《高数幂级数的展开ppt课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高数幂级数的展开ppt课件（23页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第四节第四节 函数展开成幂级数函数展开成幂级数一、泰勒级数一、泰勒级数一、泰勒级数一、泰勒级数 二、函数展开成幂级数二、函数展开成幂级数二、函数展开成幂级数二、函数展开成幂级数 预备知识：预备知识：预备知识：预备知识： 1.泰勒公式：泰勒公式： 若函数若函数 在在 某邻域内有直到某邻域内有直到 阶的导数，阶的导数， 那么那么拉格朗日余项拉格朗日余项2.级数收敛的必要条件级数收敛的必要条件 3.幂级数及其和函数的性质幂级数及其和函数的性质 1.一、泰勒级数一、泰勒级数一、泰勒级数一、泰勒级数泰勒公式：泰勒公式：若函数若函数 在在 某邻域内有直到某邻域内有直到 阶的导数，那么阶的导数，那么 拉格朗
2、日余项拉格朗日余项(1)其误差为其误差为:(2)问题：给定函数问题：给定函数问题：给定函数问题：给定函数 是否能找到一个幂级数，它在某个区间是否能找到一个幂级数，它在某个区间 内收敛，且其和恰好是给定的函数内收敛，且其和恰好是给定的函数 若能找到这样的幂级数，则说函数若能找到这样的幂级数，则说函数f (x)在该区间内能展开成在该区间内能展开成 幂级数幂级数.2.假假设设在在某邻域内有任意阶导数，某邻域内有任意阶导数，称称(3)为为的泰勒级数。的泰勒级数。问题问题:（2若级数若级数(3)收敛收敛, 是否收敛于是否收敛于时时, 级数级数(3)是否收敛是否收敛?（1）定理定理:成泰勒级数成泰勒级数(
3、3)的充分必要条件是的充分必要条件是那么那么在该邻域内能展在该邻域内能展在在某邻域内有任意阶导数，某邻域内有任意阶导数， 设设当当时，时， 级数级数(3)收敛于收敛于显然显然:?3.证证 必要性必要性 设设在该邻域内能展成泰勒级数在该邻域内能展成泰勒级数(3)记记由由(1)式知式知,所以所以,充分性充分性 设设所以所以证毕证毕.即即4.内内假设假设在在的某邻域的某邻域能展成能展成的幂级数的幂级数,那么那么得证得证即即在在(3)中中,特别地特别地(4)称为函数称为函数的麦克劳林级数。的麦克劳林级数。假设假设能展成能展成的幂级数，的幂级数， 则展开式唯一则展开式唯一,就是它的麦克就是它的麦克劳林级
4、数。劳林级数。5.二、函数展开成幂级数二、函数展开成幂级数二、函数展开成幂级数二、函数展开成幂级数1. 直接展开法，直接展开法，(1).求出求出的各阶导数的各阶导数:(2).求函数及各阶导数在求函数及各阶导数在处的函数值处的函数值:(3).写出幂级数写出幂级数:并求出收敛半径并求出收敛半径 R.按以下步骤进行：（展成关于按以下步骤进行：（展成关于x的幂级数）的幂级数）假设假设那么那么 (4).考察当考察当时时,在在0与与 x之间是否为零之间是否为零? 否则幂级数不收敛于否则幂级数不收敛于 6.例例1.将函数将函数展开成展开成的幂级数的幂级数.解解考察级数考察级数级数级数收敛收敛,所以所以的麦克
5、劳林级数为的麦克劳林级数为:7.例例2.将函数将函数展成展成的幂级数的幂级数.解解的麦克劳林级数为的麦克劳林级数为:8.2. 间接展开法间接展开法常用的已知函数展开式有常用的已知函数展开式有: : 利用一些已知的函数展开式及幂级数的运算法则利用一些已知的函数展开式及幂级数的运算法则逐项求导、逐项求积）逐项求导、逐项求积）, 将所给函数展成幂级数。将所给函数展成幂级数。（四则法则（四则法则,9.例例3.将函数将函数展开成展开成的幂级数的幂级数.解解由由知知例例4.将函数将函数展开成展开成的幂级数。的幂级数。解解由由两边求导得两边求导得10.假设假设内的已得到展式：内的已得到展式：（1 1级数级数
6、级数级数 处仍收敛；处仍收敛；（2 2） 处有定义且连续处有定义且连续, 则展式则展式处也成立处也成立.说明说明例例5.将函数将函数展开成展开成 的幂级数。的幂级数。解解即即由由知知11.当当时时,收敛收敛,当当时时,收敛收敛,所以所以注意：经过求导或求积后得到的展式注意：经过求导或求积后得到的展式, 必须考虑在端点的情况必须考虑在端点的情况.例例6.将函数将函数展开成展开成的幂级数。的幂级数。解解两边积分得两边积分得因因所以所以在在 处有定义且连续，处有定义且连续， 12.例例7.将函数将函数展开成展开成 的幂级数。的幂级数。解解两边积分得两边积分得当当时时,当当时时,发散发散,收敛收敛.在
7、在 处有定义且连续，处有定义且连续， 13.例例8 将函数将函数展开成展开成 x 的幂级数的幂级数.解解 因为因为14.于是得级数于是得级数下面证明下面证明因而因而, 对于任意常数对于任意常数m 这级数在开区间这级数在开区间(-1,1)内收敛内收敛, 函数为函数为设其和设其和令令?15.?要证要证只须证只须证16.即即上面的展开公式叫做二项展开式上面的展开公式叫做二项展开式 。当当 m 为正整数时为正整数时二项式定理二项式定理.特别地特别地:在区间的端点在区间的端点, 展开式是否成立要看展开式是否成立要看m 的数值而定的数值而定.当当时，时，当当时，时，当当时，时，注注:17.当当时时,当当时时,18.例例9.将函数将函数展开成展开成的幂级数的幂级数.解解由由得得例例10 将函数将函数展开成展开成的幂级数的幂级数.解解 19.例例11. 将函数将函数展开成展开成的幂级数。的幂级数。解解由由得得20.例例12. 将函数将函数展开成展开成的幂级数的幂级数.解解 由由且且得得21.小结：小结：求出收敛半径求出收敛半径 R.考察当考察当时时,是否为零是否为零?22.当当时，时，当当时，时，当当时，时，23.
