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1、有限元法原理及应用有限元法原理及应用Finite Element Method and Its ApplicationsInstitute of Mechanical Engineering and AutomationIMEAHsiang Jiawei, Ph DSchool of Mechantronic Engineering,Guilin University of Electronic Technology,Guilin, 541004, P.R.C.Tel:13977382738E-mail: 桂林电子科技大学机电工程学院机械工程及自动化所桂林电子科技大学机电工程学院机械工程及自动
2、化所课程学习基本要求课程学习基本要求 1 教材及参考书教材及参考书Institute of Mechanical Engineering and Automation1、王勖成、王勖成, 邵邵 敏敏. 有限单元法基本原理和数值方法有限单元法基本原理和数值方法(第二版第二版) M. 北京北京: 清华大学出版社清华大学出版社, 1997 2、王勖成、王勖成. 有限单元法有限单元法 M. 北京北京: 清华大学出版社清华大学出版社, 20033、李开泰、李开泰,黄艾香黄艾香, 黄庆怀黄庆怀. 有限元方法及其应用有限元方法及其应用M. 西安西安:西安交通大学出版社西安交通大学出版社, 1992.4、O.
3、C. Zienkiewicz, R.L. Taylor, J.Z. Zhu. The Finite Element Method: Its Basis and Fundamentals M. (Sixth Edition), Amsterdam: Elsevier Press, 2005. 9/6/202422 学习目的及方法学习目的及方法Institute of Mechanical Engineering and Automationu目的目的l了解了解FEM数学力学基础；数学力学基础；l把握把握FEM求解具体问题的基本过程；求解具体问题的基本过程；l应用应用FEM ，特别是运用已有的通用
4、或专用软件求解，特别是运用已有的通用或专用软件求解实际工程技术问题；实际工程技术问题；l为在为在FEM理论方法作进一步研究提供基础。理论方法作进一步研究提供基础。u方法方法l 注重深入理解注重深入理解FEM思想的建立，数学力学基础；思想的建立，数学力学基础；l 结合自己研究方向，结合自己研究方向，若偏重于若偏重于FEM应用，则注重于应应用，则注重于应用对象的本构关系研究，运用通用或专用有限元程序进用对象的本构关系研究，运用通用或专用有限元程序进行分析行分析；若偏重于对；若偏重于对FEM方法研究，则必须深入掌握标方法研究，则必须深入掌握标准化的准化的FEM求解格式推导过程。求解格式推导过程。9/
5、6/202433 考试考核成绩构成考试考核成绩构成Institute of Mechanical Engineering and Automationu课程作业成绩课程作业成绩(30(30) ) 翻译近期（翻译近期（0809）有限元方法方面的英文研究）有限元方法方面的英文研究论文论文 (Original Article)一篇。一篇。u实验成绩实验成绩(30(30) ) AnsysAnsys软件上机实验；包括通用有限元分析软件软件上机实验；包括通用有限元分析软件ANSYSANSYS求解结构力学问题基本过程，求解结构力学问题基本过程，1D1D杆系、杆系、2D2D板壳、板壳、3D3D实体静、动力学分
6、析实例上机。实体静、动力学分析实例上机。 u程序作业成绩程序作业成绩 (40%)(40%) 编制平面问题有限元程序，要求用编制平面问题有限元程序，要求用C C语言或语言或MatlabMatlab语言编写。提交程序和计算结果电子文本。语言编写。提交程序和计算结果电子文本。9/6/20244第第1章章 有限单元法概述有限单元法概述第第2节节 大型有限元软件比较大型有限元软件比较 第第1节节 概述概述 第第3节节 小结小结 Institute of Mechanical Engineering and Automation9/6/20245第第1节节 概概 述述 有限元方法（有限元方法（Finite
7、 Element Method, FEM）是计算机）是计算机问世以后迅速发展起来的一种分析方法。众所周知，每一种问世以后迅速发展起来的一种分析方法。众所周知，每一种自然现象的背后都有相应的物理规律，对物理规律的描述可自然现象的背后都有相应的物理规律，对物理规律的描述可以借助相关的定理或定律表现为各种形式的方程（代数、微以借助相关的定理或定律表现为各种形式的方程（代数、微分、或积分）。这些分、或积分）。这些方程和相应的边界条件方程和相应的边界条件构成物理问题的构成物理问题的本构关系。针对实际的工程问题推导这些方程并不十分困难，本构关系。针对实际的工程问题推导这些方程并不十分困难，然而，要获得问题
8、的解析的数学解却很困难。然而，要获得问题的解析的数学解却很困难。人们多采用数人们多采用数值方法给出近似的满足工程精度要求的解答值方法给出近似的满足工程精度要求的解答。有限元方法就。有限元方法就是一种应用十分广泛的数值分析方法。是一种应用十分广泛的数值分析方法。 FEM地位地位Institute of Mechanical Engineering and Automation9/6/20246第第1节节 概概 述述Turner&Clo ughArgyrisMeloshJones Pian 冯康冯康 BesselingZienkiewiczCheungBatheCook钱令希钱令希SAPANSYS
9、ALGORNASTRANADINA MARC广义协调元广义协调元无单元法无单元法自然单元法自然单元法样条有限元样条有限元有限元并行算有限元并行算小波有限元小波有限元自适应有限元自适应有限元 拓展了有拓展了有限元方法限元方法 单元求解区单元求解区域上插值域上插值 工程应用工程应用 工程实践中工程实践中高性能计算高性能计算60年代年代7080年代年代90年代年代至今至今体系形成体系形成 方法拓展方法拓展 商用软件商用软件 学科交叉学科交叉 FEM起源及发展起源及发展Institute of Mechanical Engineering and Automation9/6/20247第第1节节 概概
10、 述述 FEM的概念是由的概念是由Turner与与Clough最早提出的最早提出的1。1952年美加利福尼亚大学伯克利分校的学者年美加利福尼亚大学伯克利分校的学者Clough RW应应邀参加了波音航空公司夏季开发小组，在波音公司结构振邀参加了波音航空公司夏季开发小组，在波音公司结构振动分析专家动分析专家Truner MJ的带领下开展了三角形机翼结构分的带领下开展了三角形机翼结构分析，在经历了运用传统一维梁分析失败后，析，在经历了运用传统一维梁分析失败后，1953年年Clough在在Turner的建议下，运用直接刚度位移法，成功地给出了的建议下，运用直接刚度位移法，成功地给出了用三角单元求得平面
11、应力问题的正确答案；用三角单元求得平面应力问题的正确答案；1960年年Clough进一步研究了弹性问题的应力分析，并首次使用进一步研究了弹性问题的应力分析，并首次使用“有限元有限元(Finite Element)”这一术语。这一术语。FEM起源及发展起源及发展 1Clough RW. Early history of the finite element method from the view point of a pioneer J. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 2004, 60: 283-287
12、Institute of Mechanical Engineering and Automation9/6/20248第第1节节 概概 述述 此后，一些应用此后，一些应用/ /计算数学家、物理学家和工程师从计算数学家、物理学家和工程师从2 2条条分支研究分支研究FEM，形成了成熟的理论体系。即：，形成了成熟的理论体系。即： FEM FEM离散格式、误差估计理论、解的收敛性等研究离散格式、误差估计理论、解的收敛性等研究( (应用应用/ /计算数学计算数学) ) 研究的目的是建立完整的研究的目的是建立完整的FEMFEM理论体系，为工程应用奠定理论体系，为工程应用奠定必备的理论基础。必备的理论基础。
13、 工程具体问题计算领域工程具体问题计算领域( (计算物理计算物理/ /计算力学计算力学/ /工程学工程学) ) 研究的目的是面向具体工程应用问题，主要是离散格式研究的目的是面向具体工程应用问题，主要是离散格式研究，通过研究，通过考题考题(Benchmark)分析而不是分析而不是理论分析验证解的理论分析验证解的收敛性，估计误差，为工程设计优化提供指导。收敛性，估计误差，为工程设计优化提供指导。FEM起源及发展起源及发展 工科学生学习工科学生学习 FEM、研究、研究FEM、应用、应用FEM的立足点的立足点Institute of Mechanical Engineering and Automat
14、ion9/6/20249第第1节节 概概 述述l应用应用/ /计算数学领域计算数学领域 Besseling ， Melosh ，Jones ，Pian 等人证明了有限元等人证明了有限元单元法是基于变分原理的单元法是基于变分原理的Ritz法法的另一种形式，与经典的另一种形式，与经典Ritz法的区别在于有限单元法并非全域插值，而是在单元求解区法的区别在于有限单元法并非全域插值，而是在单元求解区域上插值，进而通过单元叠加形成全域求解方程，因而可以域上插值，进而通过单元叠加形成全域求解方程，因而可以用来处理很复杂的连续介质问题用来处理很复杂的连续介质问题2。FEM起源及发展起源及发展 60年代，我国学
15、者年代，我国学者冯康冯康独立于西方给出了独立于西方给出了基于分片插值基于分片插值和变分方法的偏微分方程的数值解法和变分方法的偏微分方程的数值解法，可以看作最早给出的，可以看作最早给出的二维有限元收敛性的证明，从而奠定了有限元方法的数学理二维有限元收敛性的证明，从而奠定了有限元方法的数学理论基础论基础3 。2 OC Zienkiewicz. The birth of the finite element method and computational mechanics J.International Journal for Numerical Methods in Engineering,
16、2004, 60: 3-10 3李开泰李开泰, 黄艾香黄艾香, 黄庆怀黄庆怀. 有限元方法及其应用有限元方法及其应用M. 西安西安: 西安交通大学出版社西安交通大学出版社, 1992 要求能量要求能量/ /势能泛函存在，限制了其应用。势能泛函存在，限制了其应用。Institute of Mechanical Engineering and Automation9/6/202410第第1节节 概概 述述l工程计算领域工程计算领域 Zienkiewicz，Cheung，Bathe，Cook等进一步拓展了有等进一步拓展了有限元方法，利用限元方法，利用Galerkin变分原理，求解只知道物理问题的本变
17、分原理，求解只知道物理问题的本构关系，即构关系，即偏微分方程偏微分方程(Partial Different Equations, PDEs)/控制方程控制方程(Governing Equations) 和和边界条件边界条件，但是变分的势，但是变分的势能泛函尚未找到或者根本不存在的情况，使得能泛函尚未找到或者根本不存在的情况，使得FEM可应用于可应用于几乎所有学科中的几乎所有学科中的PDEs求解求解 ，真正成为一种计算工具。，真正成为一种计算工具。FEM起源及发展起源及发展 Zienkiewicz (1921- )是需要特别提到的一位学者，他是英国威尔士是需要特别提到的一位学者，他是英国威尔士(
18、Wales)大学土木工程学院教授，担任联合国教科文组织工程数值计算委员大学土木工程学院教授，担任联合国教科文组织工程数值计算委员会主席，他在工程会主席，他在工程FEM计算方面作出了卓越贡献，这些贡献主要体现在他计算方面作出了卓越贡献，这些贡献主要体现在他的的600多篇论文与多篇论文与25部专著中。部专著中。1968年创办年创办FEM主流杂志主流杂志International Journal for Numerical Methods in Engineering，有力地推动了有限元在，有力地推动了有限元在工程计算中的应用。工程计算中的应用。Institute of Mechanical Eng
19、ineering and Automation9/6/202411第第1节节 概概 述述l不同领域交叉研究不同领域交叉研究 通过众多学者几十年的研究，通过众多学者几十年的研究，数学数学领域和领域和工程计算工程计算领域已领域已经密不可分，在不断修正认识上错误的前提下打下有限元坚实经密不可分，在不断修正认识上错误的前提下打下有限元坚实的理论基础。的理论基础。Ritz变分形式变分形式(对应于对应于最小位能原理最小位能原理)和和Galerkin 变分形式变分形式(对应于对应于虚功原理虚功原理)二者实际上相互等价。现在一般统二者实际上相互等价。现在一般统一称为一称为Ritz- Galerkin变分原理或
20、变分原理或Galerkin变分原理。有限元分变分原理。有限元分析领域大师级人物如：析领域大师级人物如： Zienkiewicz， Bathe等具有十分深厚的等具有十分深厚的数学功底，他们的研究亦涉及到数学功底，他们的研究亦涉及到误差估计理论、解的收敛性误差估计理论、解的收敛性等等研究。研究。FEM起源及发展起源及发展 ！国内长期从事国内长期从事FEM研究的有钱令希、钟万勰、石钟慈研究的有钱令希、钟万勰、石钟慈 、程耿东、程耿东 、龙驭球等。主要从事、龙驭球等。主要从事FEM方法改进研究。方法改进研究。Institute of Mechanical Engineering and Automat
21、ion9/6/202412第第1节节 概概 述述FEM相关主流期刊相关主流期刊 l应用应用/ /计算数学领域计算数学领域SIAM Journal of Numerical Analysis/SIAM 数值分析数值分析 SIAM Journal on Scientific Computing /SIAM科学计算科学计算Computing/计算计算Computers and Mathematics with Applications/计算机和计算机和数学及应用数学及应用 Applied Mathematics and Computation/应用数学与计算应用数学与计算 Journal of Co
22、mputational and Applied Mathematics /计算计算与应用数学与应用数学计算数学计算数学应用数学与力学应用数学与力学Institute of Mechanical Engineering and Automation9/6/202413第第1节节 概概 述述FEM相关主流期刊相关主流期刊 Computer Modeling in Engineering and Sciences/工程和科学中工程和科学中的计算机模型的计算机模型International Journal for Numerical Methods in Engineering/工工程中的数值方法程中
23、的数值方法Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering/应应用力学和工程中的计算方法用力学和工程中的计算方法Computational Mechanics/计算力学计算力学Computers & Structures/计算机与结构计算机与结构Finite Elements in Analysis and Design/有限元分析与设计有限元分析与设计ASCE Journal of Engineering Mechanics/ASCE工程力学工程力学计算力学学报计算力学学报各学科专业期刊各学科专业期刊(侧重于用侧重于用FEM作为工具获
24、得分析结果作为工具获得分析结果)l工程计算领域工程计算领域Institute of Mechanical Engineering and Automation9/6/202414第第1节节 概概 述述FEM求解工程问题思路求解工程问题思路 工程中的问题工程中的问题本构关系本构关系线性的、边界规则的问题线性的、边界规则的问题数值分析法数值分析法精确解精确解近似解近似解非线性的、边界不规则的问题非线性的、边界不规则的问题解析法解析法图图1 1 工程问题的求解思路工程问题的求解思路 FEM犹如万能钥匙，犹如万能钥匙，是解决工程问题的主是解决工程问题的主流数值分析方法流数值分析方法只能解决极少的只能解
25、决极少的方程求解，而且方程求解，而且解答复杂。解答复杂。l工程问题的求解基本过程工程问题的求解基本过程Institute of Mechanical Engineering and Automation9/6/202415第第1节节 概概 述述FEM求解工程问题思路求解工程问题思路 lFEM核心在于单元或者列式构造核心在于单元或者列式构造(1)直接方法直接方法 直接从结构力学引伸过来的，作为一种建立有限元方程的方直接从结构力学引伸过来的，作为一种建立有限元方程的方法而言，只在简单情况下才能凑效。优点在于简单、易于理解，法而言，只在简单情况下才能凑效。优点在于简单、易于理解，一些基本概念和作法的
26、物理意义清晰。一些基本概念和作法的物理意义清晰。(2)变分方法变分方法有限元方法最早的严格理论论证就是以这种形式给出的。有限元方法最早的严格理论论证就是以这种形式给出的。Ritz法要求被分析的问题存在一个法要求被分析的问题存在一个“能量泛函能量泛函”，由泛函取驻值，由泛函取驻值建立有限元方程。对于线性弹性问题就表现为最小位能建立有限元方程。对于线性弹性问题就表现为最小位能/势能原势能原理、最小余能原理或其他形式的广义变分原理。理、最小余能原理或其他形式的广义变分原理。Galerkin法只要法只要求被分析问题的求被分析问题的 “本构关系本构关系/方程方程”存在。本课主要利用这种形存在。本课主要利
27、用这种形式。式。(3)加权残值法加权残值法Institute of Mechanical Engineering and Automation9/6/202416插值基函数插值基函数有限元插值形状函数有限元插值形状函数相关问题能量泛函相关问题能量泛函标准单元有限元方程标准单元有限元方程/列式列式本构方程本构方程/偏微分方程偏微分方程图图2 2 FEM单元构造的思路单元构造的思路第第1节节 概概 述述FEM求解工程问题思路求解工程问题思路 兼容性、光滑兼容性、光滑性、完备性条性、完备性条件件代入代入代入代入由由Galerkin变变分原理分原理令能量泛函变令能量泛函变分为零分为零有限元空间有限元空
28、间！通过等参变换映射为复杂形状单元！通过等参变换映射为复杂形状单元l采用变分方法构造单元或者列式采用变分方法构造单元或者列式Institute of Mechanical Engineering and Automation9/6/202417第第1节节 概概 述述FEM求解工程问题思路求解工程问题思路 lFEM求解工程问题过程求解工程问题过程(1)选取恰当的单元选取恰当的单元，建立单元有限元方程；，建立单元有限元方程；(2) 网格剖分网格剖分，离散求解域；，离散求解域；(3)将单元将单元由局部坐标系转换到整体坐标系由局部坐标系转换到整体坐标系，并叠加单，并叠加单元有限元方程，形成总体有限元方
29、程；元有限元方程，形成总体有限元方程；(4)在总体有限元方程中引入在总体有限元方程中引入强制边界条件强制边界条件；(5)求总体有限元方程求总体有限元方程，得到节点解；，得到节点解；(6)后处理后处理，求出单元内力、应力、应变、变形等。，求出单元内力、应力、应变、变形等。l大型大型FEM软件求解工程问题过程软件求解工程问题过程(1)前处理前处理，包括建立几何模型，包括建立几何模型(求解域求解域)，选取单元，选取单元，网格剖分等；网格剖分等；(2)求解求解，选择求解方法；，选择求解方法；(3)后处理后处理，以图、表、动画形式描述单元内力等。，以图、表、动画形式描述单元内力等。Institute o
30、f Mechanical Engineering and Automation9/6/202418第第1节节 概概 述述基本未知量的选择和有限元方法的分类基本未知量的选择和有限元方法的分类 l位移单元位移单元/ /位移元位移元 以位移以位移场场做为基本未知量，几何关系和弹性关系精确做为基本未知量，几何关系和弹性关系精确满足，平衡方程只能近似满足（近似解）。优点：未满足，平衡方程只能近似满足（近似解）。优点：未知量少；缺点：位移精度好，应力精度低。位移单元知量少；缺点：位移精度好，应力精度低。位移单元又分为两种：协调单元和非协调单元。位移单元是目又分为两种：协调单元和非协调单元。位移单元是目前应
31、用最广的一类单元。前应用最广的一类单元。l平衡单元平衡单元/ /平衡元平衡元 以应力或应力函数为基本未知量，以应力协调关系以应力或应力函数为基本未知量，以应力协调关系（或最小（或最小位位能原理）建立能原理）建立FEM方程。方程。l杂交单元杂交单元/ /杂交元杂交元 同时以位移和应力等为基本未知量。这种单元在处理同时以位移和应力等为基本未知量。这种单元在处理板、壳问题时有显著的优点。板、壳问题时有显著的优点。 Institute of Mechanical Engineering and Automation9/6/202419第第2节节 大型有限元软件比较大型有限元软件比较 大型大型FEM软件
32、比较软件比较 通过表格通过表格简略的介绍一些近年来国内外著名的分析简略的介绍一些近年来国内外著名的分析软件，供读者参考。软件，供读者参考。 ANSYS、ADINA、MARC、NASTRAN、ABAQUS、FENRIS、PAFEC、ASKA、EAL、SAMCEF、LARSTRAN80、HAJIF系列系列等。等。Institute of Mechanical Engineering and Automation9/6/202420大型大型FEM软件比较软件比较 第第2节节 大型有限元软件比较大型有限元软件比较 Institute of Mechanical Engineering and Auto
33、mation9/6/202421大型大型FEM软件比较软件比较 第第2节节 大型有限元软件比较大型有限元软件比较 Institute of Mechanical Engineering and Automation9/6/202422大型大型FEM软件比较软件比较 第第2节节 大型有限元软件比较大型有限元软件比较 Institute of Mechanical Engineering and Automation9/6/202423大型大型FEM软件比较软件比较 第第2节节 大型有限元软件比较大型有限元软件比较 Institute of Mechanical Engineering and A
34、utomation9/6/202424大型大型FEM软件比较软件比较 第第2节节 大型有限元软件比较大型有限元软件比较 Institute of Mechanical Engineering and Automation9/6/202425大型大型FEM软件比较软件比较 第第2节节 大型有限元软件比较大型有限元软件比较 Institute of Mechanical Engineering and Automation9/6/202426大型大型FEM软件比较软件比较 第第2节节 大型有限元软件比较大型有限元软件比较 Institute of Mechanical Engineering an
35、d Automation9/6/202427大型大型FEM软件比较软件比较 第第2节节 大型有限元软件比较大型有限元软件比较 Institute of Mechanical Engineering and Automation9/6/202428 有限元方法担当重任，在国民经济建设中发挥了重大有限元方法担当重任，在国民经济建设中发挥了重大作用。经过几十年的发展，有限元法的作用。经过几十年的发展，有限元法的应用应用已由弹性力学已由弹性力学平面问题扩展到空间问题、板壳问题，由静力平衡问题扩平面问题扩展到空间问题、板壳问题，由静力平衡问题扩展到稳定问题、动力问题和波动问题。展到稳定问题、动力问题和波
36、动问题。分析的对象分析的对象从弹性从弹性材料扩展到塑性、粘弹性、粘塑性和复合材料等，从固体材料扩展到塑性、粘弹性、粘塑性和复合材料等，从固体力学扩展到流体力学、传热学、电磁学、声学等连续介质力学扩展到流体力学、传热学、电磁学、声学等连续介质领域。在领域。在工程分析中的作用工程分析中的作用已从分析和校核扩展到优化设已从分析和校核扩展到优化设计，并和计算机辅助设计相结合。在短短的几十年里，有计，并和计算机辅助设计相结合。在短短的几十年里，有限元方法已在机械、航空、航天、船舶、地下建筑、潮汐限元方法已在机械、航空、航天、船舶、地下建筑、潮汐运动、地震、热传导、化学反应中物质的传递和扩散以及运动、地震
37、、热传导、化学反应中物质的传递和扩散以及流体和结构相互作用等几乎所有的科学技术领域得到了广流体和结构相互作用等几乎所有的科学技术领域得到了广泛的应用。泛的应用。 FEM应用领域应用领域第第2节节 大型有限元软件比较大型有限元软件比较 Institute of Mechanical Engineering and Automation9/6/202429FEM应用领域应用领域 图图a 大教堂中心轮廓大教堂中心轮廓应力应力分析分析第第2节节 大型有限元软件比较大型有限元软件比较 Institute of Mechanical Engineering and Automation9/6/202430
38、FEM应用领域应用领域 图图b 电机定子电机定子磁场磁场分析分析第第2节节 大型有限元软件比较大型有限元软件比较 Institute of Mechanical Engineering and Automation9/6/202431FEM应用领域应用领域 图图c 考虑地基的弓形大坝考虑地基的弓形大坝非线性分析非线性分析第第2节节 大型有限元软件比较大型有限元软件比较 Institute of Mechanical Engineering and Automation9/6/202432FEM应用领域应用领域 图图d 汽车碰撞汽车碰撞分析分析第第2节节 大型有限元软件比较大型有限元软件比较 I
39、nstitute of Mechanical Engineering and Automation9/6/202433FEM应用领域应用领域 图图e 超音速汽车超音速汽车流场流场分析分析第第2节节 大型有限元软件比较大型有限元软件比较 Institute of Mechanical Engineering and Automation9/6/202434FEM应用领域应用领域图图f 火箭助推器脱离航天飞机时火箭助推器脱离航天飞机时瞬态动力学瞬态动力学分析分析第第2节节 大型有限元软件比较大型有限元软件比较 Institute of Mechanical Engineering and Auto
40、mation9/6/202435FEM应用领域应用领域图图g 生物力学生物力学分析及结构优化分析及结构优化第第2节节 大型有限元软件比较大型有限元软件比较 Institute of Mechanical Engineering and Automation9/6/202436小结小结第第3节节 小结小结 现代有限元方法经过科学家和数学家的工作已经使其不断现代有限元方法经过科学家和数学家的工作已经使其不断成熟完善，从而变成工程分析中一种最有效的数值方法之一。成熟完善，从而变成工程分析中一种最有效的数值方法之一。应用此方法在对于连续介质问题分析时，首先要应用此方法在对于连续介质问题分析时，首先要将
41、求解域离散将求解域离散化化，然后的中心工作是，然后的中心工作是单元构造或者列式分析单元构造或者列式分析。此后的工作可。此后的工作可以认为是以认为是程式化的工作程式化的工作，即，即组装总体方程和求解此方程组装总体方程和求解此方程，在解，在解方程时要用到方程时要用到数值积分数值积分。变分原理变分原理在有限元方法中有重要的作在有限元方法中有重要的作用，在许多场合依据变分原理可以给出总体方程合理性的满意用，在许多场合依据变分原理可以给出总体方程合理性的满意解释。创建解释。创建新型单元新型单元的工作仍在不断进行，人们始终没有放弃的工作仍在不断进行，人们始终没有放弃构造新型的功能更强、性质更优的单元的努力
42、。构造新型的功能更强、性质更优的单元的努力。 Institute of Mechanical Engineering and Automation9/6/202437目前研究方向目前研究方向第第3节节 小结小结 l高性能单元构造高性能单元构造/ /有限元并行计算，满足高性能科学计算需要；有限元并行计算，满足高性能科学计算需要；l应用于不同应用场合的单元构造；应用于不同应用场合的单元构造；l工程数值模拟中如何应用工程数值模拟中如何应用FEM工具获得与工程实际相符的分工具获得与工程实际相符的分析结果；析结果；l工程中大量存在的奇异性问题高效率有限元求解方法研究工程中大量存在的奇异性问题高效率有限元求解方法研究Institute of Mechanical Engineering and Automation9/6/202438
