法顺推证法或由因导果法.用综合法证明不等式的逻辑关系用综合法证明不等式的逻辑关系131314141515必会技巧1. 利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用基本不等式2. 常用的初等变形有均匀裂项、增减项、配系数等利用基本不等式还可以证明条件不等式，关键是恰当地利用条件，构造基本不等式所需要的形式
4、16161717181819192020答案：MN212122222323242425252626审题视点(1)根据式子的特点，利用公式进行转化，根据集合相等确定m的值；(2)结合已知条件构造两个适当的数组，变形为柯西不等式的形式2727282829293030n n答案：C3131(1)若x2y4z1，则x2y2z2的最小值是_(2)x，yR，且x2y210，则2xy的取值范围为_3232(2)分析法分析法从要证的结论出发从要证的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件逐步寻求使它成立的充分条件,直至直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公定义、
5、公理或已证的定理、性质等理或已证的定理、性质等),从而得出要证的命题成立从而得出要证的命题成立,这种证明方法叫做这种证明方法叫做分析法分析法.这是一种这是一种执果索因执果索因的思考和的思考和证明方法证明方法.用分析法证明不等式的逻辑关系用分析法证明不等式的逻辑关系3333用分析法证用分析法证“若若A则则B”这个命题的模式是这个命题的模式是:为了证明命题为了证明命题B为真为真,只需证明命题只需证明命题B1为真为真,从而有从而有只需证明命题只需证明命题B2为真为真,从而有从而有 只需证明命题只需证明命题A为真为真.而已知而已知A为真为真,故故B必真必真.34341.分析法要注意叙述的形式：“要证A
6、，只要证B”，这里B应是A成立的充分条件.2.综合法证明不等式是“由因导果”，分析法证明不等式是“执果索因”.它们是两种思路截然相反的证明方法.分析法便于寻找解题思路，而综合法便于叙述，因此要注意两种方法在解题中的综合运用.35353636例例2 2：若：若a a、b b、c c是不全相等得正数是不全相等得正数求证：求证：lg lg lg lg lg lg lga+lgb+lgc lga+lgb+lgc 要证要证 lg lg lg lg lg lg lga+lgb+lgc lga+lgb+lgc 只需证只需证 lg lg lgabclgabc只需证只需证 abcabcaa、b b、c c是正数
7、是正数0，0，0aa、b b、c c不全相等不全相等 abc lg lg lg lg lg lg lga+lgb+lgc lga+lgb+lgc 证明证明:373738383939练习练习1 1.求证：证明：不等式显然成立原不等式即证若ac+bd0,4040练习练习2 2 ：已知C1，求证：证明：C1 C+10 C-10即证即证-10 而此式显然成立而此式显然成立成立原不等式CCC211-+4141424243434444454546462分析分析法证明不等式的注意事项：用分析法证明不等式法证明不等式的注意事项：用分析法证明不等式时，不要把时，不要把“逆求逆求”错误地作为错误地作为“逆推逆推”
8、，分析法的，分析法的过程仅需要寻求充分条件即可，而不是充要条件，也过程仅需要寻求充分条件即可，而不是充要条件，也就是说，分析法的思维是逆向思维，因此在证题时，就是说，分析法的思维是逆向思维，因此在证题时，应正确使用应正确使用“要证要证”、“只需证只需证”这样的连接这样的连接“关键关键词词”4747三、反证法与放缩法三、反证法与放缩法(1)反证法反证法先假设要证的命题不成立先假设要证的命题不成立,以此为出发点以此为出发点,结合已知条结合已知条件件,应用公理应用公理,定义定义,定理定理,性质等性质等,进行正确的推理进行正确的推理,得到得到和命题的条件和命题的条件(或已证明的定理或已证明的定理,性质
9、性质,明显成立的事实明显成立的事实等等)矛盾的结论矛盾的结论,以说明假设不正确以说明假设不正确,从而证明原命题成从而证明原命题成立立,这种方法称为这种方法称为反证法反证法.对于那些直接证明比较困难对于那些直接证明比较困难的命题常常用反证法证明的命题常常用反证法证明.反证法的思维方法：反证法的思维方法：正难则反正难则反4848反证法的基本步骤：反证法的基本步骤：（1 1）假设命题结论不成立，即假设结论的反面成）假设命题结论不成立，即假设结论的反面成-立；立；（2 2）从这个）从这个假设出发假设出发，经过推理论证，得出，经过推理论证，得出矛盾矛盾； （3 3）从矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结
10、）从矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结 - - -论正确论正确归缪矛盾：归缪矛盾：（1 1）与已知条件矛盾；）与已知条件矛盾；（2 2）与已有公理、定理、定义矛盾；）与已有公理、定理、定义矛盾； （3 3）自相矛盾。）自相矛盾。4949应用反证法的情形：应用反证法的情形： (1)(1)直接证明困难直接证明困难; ; (2) (2)需分成很多类进行讨论需分成很多类进行讨论（3)3)结论为结论为“至少至少”、“至多至多”、“有无穷多有无穷多个个” -类命题；类命题； （4 4）结论为结论为 “唯一唯一”类命题；类命题；(5)如果从正面证明如果从正面证明,需要分成多种情形进行分类讨论需要分成多种情
11、形进行分类讨论而从反面进行证明而从反面进行证明,只研究一种或很少的几种情形只研究一种或很少的几种情形.50505151例例2、设、设0 a, b, c 又又0 a, b, c 1/4, (1 b)c1/4, (1 c)a1/4,5252例例3 3：用反证法证明：用反证法证明：如果如果ab0ab0，那么，那么5353(2)放缩法放缩法证明不等式时证明不等式时,通过把不等式中的某些部分的值放大或通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小缩小,可以使不等式中有关项之间的大小关系更加明确可以使不等式中有关项之间的大小关系更加明确或使不等式中的项得到简化而有利于代数变形或使不等式中的项得到简化而有利于代数变
12、形,从而达从而达到证明的目的到证明的目的,我们把这种方法称为我们把这种方法称为放缩法放缩法.通常放大或缩小的方法是不唯一的通常放大或缩小的方法是不唯一的,因而放缩法具有因而放缩法具有较在原灵活性较在原灵活性;另外另外,用放缩法证明不等式用放缩法证明不等式,关键是放、关键是放、缩适当缩适当,否则就不能达到目的否则就不能达到目的,因此放缩法是技巧性较因此放缩法是技巧性较强的一种证法强的一种证法.例如：例如：要证要证bc,只须寻找只须寻找b1使使ba,只须寻找只须寻找b2使使bb2且且b2a(缩小缩小)这种证明方法这种证明方法,我们称之为我们称之为放缩法。放缩法。放缩法放缩法的依据就是传递性。的依据就是传递性。545455555656答案：M 2 时，求证：时，求证： 证：证：n 2 n 2时时, 6363补充例题补充例题:64646565n n3点必须注意n n1. 作差比较法适用的主要题型是多项式、分式、对数式、三角式，作商比较法适用的主要题型是高次幂乘积结构n n2. 放缩法的依据是不等式的传递性，运用放缩法证明不等式时，要注意放缩适度，“放”和“缩”的量的大小是由题目分析，多次尝试得出放得过大或过小都不能达到证明目的n n3. 利用柯西不等式求最值，实质上就是利用柯西不等式进行放缩，放缩不当则等号可能不成立，因此，要切记检验等号成立的条件.6666
