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1、第五节不定不定积分分换元元积分法分法分部分部积分法分法定定积分分换元元积分法分法分部分部积分法分法定积分的换元法 第六章 定理定理6.5 设函数函数f(x)在区在区间a,b上延上延续，作代，作代换 满足以下条件：足以下条件：上述公式称上述公式称为定定积分的分的换元元积分公式，分公式，简称称换元公式元公式.(2)当当t在在与与之之间变化化时， 单调变化，且化，且那么：那么： 定积分的换元法定积分的换元法证明证明阐明：阐明：(1)定定积分的分的换元法在元法在换元后，元后，积分上，下限也要作相分上，下限也要作相应的的变换，即，即“换元必元必换限限.(2)在在换元之后，按新的元之后，按新的积分分变量量
2、进展定展定积分运算，不分运算，不用再复原用再复原为原原变量量.(3)新变元的积分限能够，也能够，但一定要求满足(4) 换元公式也可反元公式也可反过来运用来运用 , 即即或凑微分或凑微分凑微分凑微分时不不换限！限！例例1 定积分的换元法定积分的换元法换元必需元必需换限限 解解解解 令令令令 原式原式原式原式 换换元元元元 换换限限限限 例例2 定积分的换元法定积分的换元法换元必需换限换元必需换限 解解解解 原式原式原式原式 例例3 3 求求 解解 定积分的换元法定积分的换元法换元必需换限换元必需换限 例例4 定积分的换元法定积分的换元法换元必需换限换元必需换限 解解解解 原式原式原式原式 换元必
3、需换限换元必需换限 另解另解另解另解 原式原式原式原式 不不不不换换元那么不元那么不元那么不元那么不变变限限限限 例例5 5 求求解 定积分的换元法定积分的换元法换元必需换限换元必需换限 方法二 定积分的换元法定积分的换元法不换元不换限不换元不换限 例例6 6解解:(1)例例6 6解解:(2)例例7 7 设解解 设例例例例7 7 证证明明明明 分析：分析：分析：分析： 1 1积积分区分区分区分区间间一一一一样样；2 2被被被被积积函数不同。函数不同。函数不同。函数不同。处处理：采用适当的理：采用适当的理：采用适当的理：采用适当的换换元，使元，使元，使元，使 a+b-x a+b-x 化化化化为为
4、 x . x .证证明明明明 令令令令 那么那么那么那么 所以所以所以所以 所以，原命所以，原命所以，原命所以，原命题题成立。成立。成立。成立。 换换元元元元 换换限限限限 证 例8阐明了延续的奇、偶函数在对称区间a,a上的积分性质，即偶函数在a,a上的积分等于区间0,a上积分的两倍；奇函数在对称区间上的积分等于零，可以利用这一性质，简化延续的奇、偶函数在对称区间上的定积分的计算.奇函数奇函数例例9 9 计算算解解例例10 10 计算算解解偶函数偶函数奇函数奇函数例例11 11 计算计算解解原式原式偶函数偶函数单位位圆的面的面积证1设2设故故例例1313解解:例例1414解解:定积分的换元积分
5、法小结定积分的换元积分法小结 1 1、根本换元规律，与不定积分一样；、根本换元规律，与不定积分一样；2 2、定积分的换元法，得到新元的原函数后，无须回代，、定积分的换元法，得到新元的原函数后，无须回代， 但必需做到换元同时换限。但必需做到换元同时换限。作业作业P241. (1)(3)(5) 2.(5)(6)3.4. 8.10.练习1 求解2. 计算计算解解: 令令那么 原式 =且3. 计算计算解解: 令令那么 原式 =且 定积分的换元法定积分的换元法4换元必需换限换元必需换限 对对称区称区称区称区间间上上上上偶函数的偶函数的偶函数的偶函数的积积分性分性分性分性质质解解解解 原式原式原式原式 偶次方化倍角偶次方化倍角偶次方化倍角偶次方化倍角
