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1、1 1、五种标准类型的一阶微分方程的解法、五种标准类型的一阶微分方程的解法(1) 可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程解法解法分离变量法分离变量法(2) 齐次方程齐次方程解法解法作变量代换作变量代换一、一阶微分方程一、一阶微分方程 主要内容主要内容(3) 一阶线性微分方程一阶线性微分方程齐次齐次非齐次非齐次.解法解法齐次方程的通解为齐次方程的通解为（使用分离变量法）（使用分离变量法）非齐次微分方程的通解为非齐次微分方程的通解为（常数变易法）（常数变易法）(4) 伯努利伯努利(Bernoulli)方程方程方程为线性微分方程方程为线性微分方程. 方程为非线性微分方程方程为非线性微分方程.解法解
2、法 需经过变量代换化为线性微分方程需经过变量代换化为线性微分方程(5) 全微分方程全微分方程形如形如其中其中注意：注意：解法解法应用曲线积分与路径无关应用曲线积分与路径无关.通解为通解为 用直接凑全微分的方法用直接凑全微分的方法. 可化为全微分方程可化为全微分方程形如形如观察法观察法: :熟记常见函数的全微分表达式，通过观察直接找出熟记常见函数的全微分表达式，通过观察直接找出积分因子积分因子三种三种基本类型基本类型变量可分离变量可分离一阶线性一阶线性全微分方程全微分方程其余类型的方程可借助于变量代换或积分因子化其余类型的方程可借助于变量代换或积分因子化成基本类型成基本类型三种基本类型代表三种三
3、种基本类型代表三种典型解法典型解法分离变量法分离变量法常数变易法常数变易法全微分法全微分法变量代换变量代换是解微分方程的重要思想和重要方法是解微分方程的重要思想和重要方法1 1、可降阶的高阶微分方程的解法、可降阶的高阶微分方程的解法 型型解法解法接连积分接连积分n次，得通解次，得通解 型型特点特点解法解法代入原方程代入原方程, 得得二、二、高阶微分方程高阶微分方程 型型特点特点解法解法代入原方程代入原方程, 得得2 2、线性微分方程解的结构、线性微分方程解的结构（1 1）二阶齐次方程解的结构）二阶齐次方程解的结构: :（2 2）二阶非齐次线性方程的解的结构）二阶非齐次线性方程的解的结构: :非
4、齐方程的任两解之差是相应齐方程的解非齐方程的任两解之差是相应齐方程的解非齐通解非齐通解 = 齐通解齐通解 + 非齐特解非齐特解3 3、二阶常系数齐次线性方程解法、二阶常系数齐次线性方程解法n阶常系数线性微分方程阶常系数线性微分方程二阶常系数齐次线性方程二阶常系数齐次线性方程二阶常系数非齐次线性方程二阶常系数非齐次线性方程解法解法由常系数齐次线性方程的特征方程的根确由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为定其通解的方法称为特征方程法特征方程法.特征方程为特征方程为推广：推广： 阶常系数齐次线性方程解法阶常系数齐次线性方程解法特征方程为特征方程为特征方程的根特征方程的根通解中的对应项
5、通解中的对应项4 4、二阶常系数非齐次线性微分方程解法、二阶常系数非齐次线性微分方程解法二阶常系数非齐次线性方程二阶常系数非齐次线性方程解法解法待定系数法待定系数法.二、典型例题二、典型例题例例1 求一微分方程使其通解为求一微分方程使其通解为解解 由由求导得求导得再求导再求导再求导再求导例例2 2解解原方程可化为原方程可化为代入原方程得代入原方程得分离变量分离变量齐次方程齐次方程两边积分两边积分所求通解为所求通解为例例3 3解解原式可化为原式可化为伯努利方程伯努利方程原式变为原式变为一阶线性非齐方程一阶线性非齐方程对应齐方通解为对应齐方通解为利用常数变易法利用常数变易法代入非齐方程得代入非齐方
6、程得原方程的通解为原方程的通解为例例4 4解解方程为全微分方程方程为全微分方程.全微分方程全微分方程利用分项组合法求解利用分项组合法求解:原方程重新组合为原方程重新组合为故方程的通解为故方程的通解为(2) 利用曲线积分求解利用曲线积分求解:故方程的通解为故方程的通解为例例5 5解解非全微分方程非全微分方程.利用积分因子法利用积分因子法:原方程重新组合为原方程重新组合为积分因子法积分因子法故方程的通解为故方程的通解为例例6 解方程解方程分析分析 本题看起来简单本题看起来简单 但具体求解时发现但具体求解时发现不是变量可分离不是变量可分离也不是齐次型也不是齐次型不是一阶线性不是一阶线性也不是全微分方
7、程也不是全微分方程怎么办？怎么办？必须对方程进行必须对方程进行变形变形解一解一 分项组合分项组合通解为通解为解二解二 变量代换变量代换令令一阶非齐次线一阶非齐次线性微分方程性微分方程相应齐方程相应齐方程令令例例7 设曲线积分设曲线积分在右半平面内与路径无关在右半平面内与路径无关其中其中 f (x) 可可导导且且f(1)=1 求求f (x) 解解 由曲线积分与路径无关的条件知由曲线积分与路径无关的条件知即即一阶线性微分方程一阶线性微分方程代入代入f(1)=1 得得故故例例8 解方程解方程 并求此曲线并求此曲线 y = y (x) 和直线和直线 x = 0 ,x = 1 y=0所围部分绕所围部分绕
8、 x 轴旋转一周所成旋转体轴旋转一周所成旋转体的体积的体积解解特解为特解为例例9 9解解代入方程，得代入方程，得故方程的通解为故方程的通解为例例10 设二阶非齐次线性方程的三个特解为设二阶非齐次线性方程的三个特解为求其通解求其通解解解 由解的结构知非齐方程的任二解之差是由解的结构知非齐方程的任二解之差是相应齐方程的解相应齐方程的解故故是齐方程的两个解是齐方程的两个解齐通解齐通解且线性无关且线性无关非齐通解非齐通解例例1111解解特征方程特征方程特征根特征根对应的齐次方程的通解为对应的齐次方程的通解为设原方程的特解为设原方程的特解为原方程的一个特解为原方程的一个特解为故原方程的通解为故原方程的通
9、解为由由解得解得所以原方程满足初始条件的特解为所以原方程满足初始条件的特解为例例12 设设 f (x) 具有连续的二阶导数试确定具有连续的二阶导数试确定f (x) 使曲线积分使曲线积分与路径无关与路径无关解解 由曲线积分与路径无关的条件得由曲线积分与路径无关的条件得即即这是一个二阶常系数非齐次线性微分方程这是一个二阶常系数非齐次线性微分方程齐通解齐通解例例1313解解特征方程特征方程特征根特征根对应的齐方的通解为对应的齐方的通解为设原方程的特解为设原方程的特解为由由解得解得由由即即故原方程的通解为故原方程的通解为例例1414解解（）由题设可得：（）由题设可得：解此方程组，得解此方程组，得（）原
10、方程为（）原方程为由解的结构定理得方程的通解为由解的结构定理得方程的通解为1. 已知函数已知函数 y(x) 满足方程满足方程 且当且当 x=1时，时， y = e2, 则当则当 x = -1时，时，y =( ) (a) 0 ( b) 1 (c) -1(d) e-12. 已知方程已知方程 xy +y =4x 的一个特解为的一个特解为 x2,对应的对应的齐次方程有一个特解为齐次方程有一个特解为lnx, 则原方程的通解为则原方程的通解为( ). (a) C1lnx+C2+ x2 ( b) C1lnx+C2x+ x2 (c) C1lnx+C2 ex+ x2 (d) C1lnx+C2 e-x + x2C
11、 CA A补充练习补充练习3. 设线性无关的函数设线性无关的函数 y1 ,y2, y3都是方程都是方程 y +p(x)y +q(x)y=f(x) 的的 解解, C1,C2是任意常数是任意常数, 则方程的通解为则方程的通解为( ). (a) C1y1+C2y2+ y3; (b) C1y1+C2y2 (1 C1 C2 ) y3 (c) C1y1+C2y2 (C1 + C2 ) y3 (d) C1y1+C2y2+(1 C1 C2 ) y3 D D4. 若连续函数若连续函数f(x)满足关系式满足关系式 则则f(x)等于等于( ). (a) (b) (c) (d)B5. 设设 f(x)具有二阶连续偏导具
12、有二阶连续偏导,且且 f(0)=0, f (0)=1 为全微分方程为全微分方程.求求f(x)及全微分方程的通解及全微分方程的通解.6. 函数函数 f(t)在在0,+ )上连续上连续,满足方程满足方程 求求 f(t).提示提示提示提示: :求微分方程求微分方程 的通解的通解.例例7解解即即解方程解方程例例8 解解令令若若例例9 解方程解方程积分得积分得即即或或即即例例10 解方程解方程 解解 令令 练习：练习：11 . 求连续函数使适合关系式12.求微分方程积分曲线与直线y=x相切于原点O(0,0)13.的特解形式14 .（1997数学1）在某地人群中推广新技术是通过其中已掌握新技术的人进行的，设该人群的总数为N，在t=0时刻已掌握新技术的人数为在任意时刻t已掌握新技术的人数为x(t),其变化率与已知新技术人数和未掌握新技术的人数之积成正比，比例常数k0,求x(t)
