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1、第二十三讲锐角三角函数一、三角函数的定义在RtABC中,C=90,A,B,C的对边分别为a,b,c,则sinA= ,cosA= ,tanA= .二、特殊角的三角函数值303045456060sinsin_coscos_tantan_1三、直角三角形中的边角关系1.三边之间的关系:_.2.两锐角之间的关系:_.3.边角之间的关系:sinA=cosB=_,sinB=cosA=_,tanA=_,tanB=_.a2+b2=c2A+B=90四、解直角三角形的应用1.仰角和俯角:如图1,在同一铅垂面内视线和水平线间的夹角,视线在水平线_的叫做仰角,在水平线_的叫做俯角.上方下方2.坡度(坡比)和坡角:如图
2、2,通常把坡面的铅直高度h和_之比叫做坡度(或叫做坡比),用字母_表示,即i=_;坡面与_的夹角叫做坡角,记作.所以i=_=tan.水平宽度li水平面3.方位角:指北或指南的方向线与目标方向所成的小于90的角叫做方位角.【自我诊断】(打“”或“”)1.锐角三角函数是一个比值.( )2.直角三角形各边长扩大3倍,其正弦值也扩大3倍.( )3.由cos= ,得锐角=60.( )4.锐角的正弦值随角度的增大而增大.( )5.锐角的余弦值随角度的增大而增大.( )6.坡比是坡面的水平宽度与铅直高度之比.( )7.解直角三角形时,必须有一个条件是边.( )考点一 求三角函数值【例1】(2017怀化中考)
3、如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(3,4),那么sin的值是()世纪金榜导学号16104353【思路点拨】作ABx轴于点B,先利用勾股定理计算出OA=5,然后在RtAOB中利用正弦的定义求解.【自主解答】选C.作ABx轴于点B,如图,点A的坐标为(3,4),OB=3,AB=4,OA= =5,在RtAOB中,sin=【名师点津】根据定义求三角函数值的方法(1)分清直角三角形中的斜边与直角边.(2)正确地表示出直角三角形的三边长,常设某条直角边长为k(有时也可以设为1),在求三角函数值的过程中约去k.(3)正确应用勾股定理求第三条边长.(4)应用锐角三角函数定义,求出三角函数值.(5)求一个
4、角的三角函数值时,若不易直接求出,也可把这个角转化成和它相等且位于直角三角形中的角.【题组过关】1.(2017湖州中考)如图,已知在RtABC中, C=90,AB=5,BC=3,则cosB的值是()2.(2017金华中考)在RtABC中,C=90,AB=5, BC=3,则tanA的值是()【解析】选A.在RtABC中,根据勾股定理,得AC=再根据正切的定义,得tanA=3.(2017滨州中考)如图,在ABC中,ACBC, ABC=30,点D是CB延长线上的一点,且BD=BA,则tanDAC的值为世纪金榜导学号16104354()【解析】选A.设AC=a,则AB=asin30=2a,BC=ata
5、n30= a,BD=AB=2a.tanDAC=4.(2017泸州中考)如图,在矩形ABCD中,点E是边BC的中点,AEBD,垂足为F,则tanBDE的值是()【解析】选A.四边形ABCD是矩形,AD=BC,ADBC,点E是边BC的中点,BE= BC= AD,BEFDAF,EF= AF,EF= AE,点E是边BC的中点,由矩形的对称性得:AE=DE,EF= DE,设EF=x,则DE=3x,DF=tanBDE=考点二 特殊锐角三角函数值的应用【例2】已知,均为锐角,且满足 =0,则+=_.【思路点拨】根据非负数的性质求出sin,tan的值,然后根据特殊角的三角函数值求出两个角的度数,进一步求和.【
6、自主解答】 =0,sin= ,tan=1,又,均为锐角,=30,=45,则+=30+45=75.答案:75【名师点津】熟记特殊角的三角函数值的两种方法(1)按值的变化:30,45,60角的正余弦的分母都是2,正弦的分子分别是1, 余弦的分子分别是 1,正切分别是(2)特殊值法:在直角三角形中,设30角所对的直角边为1,那么三边长分别为1, ,2;在直角三角形中,设45角所对的直角边为1,那么三边长分别为1,1, .【题组过关】1.(2017天津中考)cos60的值等于()【解析】选D.由特殊角的三角函数值得cos60= .2.(2016无锡中考)sin 30的值为()【解析】选A.sin 30
7、=3.(2017六盘水中考)三角形的两边a,b的夹角为60且满足方程x2-3 x+4=0,则第三边长的长是()世纪金榜导学号16104355【解析】选A.解方程x2-3 x+4=0,得x1=2 ,x2= ,假设a=2 ,b= ,如图所示,在直角三角形ACD中,CD= cos60= ,DB=2 - = ,AD= sin60= ,AB=4.(2015庆阳中考)在ABC中,若角A,B满足+(1-tanB)2=0,则C的大小是()A.45B.60C.75D.105【解析】选D.由题意得,cosA= ,tanB=1,则A=30,B=45,则C=180-30-45=105.考点三 解直角三角形【例3】(2
8、016连云港中考)如图,在ABC中,C=150,AC=4,tanB= .世纪金榜导学号16104356(1)求BC的长.(2)利用此图形求tan15的值(精确到0.1,参考数据: 1.4, 1.7, 2.2)【思路点拨】(1)过点A作ADBC交BC的延长线于D.由ACB的度数ACD的度数AC=4AD的长CD的长tanB= BD的长BC的长.(2)在BC边上取M,使CM=AC,连接AMAMC=MAC= 15tan 15= 化简得结论.【自主解答】(1)过A作ADBC,交BC的延长线于点D,如图1所示:在RtADC中,AC=4,ACB=150,ACD=30,AD= AC=2,CD=ACcos30=
9、4在RtABD中,tanB=BD=16,BC=BD-CD=16-(2)在BC边上取一点M,使得CM=AC,连接AM,如图2所示: ACB=150,AMC=MAC=15,tan15=tanAMD=0.270.3.【名师点津】解直角三角形的类型及方法(1)已知斜边和一个锐角(如c,A),其解法:B=90-A,a=csinA,b=ccosA(或b= ).(2)已知一直角边和一个锐角(如a,A),其解法:B=90-A,c= ,b= (或b= ).(3)已知斜边和一直角边(如c,a),其解法:b= ,由sinA= 求出A,B=90-A.(4)已知两条直角边a和b,其解法:c= ,由tanA= 得A,B=
10、90-A.【题组过关】1.(2017烟台中考)在RtABC中,C=90,AB=2,BC= ,则sin =_.【解析】在RtABC中,C=90,AB=2,BC= ,sinA= ,A=60,sin = .答案: 2.(2017广州中考)如图,RtABC中,C=90, BC=15,tanA= ,则AB=_.世纪金榜导学号16104357【解析】因为BC=15,tanA= ,所以AC=8,由勾股定理得,AB=17.答案:173.(2016上海中考)如图,在RtABC中,ACB=90, AC=BC=3,点D在边AC上,且AD=2CD,DEAB,垂足为点E,连接CE,求:世纪金榜导学号16104358(1
11、)线段BE的长.(2)ECB的余切值.【解析】(1)AD=2CD,AC=3,AD=2.在RtABC中,ACB=90,AC=BC=3,A=45,AB=DEAB,AED=90,ADE=A=45,AE=ADcos45= .BE=AB-AE=2 ,即线段BE的长是2 .(2)过点E作EHBC,垂足为点H,在RtBEH中,EHB=90,B=45,EH=BH=EBcos45=2,又BC=3,CH=1.在RtECH中,cotECB= 即ECB的余切值是.考点四 解直角三角形的应用 【考情分析】利用解直角三角形解决实际问题是各地中考的热点,这一类题的题型通常以解答题为主,利用直角三角形求物体的高度(宽度),解
12、决航海问题等.命题角度1:利用直角三角形解决和高度(或宽度)有关的问题【例4】(2017鄂州中考)小明想要测量学校食堂和食堂正前方一棵树的高度,他从食堂楼底M处出发,向前走3米到达A处,测得树顶端E的仰角为30,他又继续走下台阶到达C处,测得树的顶端E的仰角是60,再继续向前走到大树底D处,测得食堂楼顶N的仰角为45.已知A点离地面的高度AB=2米,BCA=30,且B,C,D三点在同一直线上.(1)求树DE的高度.(2)求食堂MN的高度.【思路点拨】(1)先在ABC中求AC的长,再求出ACE=90,在ACE中求CE的长,最后在CDE中求DE的长.(2)延长NM交BC于点G.先求GB,BC,CD
13、的长,得到GD的长,再在DNG中求NG的长,最后求MN的长.【自主解答】(1)由题意,得AFBC.FAC=BCA=30.EAC=EAF+CAF=30+30=60.ACE=180-BCA-DCE=180-30-60=90.AEC=180-EAC-ACE=180-60-90=30.在RtABC中,BCA=30,AB=2,AC=2AB=4.在RtACE中,AEC=30,AC=4,EC= AC=4 .在RtCDE中,sinECD= ,ECD=60,EC=4 ,sin60=ED=4 sin60=4 =6(米).答:树DE的高度为6米.(2)延长NM交BC于点G,则GB=MA=3.在RtABC中,AB=2
14、,AC=4,BC=在RtCDE中,CE=4 ,DE=6,CD=GD=GB+BC+CD=在RtGDN中,NDG=45,NG=GD=3+4 .MN=NG-MG=NG-AB=3+4 -2=(1+4 )米.答:食堂MN的高度为(1+4 )米.命题角度2:利用直角三角形解决航海问题【例5】(2017十堰中考)如图,海中有一小岛A,它周围8海里内有暗礁,渔船跟踪鱼群由西向东航行,在B点测得小岛A在北偏东60方向上,航行12海里到达D点,这时测得小岛A在北偏东30方向上.如果渔船不改变航线继续向东航行,有没有触礁的危险?【思路点拨】作ACBD于点C,设AC=x海里,由三角函数计算BC,CD的长,进而求得AC
15、的长,通过比较AC的长度与8海里的大小关系进行作答.【自主解答】作ACBD于C,由题意知ABC=30,ADC=60,设AC=x海里,则BC= x海里,DC= x海里,因为BC-CD= x- x=12,所以x=6 海里.因为6 8,所以渔船不改变航线继续向东航行,没有触礁的危险.命题角度3:利用直角三角形解决坡度问题【例6】(2017达州中考)如图,信号塔PQ座落在坡度i=12的山坡上,其正前方直立着一警示牌.当太阳光线与水平线成60角时,测得信号塔PQ落在斜坡上的影子QN长为2 米,落在警示牌上的影子MN长为3米,求信号塔PQ的高.(结果不取近似值)世纪金榜导学号16104359【思路点拨】过
16、点M作MFPQ于点F,过点Q作QEMN于点E,分别解RtQEN和RtMFP,求出EN,PF即可求出PQ的高.【自主解答】过点M作MFPQ于点F,过点Q作QEMN于点E,i=12,设EN=k,QE=2k,由勾股定理可得QN=k=2,EN=2,FM=QE=4,FQ=ME=MN-NE=3-2=1.在RtPFM中,FPM=180-90-60=30,PMF=60,PF=FMtan60=4 ,PQ=FQ+PF=(1+4 )米.答:信号塔PQ的高为(1+4 )米.【名师点津】解决解直角三角形的实际问题,有图的要先将题干中的已知量在图中表示出来,再根据以下方法和步骤解决:(1)根据题目中的已知条件,将实际问题
17、抽象为解直角三角形的数学问题,画出平面几何图形,弄清已知条件中各量之间的关系.(2)若三角形是直角三角形,根据边角关系进行计算,若三角形不是直角三角形,可通过添加辅助线构造直角三角形来解决.解直角三角形的实际应用问题关键是要根据实际情况建立数学模型,正确画出图形找准三角形.【题组过关】1.(2017温州中考)如图,一辆小车沿倾斜角为的斜坡向上行驶13米,已知cos= ,则小车上升的高度是() A.5米 B.6米 C.6.5米 D.12米【解析】选A.在直角三角形中,小车水平行驶的距离为13cos=12米,则由勾股定理得到其上升的高度为=5(米).2.(2017烟台中考)如图,数学实践活动小组要
18、测量学校附近楼房CD的高度,在水平地面A处安置测倾器测得楼房CD顶部点D的仰角为45,向前走20米到达A处,测得点D的仰角为67.5.已知测倾器AB的高度为1.6米,则楼房CD的高度约为(结果精确到0.1米, 1.414)()A.34.14米 B.34.1米 C.35.7米 D.35.74米【解析】选C.设BB交DC于点C,则BB=BC-BC,解得DC34.14.DC34.14+1.635.7.3.(2017山西中考)如图,创新小组要测量公园内一棵树的高度AB,其中一名小组成员站在距离树10米的点E处,测得树顶A的仰角为54.已知测角仪的架高CE=1.5米,则这棵树的高度为_米(结果保留一位小
19、数.参考数据:sin540.8090,cos540.5878,tan541.3764).世纪金榜导学号16104360【解析】由题知BD=CE=1.5,在RtADC中,由锐角三角函数可得AD=CDtanACD=10tan54101.3764 =13.764,所以AB=AD+BD13.764+1.5=15.26415.3.答案:15.34.(2017天津中考)如图,一艘海轮位于灯塔P的北偏东64方向,距离灯塔120海里的A处,它沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔P的南偏东45方向上的B处,求BP和BA的长(结果取整数).(参考数据:sin640.90,cos640.44,tan 642.05
20、, 取1.414.)【解析】如图,过点P作PCAB,垂足为C,由题意可知,A=64,B=45,PA=120,在RtAPC中,sinA=cosA=PC=PAsinA=120sin64,AC=PAcosA=120cos64,在RtBPC中,BP=BC= =PC=120sin64,BA=BC+AC=120sin64+120cos641200.90+1200.44161.答:BP的长约为153海里,BA的长约为161海里.5.(2017广安中考)如图,线段AB,CD分别表示甲、乙两建筑物的高,BAAD,CDDA,垂足分别为A,D.从D点测得B点的仰角为60,从C点测得B点的仰角为30,甲建筑物的高AB=30米.世纪金榜导学号16104361(1)求甲、乙两建筑物之间的距离AD.(2)求乙建筑物的高CD.【解析】(1)根据题意得,在RtABD中,BDA=60,AB=30米,AD= (米).答:甲、乙两建筑物之间的距离AD为10 米.(2)如图,过点C作CEAB于点E.根据题意,得BCE=30,CE=AD=10 ,CD=AE.在RtBEC中,tanBCE=tan30= ,BE=10米,CD=AE=AB-BE=30-10=20(米).答:乙建筑物的高CD为20米.
