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1、习题课习题课习题课例题习题课例题1例例1：如图所示，矩形截面简支梁（如图所示，矩形截面简支梁（l h ），），宽度为宽度为1，体力不计。试用如下应力函数求应力分量：体力不计。试用如下应力函数求应力分量：习题课例题习题课例题1解：已知应力函数，考虑用逆解求解此问题。解：已知应力函数，考虑用逆解求解此问题。（1）考察所假设的应力函数是否满足相容方程）考察所假设的应力函数是否满足相容方程代入应力函数，得代入应力函数，得由此得由此得于是应力函数可改写为于是应力函数可改写为习题课例题习题课例题1（2）由应力函数求应力分量由应力函数求应力分量（3）考察边界条件，并求待定系数）考察边界条件，并求待定系数在主
2、要边界在主要边界 y=h/2 上，应精确满足式（上，应精确满足式（2 21515）：）：习题课例题习题课例题1上式要恒成立，则必须满足：上式要恒成立，则必须满足：代入代入应力式，有应力式，有(1)(2)(3)(4)习题课例题习题课例题1在在次要边界次要边界x=0=0上上，只给出了面力的主失量和主矩，只给出了面力的主失量和主矩，应用圣维南原理，用三个积分边界条件代替：应用圣维南原理，用三个积分边界条件代替：结合方程结合方程(4)：由此得由此得：(5)解得解得：将所求参数代将所求参数代入应力表达式入应力表达式即可。即可。习题课例题习题课例题1例例2：如图所示，矩形截面长柱体如图所示，矩形截面长柱体
3、（长度（长度 h 远大于深度远大于深度 2b），），宽度为宽度为1，远小于深度和长度，在顶部受集中力远小于深度和长度，在顶部受集中力F和力矩和力矩 M=Fb/2 作用，体力不计。试用作用，体力不计。试用如下应力函数：如下应力函数：求解：求解：（1）分析该问题能简化成什）分析该问题能简化成什么平面问题？么平面问题？（2）求应力分量；）求应力分量；（3）设）设A点无位移且过它的垂直线段点无位移且过它的垂直线段转角为转角为0，试求位移分量；，试求位移分量；习题课例题习题课例题2解：解：1、由题意知该弹性体为等厚度板，所受外力平面于板面、由题意知该弹性体为等厚度板，所受外力平面于板面长度，沿板厚方向均
4、匀分布，板面上无外力作用，因此该长度，沿板厚方向均匀分布，板面上无外力作用，因此该问题能简化为平面应力问题。问题能简化为平面应力问题。2、求应力分量、求应力分量已知了应力函数，考虑用逆解求解此平面应力问题。已知了应力函数，考虑用逆解求解此平面应力问题。（1）考察所假设的应力函数是否满足相容方程）考察所假设的应力函数是否满足相容方程经验证，它是满足相容方程的。经验证，它是满足相容方程的。习题课例题习题课例题2（2）由应力函数求应力分量由应力函数求应力分量（3）考察边界条件，并求选定系数）考察边界条件，并求选定系数在主要边界在主要边界 x=b 上，应精确满足式（上，应精确满足式（2 21515）：
5、）：自然满足。自然满足。习题课例题习题课例题2在在次要边界次要边界y=0=0上上，只给出了面力的主失量和主矩，只给出了面力的主失量和主矩，应用圣维南原理，用三个积分边界条件代替：应用圣维南原理，用三个积分边界条件代替：由此得由此得：代入得代入得：习题课例题习题课例题23、求位移分量、求位移分量（1）该问题为平面应力问题，首先将所求应力分量）该问题为平面应力问题，首先将所求应力分量代入平面应力问题的物理方程代入平面应力问题的物理方程(2-12)习题课例题习题课例题2（2 2）由应变求位移，代入几何方程）由应变求位移，代入几何方程(2-8)(2-8)：前两式分别积分，可得前两式分别积分，可得代入几
6、何方程第三式，并整理可得代入几何方程第三式，并整理可得习题课例题习题课例题2等式左右两边分别为等式左右两边分别为 y 和和 x 的函数，要想对于所有的的函数，要想对于所有的 y 和和 x 均成立，只可能两边都等于同一常数均成立，只可能两边都等于同一常数w w：分别积分，可得分别积分，可得习题课例题习题课例题2代入位移分量公式，并整理可得代入位移分量公式，并整理可得其中表示刚体位移量的常数其中表示刚体位移量的常数u0 ，u u0和和 w w ，须由约束位，须由约束位移条件确定。移条件确定。习题课例题习题课例题2由已知有由已知有A点不移动，且过该点的垂直线段不转动。有点不移动，且过该点的垂直线段不
7、转动。有如下约束位移条件：如下约束位移条件：将位移分量代入，可求出三个待定常数将位移分量代入，可求出三个待定常数习题课例题习题课例题3例例3 3：习题：习题3 35 5解：按半逆解法的步骤进行求解。解：按半逆解法的步骤进行求解。(1)(1)假定应力分量的函数形式；假定应力分量的函数形式；假设假设或假设或假设习题课例题习题课例题3(2)(2)由应力推出应力函数的一般形式由应力推出应力函数的一般形式对对 y 积分可得积分可得其中有二个关于其中有二个关于 x 的待定函数。的待定函数。将应力分量代入应力公式将应力分量代入应力公式(2-24)(2-24)，有，有习题课例题习题课例题3(3)(3)由相容方
8、程求应力函数；由相容方程求应力函数；上述一次方程对所有上述一次方程对所有 y 均应满足，故其系数和自由项均应满足，故其系数和自由项均必须为均必须为0 0 将上步所得将上步所得应力函数的一般形式应力函数的一般形式代入相容方程，整理代入相容方程，整理后有后有习题课例题习题课例题3由上述二个方程可求得二个待定函数的一般形式：由上述二个方程可求得二个待定函数的一般形式：根据第一节内容，应力函数中的一次式不影响应力分布，根据第一节内容，应力函数中的一次式不影响应力分布，故应力函数式中与应力分布无关的一次式可忽略，有故应力函数式中与应力分布无关的一次式可忽略，有习题课例题习题课例题3(4)(4)由应力函数
9、求应力分量由应力函数求应力分量其中的其中的5 5个待定常数由边界条件来确定。个待定常数由边界条件来确定。将应力函数将应力函数 f f 代入应力公式代入应力公式(2-24)(2-24)，fx=0，fy= =r rg，可可得应力分量：得应力分量：习题课例题习题课例题3(5)(5)考察边界条件，利用边界条件确定待定系数考察边界条件，利用边界条件确定待定系数将应力分量在相应边界处的值代入上述条件，有将应力分量在相应边界处的值代入上述条件，有首先考察左右两边的主要边界条件：首先考察左右两边的主要边界条件：(1)(2)习题课例题习题课例题3其次考察次要边界其次考察次要边界y=0=0的边界条件的边界条件(3
10、)(4)(5)由于此边界上均没有任何面力，这就要求当由于此边界上均没有任何面力，这就要求当 y=0 时，时，对于任何对于任何 x 值，均有值，均有 s sy = 0 , t txy = 0 。由。由应力公式应力公式知，这是不知，这是不可能的，除非式中的可能的，除非式中的 A=B=C=E=F=0 。为此，应用圣维南原为此，应用圣维南原理，只能要求此部分边界上合成的主矢量和主矩为理，只能要求此部分边界上合成的主矢量和主矩为0。对于。对于上边界，有上边界，有:习题课例题习题课例题3将将(1)(5)联立求解，得：联立求解，得：综上所述，将各待定常数代入，可得应力分量的最终解综上所述，将各待定常数代入，
11、可得应力分量的最终解答为：答为：习题课例题习题课例题4例例4（习题（习题3-11）：挡水墙密度为挡水墙密度为r r1 ，厚度为厚度为 b，水密度为水密度为r r2 ，如，如3-113-11图所示，试求应力分量。图所示，试求应力分量。习题课例题习题课例题4解：按半逆解法的步骤进行求解。解：按半逆解法的步骤进行求解。(1)(1)假定应力分量的函数形式；假定应力分量的函数形式；由应力边界条件，可假设在区内由应力边界条件，可假设在区内s sy沿沿x方向是一次式方向是一次式变化，变化，即即习题课例题习题课例题4(2)(2)由应力推出应力函数的一般形式由应力推出应力函数的一般形式对对 x 积分可得积分可得
12、其中有三个关于其中有三个关于 y 的待定函数。的待定函数。将应力分量代入方程将应力分量代入方程(2-24)(2-24)，有，有习题课例题习题课例题4(3)(3)由相容方程求应力函数；由相容方程求应力函数；上述二次方程对所有上述二次方程对所有 x 均应满足，故其系数和自由项均应满足，故其系数和自由项均必须为均必须为0 0 将上步所得将上步所得应力函数的一般形式应力函数的一般形式代入相容方程，整理代入相容方程，整理后有后有习题课例题习题课例题4由上述三个方程可求得三个待定函数的一般形式：由上述三个方程可求得三个待定函数的一般形式：根据第一节内容，应力函数中的一次式不影响应力分布，根据第一节内容，应
13、力函数中的一次式不影响应力分布，故上述各式中与应力分布无关的一次式均已忽略。故上述各式中与应力分布无关的一次式均已忽略。习题课例题习题课例题4(4)(4)由应力函数求应力分量由应力函数求应力分量其中的其中的9 9个待定常数由边界条件来确定。个待定常数由边界条件来确定。将应力函数将应力函数 f f 代入应力公式代入应力公式(2-24)(2-24)，fx=r r1 1g，fy=0=0，可可得应力分量：得应力分量：习题课例题习题课例题4(5)(5)考察边界条件，利用边界条件确定待定系数考察边界条件，利用边界条件确定待定系数首先考察左右两边的主要边界条件：首先考察左右两边的主要边界条件： 其次考察次要
14、边界其次考察次要边界x=0=0的边界条件的边界条件应用圣维南原理，此部分边界上合成的主矢量和主矩为应用圣维南原理，此部分边界上合成的主矢量和主矩为0，有，有:习题课例题习题课例题4将应力分量代入所有应力边界条件，联立求解，得：将应力分量代入所有应力边界条件，联立求解，得：综上所述，将各待定常数代入，可得应力分量的最终解综上所述，将各待定常数代入，可得应力分量的最终解答。答。课后作业课后作业作业作业3 3：如图所示，矩形截面柱体承受偏如图所示，矩形截面柱体承受偏心载荷心载荷F作用，不计柱体自身重量，试作用，不计柱体自身重量，试解答如下几个问题：解答如下几个问题：（1 1）判断此问题属于哪一类平面问题，）判断此问题属于哪一类平面问题，并说明理由；并说明理由；（2 2）假设应力分量）假设应力分量 s sx= 0，求该问题的，求该问题的应力分量和应变分量；应力分量和应变分量；（3 3）假设）假设O点不移动，且该点截面内的点不移动，且该点截面内的垂直和水平微分线段不能转动，求其位垂直和水平微分线段不能转动，求其位移分量。移分量。
