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1、1第一章第一章 矢量分析矢量分析1.1标量场和矢量场标量场和矢量场1.2三种常用的正交坐标系三种常用的正交坐标系1.3标量场的梯度标量场的梯度1.4矢量场的通量与散度矢量场的通量与散度1.5矢量场的环流与旋度矢量场的环流与旋度1.6亥姆霍兹定理与格林定理亥姆霍兹定理与格林定理 2 说明：矢量书写时，说明：矢量书写时，印刷体印刷体为场量符号加粗，如为场量符号加粗，如 E E。教材。教材上的矢量符号即采用印刷体。上的矢量符号即采用印刷体。标量：标量：只有大小，没有方向只有大小，没有方向的物理量的物理量( (电压电压U U、电荷量、电荷量Q Q、能量、能量W W等）等）矢量：矢量：既有大小，又有方向
2、既有大小，又有方向的物理量（作用力，电、磁场强度）的物理量（作用力，电、磁场强度） 矢量的代数表示矢量的代数表示1.1 1.1 标量场和矢量场标量场和矢量场一、矢量代数一、矢量代数1.1.矢量与标量矢量与标量 矢量的几何表示：用一条有方向的线段来表示矢量的几何表示：用一条有方向的线段来表示 矢量的几何表示矢量的几何表示矢量可表示为：矢量可表示为： 其中其中 为为模值模值，表征矢量的，表征矢量的大小大小；为为单位矢量单位矢量，表征矢量的，表征矢量的方向方向；3任一方向的单位矢量为任一方向的单位矢量为 在直角坐标系中，如果矢量在在直角坐标系中，如果矢量在 三个坐标轴上三个坐标轴上的投影分别为的投影
3、分别为 ，则矢量表示为，则矢量表示为 设矢量设矢量 与三个坐标轴与三个坐标轴 的夹角分别为的夹角分别为 ，则，则4 2.2.位置矢量位置矢量P(x,y,z)xyzoP(x,y,z)矢量矢量 :点点P的位置矢量。的位置矢量。矢量矢量 :点点P的位置矢量。的位置矢量。矢量矢量 :点点P相对于点相对于点P的的相对位置矢量。相对位置矢量。 3.3.矢量的代数运算矢量的代数运算 矢量的加法和减法矢量的加法和减法说明：说明：1 1、矢量的加法符合、矢量的加法符合交换律交换律和和结合律结合律： 2 2、矢量相加和相减可用、矢量相加和相减可用平行四边形法则平行四边形法则求解：求解： 62）矢量与矢量点乘）矢量
4、与矢量点乘 1）矢量与标量相乘）矢量与标量相乘标量与矢量相乘只改变矢量的大小，不改变方向。标量与矢量相乘只改变矢量的大小，不改变方向。说明：说明：1 1、矢量的点积符合交换律和分配律：、矢量的点积符合交换律和分配律：2 2、两个矢量的点积为标量、两个矢量的点积为标量3 3、4 4、 矢量的乘法矢量的乘法7例：证明例：证明“三角形余弦定理三角形余弦定理”。ABC83）矢量与矢量叉乘（矢积）矢量与矢量叉乘（矢积）方向：方向：“右手螺旋法则右手螺旋法则”物理含义：物理含义：1.1.“平行四边形面积平行四边形面积”2.2.“右手法则右手法则”“模模”： 矢量的矢积（叉积）矢量的矢积（叉积）qsinAB
5、q9说明：说明：1、矢量的叉积、矢量的叉积不符合不符合交换律，但符合分配律：交换律，但符合分配律：2、两个矢量的叉积为矢量两个矢量的叉积为矢量3、矢量运算恒等式、矢量运算恒等式 矢量代数运算式矢量代数运算式1112二、标量场与矢量场二、标量场与矢量场1 1标量场和矢量场的概念标量场和矢量场的概念“场场”概念的引入：物理量（如温度、电场、磁场）概念的引入：物理量（如温度、电场、磁场）在空间以某种形式分布，若每一时刻每个物理量都有在空间以某种形式分布，若每一时刻每个物理量都有一个确定的值，则称在该空间中确定了该物理量的场。一个确定的值，则称在该空间中确定了该物理量的场。场的分类：场的分类：按物理量
6、的按物理量的性质性质分：分：1）标量场：描述场的物理量为标量（温度场，电位场）。）标量场：描述场的物理量为标量（温度场，电位场）。2）矢量场：描述场的物理量为矢量（电场，磁场）。）矢量场：描述场的物理量为矢量（电场，磁场）。按物理量按物理量变化特性变化特性分：分：1）静态场：物理量不随时间发生变化的场。）静态场：物理量不随时间发生变化的场。2）时变场（动态场）：物理量随时间的变化而变化）时变场（动态场）：物理量随时间的变化而变化的场。的场。1313例如，在直角坐标下例如，在直角坐标下, ,空间区域内的某个物理量满足如空间区域内的某个物理量满足如下两个函数：下两个函数：标量场标量场矢量场矢量场如
7、温度场、电位场、高度场等；如温度场、电位场、高度场等；如流速场、电场、涡流场等。如流速场、电场、涡流场等。142 2标量场的等值面标量场的等值面 由所有场值相等的点所构成的面，即为由所有场值相等的点所构成的面，即为等值面等值面。若标量函数为若标量函数为 ，则等值面方程为：，则等值面方程为：高度场的等高线15矢量线：矢量线：表示矢量在空间分布的有向线段。表示矢量在空间分布的有向线段。矢量线的疏密表征矢量场的大小；矢量线的疏密表征矢量场的大小；矢量线上每点的切向代表该处矢量场的方向。矢量线上每点的切向代表该处矢量场的方向。3.3.矢量场的矢量线矢量场的矢量线图0.1.2 矢量线矢量线方程矢量线方程16三、矢量与矢量场的不变特性三、矢量与矢量场的不变特性 在任一时刻，描述场的物理状态分布的函数是唯一的，其在任一时刻，描述场的物理状态分布的函数是唯一的，其大小、方向也是唯一的。大小、方向也是唯一的。 因此，引入了多种坐标系，以方便对场进行分析。因此，引入了多种坐标系，以方便对场进行分析。常用的坐标系常用的坐标系直角坐标系直角坐标系柱坐标系柱坐标系球坐标系球坐标系
