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1、空间向量的数乘运算空间向量的数乘运算一、空间向量的数乘：一、空间向量的数乘： 2、空间向量的数乘的性质、空间向量的数乘的性质（1）当）当时，时，与与同向同向（2）当）当时，时，与与反向反向1 1、定义：、定义：实数实数 与空间向量与空间向量 的乘积的乘积 仍然是一个向量，仍然是一个向量，称为空间向量的数乘称为空间向量的数乘（3）当）当时，时，空间向量的数乘运算2、空间向量的数乘的运算律、空间向量的数乘的运算律（3）数乘结合律：）数乘结合律：（1）数乘分配律）数乘分配律1：（2）数乘分配律）数乘分配律2：空间向量的数乘运算1 1、定义：、定义：如果表示空间向量的有向线段所在直线互相平如果表示空间
2、向量的有向线段所在直线互相平行或重合，行或重合， 则这些向量叫做则这些向量叫做共线向量共线向量二、空间中的共线向量二、空间中的共线向量 （或平行向量）（或平行向量）空间向量的数乘运算2 2、空间中共线向量的性质、空间中共线向量的性质 （1 1）共线共线（2 2）非零共线向量的传递性：）非零共线向量的传递性：（3 3）零向量与任一向量共线，）零向量与任一向量共线，空间向量的数乘运算（4 4）空间共线向量定理：）空间共线向量定理：对空间任意两个向量对空间任意两个向量有且只有一个实数有且只有一个实数 ，使使思考思考1 1：为什么要强调：为什么要强调思考思考2 2：这个定理有什么作用？：这个定理有什么
3、作用？1 1、判定两个向量是否共线、判定两个向量是否共线2 2、判定三点是否共线、判定三点是否共线空间向量的数乘运算BOAPa推论推论: :如果如果 为经过已知点为经过已知点A A且平行已知非零向量且平行已知非零向量 的的直线直线, ,那么对任一点那么对任一点O,O,点点P P在直线在直线 上的充要条件是存上的充要条件是存在实数在实数t,t,满足等式满足等式 其中向量其中向量 叫做直线叫做直线 的的方向向量方向向量. .在在 上取上取 ，则，则 式可化为式可化为AB a= 和和 都称为空间直线的向量表示式。都称为空间直线的向量表示式。空间任意直线由空间一点及直线的方向空间任意直线由空间一点及直
4、线的方向向量唯一决定向量唯一决定. .由此可判断空间任意三点由此可判断空间任意三点共线共线。空间向量的数乘运算因为因为 所以所以 特别的，当特别的，当x = = 时，时，则有则有进一步，进一步，P P点为点为A,B A,B 的中点的中点BOAPa即即 空间向量的数乘运算A A、B B、P P三点共线三点共线判定三点共线的方法总结：判定三点共线的方法总结：空间向量的数乘运算共面向量共面向量: :平行于同一平面的向量平行于同一平面的向量, ,叫做共面向量叫做共面向量. .OA注意：注意：空间任意两个空间任意两个向量是共面的向量是共面的，但空，但空间任意三个向量就不间任意三个向量就不一定共面的了。一
5、定共面的了。空间向量的数乘运算 1、如果向量、如果向量e e1 1和和e e2 2是一平面内的两个不平是一平面内的两个不平行的向量，那么，该平面内的任一向量行的向量，那么，该平面内的任一向量a与与 e1, e2有什么关系有什么关系? 如果如果e1和和e2是一平面内的两个不平行的向量，是一平面内的两个不平行的向量，那么，该平面内的任一向量那么，该平面内的任一向量a，存在惟一的一存在惟一的一对实数对实数a a1 1，a a2 2，使使 a a1 e1 a2 e22、平面向量基本定理、平面向量基本定理复习：复习：空间向量的数乘运算 （1）必要性：必要性：如果向量如果向量c c与向量与向量a a，b
6、b共面，共面，则通过平移一定可以使他们位于同一平面内，则通过平移一定可以使他们位于同一平面内，由平面向量基本定理可知，由平面向量基本定理可知，一定存在唯一的实数对一定存在唯一的实数对x，y，使使c cx a ay b b3 3、共面向量定理：、共面向量定理： 如果两个向量如果两个向量a a，b b不共线不共线，则向量，则向量c c与向量与向量a a，b b 共面的充要条件是，存在共面的充要条件是，存在唯一唯一的一对实数的一对实数 x x，y y，使，使 c cx x a ay y b b证明：证明：（2）充分性：充分性：如果如果c 满足关系式满足关系式c cxa ayb，则可选定一点则可选定一
7、点O，作，作OAxa，OBACyb，于是，于是OCOAACxaybc，显然显然OA，OB，OC，都在平面，都在平面OAB内内，故故c，a，b共面共面BACOc空间向量的数乘运算共面向量定理的剖析共面向量定理的剖析 如果两个向量如果两个向量 a a，b b 不共线不共线, , 向量向量c c与向量与向量a a，b b共面共面存在唯一的一对实数存在唯一的一对实数x x，y y，使，使 c cx xa ay yb b c cx xa ay yb b向量向量c c与向量与向量a a，b b共面共面( (性质性质) )( (判定判定) )空间向量的数乘运算空间向量的数乘运算得证得证.为什么为什么?空间向
8、量的数乘运算判定空间中三点判定空间中三点A A、B B、C C共线的常用方法：共线的常用方法：（1 1）只需得到存在实数）只需得到存在实数 ，使，使（2 2）对空间任意点）对空间任意点O O，存在实数，存在实数t,t,使使特别地，当特别地，当t=1/2t=1/2时，时，此时，点此时，点C C恰为线段恰为线段ABAB的的中点中点空间向量的数乘运算例例1、已知、已知A，B，C三点不共线，对平面三点不共线，对平面ABC外的外的任一点任一点O，确定在下列条件下，确定在下列条件下，M是否与是否与A，B，C三三点共面：点共面：空间向量的数乘运算例例2(课本例课本例)如图，已知平行四边形如图，已知平行四边形
9、ABCD,从平从平面面AC外一点外一点O引向量引向量 , , , ,求证：求证：四点四点E、F、G、H共面；共面；平面平面EG/平面平面AC.空间向量的数乘运算例例2 (课本例课本例)已知已知 ABCD ，从平面，从平面AC外一点外一点O引向量引向量 求证：求证：四点四点E、F、G、H共面；共面；平面平面AC/平面平面EG.证明：证明： 四边形四边形ABCD为为 （）（）代入）代入所以所以 E、F、G、H共面。共面。空间向量的数乘运算1.对于空间任意一点对于空间任意一点O，下列命题正确的是：，下列命题正确的是：(A)若若 ，则，则P、A、B共线共线(B)若若 ，则，则P是是AB的中点的中点(C
10、)若若 ，则，则P、A、B不共线不共线(D)若若 ，则，则P、A、B共线共线2.已知点已知点M在平面在平面ABC内，并且对空间任意一点内，并且对空间任意一点O， , 则则x的值为的值为( )空间向量的数乘运算1.下列下列说明正确的是：说明正确的是： (A)在平面内共线的向量在空间不一定共线在平面内共线的向量在空间不一定共线(B)在空间共线的向量在平面内不一定共线在空间共线的向量在平面内不一定共线(C)在平面内共线的向量在空间一定不共线在平面内共线的向量在空间一定不共线(D)在空间共线的向量在平面内一定共线在空间共线的向量在平面内一定共线2.下列说法正确的是：下列说法正确的是： (A)平面内的任意两个向量都共线平面内的任意两个向量都共线(B)空间的任意三个向量都不共面空间的任意三个向量都不共面(C)空间的任意两个向量都共面空间的任意两个向量都共面(D)空间的任意三个向量都共面空间的任意三个向量都共面空间向量的数乘运算AMCGDB例例3:3:如图如图, ,已知空间四边形已知空间四边形ABCDABCD中，中，向量向量若若M M为为BCBC的中点，的中点，G G为为BCDBCD的重心，试用的重心，试用 表示下列向表示下列向量：量：空间向量的数乘运算
