第一章 连续体力学（Mechanics of continuous medium) 引 言 连续体力学包括固体的弹性力学和流体力学连续体力学包括固体的弹性力学和流体力学连续体的共同特点是其内部质点之间可以有相对运连续体的共同特点是其内部质点之间可以有相对运动从宏观上看，连续体可以有形变或非均匀流动从宏观上看，连续体可以有形变或非均匀流动处理连续体的办法是不再把它看成一个个离散的质处理连续体的办法是不再把它看成一个个离散的质点，而是取点，而是取““质元质元””，即有质量的体积元在连续，即有质量的体积元在连续体力学中，力不再看成是作用在一个个离散的质点体力学中，力不再看成是作用在一个个离散的质点上，而看成是作用在质量元的表面上本章主要研上，而看成是作用在质量元的表面上本章主要研究固体的弹性性质、液体的表面性质、液体的流动究固体的弹性性质、液体的表面性质、液体的流动性质和黏滞性质，这些性质无疑对农业和生物学中性质和黏滞性质，这些性质无疑对农业和生物学中是非常重要的是非常重要的 引引 言言 §1 1 固体的弹性固体的弹性(Elasticity of solid) 一、固体的结构1. 晶体(crystal) 宏观上具有规则对称的外形，微观上分宏观上具有规则对称的外形，微观上分子呈有序排列（远程有序），物理性质上子呈有序排列（远程有序），物理性质上呈现各向异性是固体的主要特征。
此外，呈现各向异性是固体的主要特征此外，熔化时具有熔点也是晶体的显著标志熔化时具有熔点也是晶体的显著标志 在晶体中，原子或离子周期性重复排在晶体中，原子或离子周期性重复排列，形成晶格，或称为空间点阵列，形成晶格，或称为空间点阵 金刚石 日本泉水的结晶日本泉水的结晶布宜诺斯艾利斯的水结晶布宜诺斯艾利斯的水结晶 大自然的神来之笔：传说中的凤凰归来 落日为火箭的烟痕染上落日为火箭的烟痕染上红红/ /橘色的色泽，更把烟痕橘色的色泽，更把烟痕的顶部渲染成亮白色，而刚的顶部渲染成亮白色，而刚从东方上升的满月，为落日从东方上升的满月，为落日线下的烟痕底部上了一层淡线下的烟痕底部上了一层淡白的色彩白的色彩 烟痕顶部的弥烟痕顶部的弥漫状云气是因为火箭推进器漫状云气是因为火箭推进器分离而产生的，这部份烟尘分离而产生的，这部份烟尘里的水气在寒冷的高空中瞬里的水气在寒冷的高空中瞬即形成冰晶，因为它还沐浴即形成冰晶，因为它还沐浴在白日阳光中，所以就产生在白日阳光中，所以就产生了许多细小的彩虹了许多细小的彩虹发射火箭留下的烟痕在落发射火箭留下的烟痕在落日的余辉中留下的影象日的余辉中留下的影象 2.非晶体(amorphous) 无规则对称的外形，加热熔化时也没有确定的熔点，在微观上分子排列无序（或近程有序），这类固体称非晶体。
非非晶晶体体有有许许多多类类型型，，玻玻璃璃体体、、弹弹性性体体和和塑塑性性体体是是其其中中最最主主要要的的类类型型生生物物材材料料大大多多属于非晶体属于非晶体晶体、玻璃体和气体的微观结构晶体、玻璃体和气体的微观结构 冰和水的结构特征冰和水的结构特征 二、 应变与应力 1. 应变（strain) 在外力作用下，固体要产生形变固体的形变包括拉伸压缩、剪切、扭转和弯曲四种在四种形变中，拉伸压缩和剪切为基本形变，扭转和弯曲可视为前两种形变的组合 应变是描述固体形变程度的应变是描述固体形变程度的物理量，它是指物体在外力物理量，它是指物体在外力作用下发生的相对形变作用下发生的相对形变拉伸应变 剪切应变 xd 2.应力（stress）作用在物体内部单位作用在物体内部单位面积上的作用力称应面积上的作用力称应力，应力是力，应力是内力内力 应力的数学表达：应力的数学表达： 3.应力与应变的关系 应力伴随应变的增大而增大，它反映了发生形变的物应力伴随应变的增大而增大，它反映了发生形变的物体内部的紧张程度对于一般的固体材料，若形变不超过一体内部的紧张程度对于一般的固体材料，若形变不超过一定的限度，应力与相关的应变成正比，此称定的限度，应力与相关的应变成正比，此称胡克定律胡克定律。
E 、、K和和G 称称弹性模量弹性模量(R. Hooke)体应变剪切应变 拉伸应变 0llED＝拉s 一些固体的弹性模量一些固体的弹性模量材材 料料K/1010PaG/1010PaE/1010Pa铝铝黄铜黄铜铜铜金金电解铁电解铁铅铅镁镁铂铂银银不绣钢不绣钢聚苯乙烯聚苯乙烯7.813.916.116.916.73.63.614.210.416.40.412.53.84.62.858.20.541.626.42.77.570.1336.810.512.68.1211.514.2316.87.519.70.36 1.固体拉伸与压缩时的应变－应力关系三、固体的拉伸与压缩称称正比极限正比极限称称弹性极限弹性极限 称强度极限称强度极限 2. 泊松比(Poisson ratio) bb0横向横向应变为 横向横向应变与与纵向向应变之比的之比的绝对值称称泊松比泊松比，用，用µ表示意义：意义：反映材料纵向与横向应变的差异反映材料纵向与横向应变的差异 常见固体材料的力学性质常见固体材料的力学性质名称名称弹性极限弹性极限/107Pa抗拉强度抗拉强度/107Pa泊松比泊松比铝铝铜铜铁铁钢钢石英石英18201730－－20403350－－0.350.370.290.300.17 四、生物材料的应变－应力关系生物材料是由非均匀材料组成的聚合物，这些生物材料是由非均匀材料组成的聚合物，这些聚合物的长链大分子互相纠缠在一起，彼此之聚合物的长链大分子互相纠缠在一起，彼此之间相互作用较弱，当受到外力拉伸时，不仅分间相互作用较弱，当受到外力拉伸时，不仅分子本身可以伸长，而且分子之间也易发生滑动。
子本身可以伸长，而且分子之间也易发生滑动由于不同生物材料的组成与结构各异，因此，由于不同生物材料的组成与结构各异，因此，也就没有固定的应变－应力关系也就没有固定的应变－应力关系 动物股骨的应力－应变曲线动物股骨的应力－应变曲线特点是拉应力和压应力的斜率不同，原因在于固体特点是拉应力和压应力的斜率不同，原因在于固体的不同成分具有不同的力学性质，骨骼的抗拉强度的不同成分具有不同的力学性质，骨骼的抗拉强度来自于胶原，而抗压强度来自于羟磷灰石来自于胶原，而抗压强度来自于羟磷灰石 几种几种动物股骨的力学性物股骨的力学性质种种类拉伸拉伸弹性性模量模量/GPa压缩弹性性模量模量/GPa拉伸拉伸强强度度极限极限/MPa压缩强强度度极限极限/MPa人（人（20～～29岁））17.6-----124±1.1170±4.3马25.59.4±0.4121±1.8145±1.6牛牛25.08.7113±2.1147±1.1猪猪14.94.988±1.5100±0.7 五、杆的弯曲考虑一个矩形截面的杆，两端考虑一个矩形截面的杆，两端的的支撑力支撑力N1和和N2与杆的载荷（包与杆的载荷（包括自重）括自重）P平衡，杆本身平衡，杆本身在载荷在载荷的作用下发生弯曲形变。
计算表的作用下发生弯曲形变计算表明，杆的曲率为明，杆的曲率为 ：： O’’zCRl/2N2N1hPOθO’l/2 杆的弯曲程度与宽度的一次杆的弯曲程度与宽度的一次方和高度的三次方成反比方和高度的三次方成反比由此可以解释工程技术和自由此可以解释工程技术和自然界中对结构设计的要求然界中对结构设计的要求 §2 2 静止液体的力学性质静止液体的力学性质 (1)液体压强的各向同性(2)液体压强随高度的变化一、液体的压强压强的定义：hA1. 静止液体内部的应力 Oydyyyab例例题: 在密度在密度为 的液体中沿竖直方向放置一个长为的液体中沿竖直方向放置一个长为a、、宽为宽为b的长方形平板，板的上边与水面相齐，求此板面的长方形平板，板的上边与水面相齐，求此板面所受液体压力的大小（不考虑液面外的大气压）所受液体压力的大小（不考虑液面外的大气压）解：解：如如图，在深度，在深度为y处取取宽度度为dy 的液的液层，液，液层的面的面积为dS=ady，，该液液层处液体的液体的压强强为即即 积分得板面所受到的分得板面所受到的压力力为 2.应力（stress）作用在物体内部单位作用在物体内部单位面积上的作用力称应面积上的作用力称应力，应力是力，应力是内力内力。
应力的数学表达：应力的数学表达： p’pdzhOdrrzr例例题:一个水桶一个水桶绕自身的自身的竖直直轴以角速度以角速度 旋转，当水旋转，当水与桶一起转动时，求水面的形状与桶一起转动时，求水面的形状解：解：如图在水下如图在水下h处取底面积为处取底面积为dS，长为，长为dr的液体元，的液体元，沿径向可得沿径向可得当当r=0时，时，z=0,可得可得 §2 2 液体的表面张力液体的表面张力（（surface tension) 一、液体的表面张力存在于液体表面，使液体表面具有存在于液体表面，使液体表面具有收缩趋势的力称液体的表面张力收缩趋势的力称液体的表面张力雨雨后后初初晴晴的的礼礼物物 1.液体表面张力的基本规律称表面张力系数( coefficient of surface tension) 2. 表面张力系数的物理性质力的属性力的属性能的属性能的属性作用在液体表面单位长度直线上的表面张力作用在液体表面单位长度直线上的表面张力增加单位液体表面积时所增加的表面能增加单位液体表面积时所增加的表面能 —些液体的表面些液体的表面张力系数力系数液体液体温度温度/℃/N•m-1水水酒精酒精苯苯汞汞醚甘油甘油肥皂液肥皂液181818182020207.3×10－－22.29×10－－22.9×10－－249.0×10－－21.65×10－－26.5×10－－22.5×10－－2 3. 影响表面张力系数的因素4. 表面张力的成因 5. 表面张力的测量液体种类液体种类温度温度表面活性物质表面活性物质 解：解：设小水滴的数目小水滴的数目为N，融合，融合过程中程中释放出的能量放出的能量为水滴表面水滴表面积减小减小时所减小的表面能。
由于融合前后水所减小的表面能由于融合前后水滴的滴的总体体积保持不保持不变，，则 释放出的能量等于水滴表面放出的能量等于水滴表面积的减小量与表面的减小量与表面张力力系数的乘系数的乘积，即，即 例题：例题： 当许多半径为当许多半径为r的小水滴融合成一个半径为的小水滴融合成一个半径为R的大的大水滴时释放出的能量假设水滴呈球状，水的表面张力水滴时释放出的能量假设水滴呈球状，水的表面张力系数在此过程中保持不变系数在此过程中保持不变 二、拉普拉斯公式二、拉普拉斯公式（（Laplace formula）） pinpoutR由于表面张力的存在由于表面张力的存在, ,弯曲弯曲液面内外的压强不等液面内外的压强不等, ,其压其压强差服从拉普拉斯公式强差服从拉普拉斯公式: : 拉普拉斯公式的推导:球冠球冠R 三、毛细现象1. 分类：润湿与不润湿现象润湿与不润湿现象 2. 毛细现象中液面的高度3. 应用:植物的水分运输植物的水分运输 §3 理想流体的流动 (Fluidity of ideal fluid) 一、基本概念1. 理想流体（ideal fluid） 2. 稳定流动（steady flow）不可压缩的没有黏滞性的流体称理想流体不可压缩的没有黏滞性的流体称理想流体3. 流线（stream line）在流速场中人为想象的一些曲线，这些曲线上在流速场中人为想象的一些曲线，这些曲线上每一点的切线方向均与该点速度方向一致。
每一点的切线方向均与该点速度方向一致理想化方法与理想模型理想化方法与理想模型 流线流线流管流管 4. 流管（flow tube）通过液体内部某一截面通过液体内部某一截面的流线所围成的细管的流线所围成的细管 用染色示踪剂显示的做定常流动的流体用染色示踪剂显示的做定常流动的流体经过几种不同形状障碍物时的流线分布经过几种不同形状障碍物时的流线分布 二、连续性原理（The principle of continuity）在任何流管中，流体的质量在任何流管中，流体的质量是守衡的，容易推出：是守衡的，容易推出：称为称为流量（流量（flow capacity））.此称连续性方程此称连续性方程连续性原理表明：连续性原理表明：单位时间内通单位时间内通过液体中任一横截面的流量相等过液体中任一横截面的流量相等 三、伯努利方程(Bernoulli equation) 给出了同一流线上各点的压强、高度和流速给出了同一流线上各点的压强、高度和流速三者之间的关系三者之间的关系 针对理想流体对于实际流体，只要其黏滞针对理想流体对于实际流体，只要其黏滞性很小，也可应用性很小，也可应用 1. 等高流线中流速与压强的关系流速较小的地方，压强必然流速较小的地方，压强必然较大。
水流抽气机、喷雾器、较大水流抽气机、喷雾器、内燃机中的汽化器等都是利内燃机中的汽化器等都是利用这个原理制成的用这个原理制成的接被抽容器接被抽容器 抽气机原理图抽气机原理图 2.流速的测定-皮托管（Pitot tube） 3.射流速率 例题例题: : 一个由旋转对称表面组成的水壶，其对称轴一个由旋转对称表面组成的水壶，其对称轴沿竖直方向，壶底开有一个半径为沿竖直方向，壶底开有一个半径为r的小孔为使液的小孔为使液体从底部小孔流出的过程中壶内液面下降的速率保体从底部小孔流出的过程中壶内液面下降的速率保持不变，壶应做成什么形状？持不变，壶应做成什么形状？解：解：建立如图坐标系建立如图坐标系r « xxzzO §4 黏滞流体的流动 一、牛顿黏滞定律（（Newton’s law of viscosity）1. 内摩擦力（Internal friction force）存在于液体内部的存在于液体内部的阻碍相互接触的两阻碍相互接触的两层液体发生相对运层液体发生相对运动的力称内摩擦力动的力称内摩擦力2. 黏滞性（Viscosity）液体流动时具有内摩擦力的现象称黏滞性液体流动时具有内摩擦力的现象称黏滞性 3. 牛顿黏滞定律称黏滞系数（称黏滞系数（coefficient of viscosity ），简称黏度．），简称黏度．黏度的单位是黏度的单位是Pa•s.yx 影响黏度的因素有种类和温度影响黏度的因素有种类和温度超流性超流性 卡皮查朗道关于液体黏滞性的重要发现是液氦的关于液体黏滞性的重要发现是液氦的超流性。
前苏联的卡皮查超流性前苏联的卡皮查在在19371937年发年发现氦的同位素在温度低至现氦的同位素在温度低至2.17K2.17K时，时，黏滞性完全消失（黏度为零），这种黏滞性完全消失（黏度为零），这种现象称超流性二十世纪现象称超流性二十世纪4040年代前苏年代前苏联物理学家朗道提出了一个量子液体联物理学家朗道提出了一个量子液体的模型，成功地解释了超流现象卡的模型，成功地解释了超流现象卡皮查、朗道二人分别于皮查、朗道二人分别于19781978年和年和19621962年获得诺贝尔物理学奖年获得诺贝尔物理学奖 二、泊肃叶方程（Poiseulle formula）1.泊肃叶速度方程Rrlv 2.泊肃叶流量方程Rrd rdS 毛细管法毛细管法的测量流阻（flow resistance）平均流速（Mean flow speed） 水在几种植物组织中的流动参数水在几种植物组织中的流动参数植物组织平均流速/m·s-1管半径/µm压力梯度/Pa·m-1木质部导管纤丝间隙草本植物（小麦）环孔材（橡树）藤本植物松柏类树木0.0010.0019.7×10－38.3×10－34.17×10－34.16×10－3205×10－315010040252×1043.2×10113.4×1036.6×1032.1×1055.3×103 §5 5 物体在粘滞流体中的运动物体在粘滞流体中的运动 一、斯托克斯公式（ Stokes formula） 的测量 r 的测量离心分离技术(G. Stokes) 二、雷诺数与流体相似率1. 层流（Laminar flow）2. 湍流（Turbulent flow）各液层只作相对滑动而彼此不相各液层只作相对滑动而彼此不相互掺合的流动称层流。
互掺合的流动称层流 液体紊乱的无规则运动称湍流液体紊乱的无规则运动称湍流 洗衣机中的湍流洗衣机中的湍流云层中的湍流云层中的湍流 3. 雷诺数（Reynold number）液体的流动状态可以通过雷液体的流动状态可以通过雷诺数来表征诺数来表征临界雷诺数并不是一个具体的临界雷诺数并不是一个具体的数字，而是一个数值范围数字，而是一个数值范围卡尔曼涡街卡尔曼涡街(Karman vortex street) 如果两种流动的边界状况或边界条件相似且具有如果两种流动的边界状况或边界条件相似且具有相同的雷诺数，则流体具有相同的动力学特征相同的雷诺数，则流体具有相同的动力学特征 生物体系中液体流动的雷诺数生物体系中液体流动的雷诺数植物组织植物组织Re动物组织动物组织Re植物导管植物导管松柏类树木松柏类树木散孔材阔叶树草散孔材阔叶树草本植物（小麦）本植物（小麦）藤本植物藤本植物0.040.020.082.913.33主动脉主动脉大动脉大动脉毛细血管毛细血管大静脉大静脉腔静脉腔静脉1200～～5800110～～8500.0007～～0.003210～～570630～～900流体相似率流体相似率 。