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1、曲边梯形面积与定积分曲边梯形面积与定积分数学组数学组2021/3/101曲曲边边梯梯形形：在在直直角角坐坐标标系系中中，由由连连续续曲曲线线y=f(x)，直直线线x=a、x=b及及x轴轴所所围围成成的的图图形形叫做曲边梯形。叫做曲边梯形。Ox y a b y=f (x)一一. . 求曲边梯形的面积x=ax=b2021/3/102用一个矩形的面积用一个矩形的面积A1近似代替曲边梯形的面积近似代替曲边梯形的面积A，得得 y = f(x)bax yO A1A A1.2021/3/103A A1+ A2用两个矩形的面积用两个矩形的面积 近似代替曲边梯形的面积近似代替曲边梯形的面积A， 得得 y = f
2、(x)bax yOA1A22021/3/104A A1+ A2+ A3+ A4用四个矩形的面积用四个矩形的面积 近似代替曲边梯形的面积近似代替曲边梯形的面积A， 得得 y = f(x)bax yOA1A2A3A42021/3/105 将曲边梯形分成将曲边梯形分成 n n个小曲边梯形，并用小矩形的面个小曲边梯形，并用小矩形的面积代替小曲边梯形的面积，积代替小曲边梯形的面积， 于是曲边梯形的面积于是曲边梯形的面积A近似近似为为 y = f(x)bax yOA A1+ A2 + + AnA1AiAn构造思想：以直代曲构造思想：以直代曲, ,无限逼近无限逼近 2021/3/106例例1.求抛物线求抛物
3、线y=x2、直线、直线x=1和和x轴所围成的曲边梯形轴所围成的曲边梯形的面积。的面积。 解解: :把底边把底边0,10,1分成分成n n等份等份, ,然后在每个分点作底边的垂线然后在每个分点作底边的垂线, , 这样曲边三角形被分成这样曲边三角形被分成n n个窄条个窄条, , 用矩形来近似代替用矩形来近似代替, ,然后把然后把这些小矩形的面积加起来这些小矩形的面积加起来, , 得到一个近似值得到一个近似值: : 因此因此, , 我们有理由相信我们有理由相信, , 这个曲边三角形的面积为这个曲边三角形的面积为: :2021/3/107小结小结: :求由连续曲线求由连续曲线y= =f(x)对应的对应
4、的曲边梯形曲边梯形面积的方法面积的方法 有有理理由由相相信信，分分点点越越来来越越密密时时，即即分分割割越越来来越越细细时时，矩矩形形面面积积和和的的极极限限即即为为曲曲边形的面积。边形的面积。（1 1）分割分割 （2 2）近似代替近似代替 把这些矩形面积相加把这些矩形面积相加 作为整个曲边形面积作为整个曲边形面积S S的近似值。的近似值。 （4 4）取极限取极限 (3)(3)求和求和2021/3/1083.求由连续曲线求由连续曲线y= =f(x)对应的对应的曲边梯形曲边梯形面积的方法面积的方法 (2)以以直直代代曲曲:任任取取x xi xi- -1, xi，第第i个个小小曲曲边边梯梯形形的的
5、面面积积用用高高为为f(x xi), 宽为宽为D Dx的小矩形面积的小矩形面积f(x xi)D Dx近似地去代替近似地去代替. (4)逼近逼近:所求曲边所求曲边梯形的面梯形的面积积S为为 (3) 作和作和:取取n个小矩形面积的和个小矩形面积的和作为曲边梯形面积作为曲边梯形面积S的近似值：的近似值：xi-1y=f(x)x yObaxixi (1)分割分割:在区间在区间a,b上等间隔地插入上等间隔地插入n-1个点个点,将它等分成将它等分成n个小区间个小区间: 每个小区间宽度每个小区间宽度x2021/3/109如果当如果当n+时，时，Sn 就无限接近于某个常数，就无限接近于某个常数，这个常数为函数这
6、个常数为函数f(x)在区间在区间a, b上的定积分，上的定积分，记作记作从求曲边梯形面积从求曲边梯形面积S的过程中可以看出的过程中可以看出,通过通过“四个步骤四个步骤”:分割分割-以直代曲以直代曲-求和求和-逼近逼近.2021/3/1010 定定义义：设设函函数数 y=f(x) 定定义义在在区区间间a,b上上,将将区区间间a,b分分成成n个个小小区区间间,每每个个小小区区间间的的长长度度为为xi,记记为为这这些些小小区区间间长长度度的的最最大大者者，当当趋趋近近于于0时时，所所有有的的小小区区间间长长度度 都都 趋趋 近近 于于 0.在在 每每 个个 区区 间间 上上 任任 取取 一一 点点
7、,依依 次次 为为1,2,i,n.作和作和In=f(1) x1+f(2) x2+f(i) xi+f(n) xn,如如果果无无限限趋趋近近于于0(亦亦即即n趋趋向向于于+)时时,In无无限限趋趋近近于于常常数数S,那么称该常数为函数那么称该常数为函数f(x)在区间在区间a, b上的定积分，上的定积分，记作记作二、定积分的定义二、定积分的定义 2021/3/1011被被积积函函数数被被积积表表达达式式积积分分变变量量积分下限积分下限积分上限积分上限2021/3/1012定积分的相关名称：定积分的相关名称： 叫做积分号，叫做积分号，f(x)dx 叫做被积表达式，叫做被积表达式， f(x) 叫做被积函
8、数叫做被积函数, x 叫做积分变量，叫做积分变量， a 叫做积分下限，叫做积分下限， b 叫做积分上限，叫做积分上限， a, b 叫做积分区间。叫做积分区间。被被积积函函数数被被积积表表达达式式积积分分变变量量积分下限积分下限积分上限积分上限2021/3/1013 按定积分的定义，有按定积分的定义，有 由连续曲线由连续曲线y= =f(x) (f(x) 0) ，直线，直线x= =a、x= =b及及x轴轴所围成的曲边梯形的面积为所围成的曲边梯形的面积为 2021/3/10141x yOf(x)=x22021/3/1015 说明：说明： (1) 定积分是一个数值定积分是一个数值, 它只与被积函数及积
9、分区间有关，它只与被积函数及积分区间有关， 而与积分变量的记法无关，即而与积分变量的记法无关，即2021/3/1016三三.定积分的几何意义：定积分的几何意义：Ox yab yf (x) xa、xb与 x轴所围成的曲边梯形的面积。2021/3/1017 当f(x)0时，由yf (x)、xa、xb 与 x 轴所围成的曲边梯形位于 x 轴的下方，x yO-ab yf (x) y-f (x)-S上述曲边梯形面积的相反数。 定积分的几何意义：定积分的几何意义：-S2021/3/1018定积分的几何意义：定积分的几何意义： 在区间a,b上曲线与x轴所围成图形面积的代数和(x轴上方的面积为正，x轴下方的面
10、积为负).-465OxyAB2021/3/1019 例：计算下列定积分例：计算下列定积分. 第（第（1）-（5）小题可用定积分的几何意义求解。第）小题可用定积分的几何意义求解。第（6）小题现在只能用定积分的定义求，很繁，等下节学）小题现在只能用定积分的定义求，很繁，等下节学了牛顿了牛顿-莱布尼兹公式再做。莱布尼兹公式再做。2021/3/1020课堂练习课堂练习课本课本P39练习练习A.1，3，42021/3/1021四四. 定积分的基本性质定积分的基本性质 性质性质1. 1. 性质性质2. 2. 2021/3/1022四四. 定积分的基本性质定积分的基本性质 定积分关于积分区间具有定积分关于积分区间具有可加性可加性性质性质3. 3. Ox yab yf (x)2021/3/1023ab yf (x)Ox y探究探究:根据定积分的几何意义根据定积分的几何意义,如何用定积分表示图中阴影部分如何用定积分表示图中阴影部分的面积的面积?ab yf (x)Ox y2021/3/1024
