常系数常系数 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第七节第七节齐次线性微分方程齐次线性微分方程 基本思路基本思路: 求解常系数线性齐次微分方程求解常系数线性齐次微分方程 求特征方程求特征方程(代数方程代数方程)之根之根转化转化 第七章第七章 二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程:和它的导数只差常数因子和它的导数只差常数因子,代入代入①①得得称称②②为微分方程为微分方程①①的的特征方程特征方程,1. 当当时时, ②②有两个相异实根有两个相异实根方程有两个线性无关的特解方程有两个线性无关的特解:因此方程的通解为因此方程的通解为( r 为待定常数为待定常数 ),①①所以令所以令①①的解为的解为 ②②则微分则微分其根称为其根称为特征根特征根.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 2. 当当时时, 特征方程有两个相等实根特征方程有两个相等实根则微分方程有一个特解则微分方程有一个特解设另一特解设另一特解( u (x) 待定待定)代入方程得代入方程得:是特征方程的重根是特征方程的重根取取 u = x , 则得则得因此原方程的通解为因此原方程的通解为机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 3. 当当时时, 特征方程有一对共轭复根特征方程有一对共轭复根这时原方程有两个复数解这时原方程有两个复数解: 利用解的叠加原理利用解的叠加原理 , 得原方程的线性无关特解得原方程的线性无关特解:因此原方程的通解为因此原方程的通解为机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 小结小结:特征方程特征方程:实根实根 特特 征征 根根通通 解解以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程 .机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 若特征方程含若特征方程含 k 重复根重复根若特征方程含若特征方程含 k 重实根重实根 r , 则其通解中必含对应项则其通解中必含对应项则其通解中必含则其通解中必含对应项对应项特征方程特征方程: 推广推广:机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例1.的通解的通解.解解: 特征方程特征方程特征根特征根:因此原方程的通解为因此原方程的通解为例例2. 求解初值问题求解初值问题解解: 特征方程特征方程有重根有重根因此原方程的通解为因此原方程的通解为利用初始条件得利用初始条件得于是所求初值问题的解为于是所求初值问题的解为机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例3.解解: 由第六节例由第六节例1 (P323) 知知, 位移满足位移满足质量为质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上,在无外力作用下做自由运动在无外力作用下做自由运动,初始初始求物体的运动规律求物体的运动规律 立坐标系如图立坐标系如图, 设设 t = 0 时物体的位置为时物体的位置为取其平衡位置为原点建取其平衡位置为原点建 因此定解问题为因此定解问题为自由振动方程自由振动方程 , 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 方程方程:特征方程特征方程:特征根特征根:利用初始条件得利用初始条件得:故所求特解故所求特解:方程通解方程通解:1) 无阻尼自由振动情况无阻尼自由振动情况 ( n = 0 )机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 解的特征解的特征:简谐振动简谐振动 A: 振幅振幅, : 初相初相,周期周期: 固有频率固有频率 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 (仅由系由系统特性确定特性确定) ) 方程方程:特征方程特征方程:特征根特征根:小阻尼小阻尼: n < k这时需分如下三种情况进行讨论这时需分如下三种情况进行讨论:2) 有阻尼自由振动情况有阻尼自由振动情况 大阻尼大阻尼: n > k临界阻尼临界阻尼: n = k 解的特征解的特征解的特征解的特征解的特征解的特征机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例4.的通解的通解. 解解: 特征方程特征方程特征根特征根:因此原方程通解为因此原方程通解为例例5.解解: 特征方程特征方程:特征根特征根 :原方程通解原方程通解:(不难看出不难看出, 原方程有特解原方程有特解推广推广 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例6. 解解: 特征方程特征方程:即即其根为其根为方程通解方程通解 :机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例7.解解: 特征方程特征方程:特征根为特征根为则方程通解则方程通解 :机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 内容小结内容小结特征根特征根:(1) 当当时时, 通解为通解为(2) 当当时时, 通解为通解为(3) 当当时时, 通解为通解为可推广到高阶常系数线性齐次方程求通解可推广到高阶常系数线性齐次方程求通解 .机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 思考与练习思考与练习 求方程求方程的通解的通解 .答案答案:通解为通解为通解为通解为通解为通解为第九节第九节 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 。