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1、第第9讲讲 周长、面积、体周长、面积、体积、表面积积、表面积梁 碧 湘第一节第一节 巧求周长巧求周长l 专题简析：专题简析：l 对于一些不规则的比较复杂的几何图形，对于一些不规则的比较复杂的几何图形，要求它们的周长，我们可以运用要求它们的周长，我们可以运用平移的方法平移的方法，把它转化为标准的长方形或正方形，然后再利把它转化为标准的长方形或正方形，然后再利用周长公式进行计算。用周长公式进行计算。l 将一个大长方形或正方形分割成若干个长方将一个大长方形或正方形分割成若干个长方形和正方形，那么图形周长就会形和正方形，那么图形周长就会增加几个长或增加几个长或宽宽；反之，将若干个小长方形或正方形合成一
2、；反之，将若干个小长方形或正方形合成一个大长方形或正方形，图形周长就会减少几个个大长方形或正方形，图形周长就会减少几个长或宽。长或宽。例题例题1 ： 下图是一个楼梯的侧面图，求此图下图是一个楼梯的侧面图，求此图形的周长。形的周长。l例题例题2 ：下图是由：下图是由6个边长个边长2厘米的正方形拼成厘米的正方形拼成的，这个图形的周长是多少厘米？的，这个图形的周长是多少厘米？ 分析：这题我们可以用平移的方法将它转化 为一个长方形，如下图：例题例题3 ： 两个大小相同的正方形拼成一个两个大小相同的正方形拼成一个长方形后，周长比原来两个正方形周长的和减长方形后，周长比原来两个正方形周长的和减少了少了6厘
3、米。原来一个正方形的周长是多少厘？厘米。原来一个正方形的周长是多少厘？ 例题例题4： 将一张边长为将一张边长为36厘米的正方形厘米的正方形纸，剪成纸，剪成4个完全一样的小正方形纸片，个完全一样的小正方形纸片，这这4个小正方形周长的和比原来的正方个小正方形周长的和比原来的正方形周长增加了多少厘米？形周长增加了多少厘米？第二节第二节 组合图形的面积组合图形的面积第一专题简析：第一专题简析：组合图形是由两个或两个以上的简单的几何图形组合而组合图形是由两个或两个以上的简单的几何图形组合而成的。组合的形式分为两种：成的。组合的形式分为两种：一是拼合组合，二是重一是拼合组合，二是重叠组合叠组合。要正确解答
4、组合图形的面积，应该注意以下。要正确解答组合图形的面积，应该注意以下几点：几点：1，切实掌握有关简单图形的概念、公式，牢固建立空，切实掌握有关简单图形的概念、公式，牢固建立空间观念；间观念；2，仔细观察，认真思考，看清所求图形是由哪几个基，仔细观察，认真思考，看清所求图形是由哪几个基本图形组合而成的；本图形组合而成的；3，适当采用增加辅助线等方法帮助解题；，适当采用增加辅助线等方法帮助解题；4，采用割、补、分解、代换等方法，可将复杂问题变，采用割、补、分解、代换等方法，可将复杂问题变得简单。得简单。例例1 ： 一个等腰直角三角形，最长一个等腰直角三角形，最长的边是的边是12厘米，这个三角形的面
5、积厘米，这个三角形的面积是多少平方厘米？是多少平方厘米？l分析与解答分析与解答 ： 由于此三角形中只知道最长的由于此三角形中只知道最长的边是边是12厘米，所以，不能用三角形的面积公式厘米，所以，不能用三角形的面积公式来计算它的面积。我们可以假设有来计算它的面积。我们可以假设有4个这样的个这样的三角形，且拼成了下图正方形。显然，这个正三角形，且拼成了下图正方形。显然，这个正方形的面积是方形的面积是1212，那么，一个三角形的面，那么，一个三角形的面积就是积就是12124=36平方厘米。平方厘米。例例3： 四边形四边形ABCD和四边形和四边形DEFG都都是正方形，已知三角形是正方形，已知三角形AF
6、H的面积是的面积是7平方厘米。三角形平方厘米。三角形CDH的面积是多少的面积是多少平方厘米？平方厘米？分析分析 ： 设大正方形的边长是设大正方形的边长是a，小正方，小正方形的边长是形的边长是b。（1）梯形）梯形EFAD的面积是（的面积是（a+b）b2，三角形，三角形EFC的面积也是的面积也是（a+b）b2。所以，两者的面积相。所以，两者的面积相等。等。（2）因为三角形）因为三角形AFH的面积的面积=梯形梯形EFAD的面积梯形的面积梯形EFHD的面积，而的面积，而三角形三角形CDH的面积的面积=三角形三角形EFC的面积的面积梯形梯形EFHD的面积，所以，三角形的面积，所以，三角形CDH的面积与三
7、角形的面积与三角形AFH的面积相等，的面积相等，也是也是7平方厘米。平方厘米。l例例4 下图中正方形的边长为下图中正方形的边长为8厘米，厘米，CE为为20厘厘米，梯形米，梯形BCDF的面积是多少平方厘米？的面积是多少平方厘米？l分析分析 ：要求梯形的面积，关键是要求出上：要求梯形的面积，关键是要求出上底底FD的长度。连接的长度。连接FC后就能得到一个三角后就能得到一个三角形形EFC，用三角形，用三角形EBC的面积减去三角形的面积减去三角形FBC的面积就能得到三角形的面积就能得到三角形EFC的面积：的面积：8202882=48平方厘米。平方厘米。FD=48220=4.8厘米，所求梯形的面积就厘米
8、，所求梯形的面积就是（是（4.88）82=51.2平方厘米。平方厘米。例例5 图中图中ABCD是长方形，长为是长方形，长为6，宽为，宽为4，三角形三角形EFD的面积比三角形的面积比三角形ABF的面积大的面积大6平方平方厘米，求厘米，求ED的长。的长。l 分析：分析： 因为三角形因为三角形EFD的面积比三角形的面积比三角形ABF的面积大的面积大6平方厘米，所以，三角形平方厘米，所以，三角形BCE的面积比长方形的面积比长方形ABCD的面积大的面积大6平方平方厘米。三角形厘米。三角形BCE的面积是的面积是646=30平平方厘米，方厘米，EC的长则是的长则是3026=10厘米。因厘米。因此，此，ED的
9、长是的长是104=6厘米。厘米。组合图形的面积（二）组合图形的面积（二） 专题简析：专题简析：在组合图形中，三角形的面积出现的机会很多，在组合图形中，三角形的面积出现的机会很多，解题时我们还可以记住下面三点：解题时我们还可以记住下面三点：1，两个三角形等底、等高，其面积相等；，两个三角形等底、等高，其面积相等；2，两个三角形底相等，高成倍数关系，面积也，两个三角形底相等，高成倍数关系，面积也成倍数关系；成倍数关系；3，两个三角形高相等，底成倍数关系，面积也，两个三角形高相等，底成倍数关系，面积也成倍数关系。成倍数关系。l例题例题2 下图中，边长为下图中，边长为10和和15的两个正方体的两个正方
10、体并放在一起，求三角形并放在一起，求三角形ABC（阴影部分）的面（阴影部分）的面积。积。l分析分析 三角形三角形ADC的面积是的面积是10152=75，而三角形而三角形ABC的高是三角形的高是三角形BCD高的高的1510=1.5倍，它们都以倍，它们都以BC为边为底，所为边为底，所以，三角形以，三角形ABC的面积是三角形的面积是三角形BCD的的1.5倍。阴影部分的面积是：倍。阴影部分的面积是：7.5（11.5）1.5=45。例题例题3 ： 两条对角线把梯形两条对角线把梯形ABCD分割成四个分割成四个三角形。已知两个三角形的面积（如图所示），三角形。已知两个三角形的面积（如图所示），求另两个三角形
11、的面积各是多少？（单位：求另两个三角形的面积各是多少？（单位：平方厘米）平方厘米）分析：分析：1，因为三角形，因为三角形ABD与三角形与三角形ACD等底等高，等底等高，所以面积相等。因此，三角形所以面积相等。因此，三角形ABO的面积的面积和三角形和三角形DOC的面积相等，也是的面积相等，也是6平方厘米。平方厘米。2，因为三角形，因为三角形BOC的面积是三角形的面积是三角形DOC面面积的积的2倍，所以倍，所以BO的长度是的长度是OD的的2倍，即倍，即三角形三角形ABO的面积也是三角形的面积也是三角形AOD的的2倍。倍。所以，三角形所以，三角形AOD的面积是的面积是62=3平方厘平方厘米。米。l例
12、题例题4 ： 在三角形在三角形ABC中，中，DC=2BD，CE=3AE，阴影部分的面积是，阴影部分的面积是20平平方厘米，求三角形方厘米，求三角形ABC的面积。的面积。分析分析（1）因为）因为CE=3AE，所以，三角形，所以，三角形ADC的面的面积是三角形积是三角形ADE面积的面积的4倍，是倍，是20（13）=80平方厘为；平方厘为；（2）又因为）又因为DC=2BD，所以，三角形，所以，三角形ABD的的面积是三角形面积是三角形ADC面积的一半，是面积的一半，是802=40平方厘米。因此，三角形平方厘米。因此，三角形ABC的的面积是面积是8040=120平方厘主。平方厘主。复杂面积问题复杂面积问
13、题专题简析：专题简析：解答有关解答有关“图形面积图形面积”问题时，应注意以下问题时，应注意以下几点：几点：1，细心观察，把握图形特点，细心观察，把握图形特点，合理地进行切合理地进行切拼拼，从而使问题得以顺利地解决；，从而使问题得以顺利地解决；2，从整体上观察图形特征，掌握图形本质，从整体上观察图形特征，掌握图形本质，结合必要的结合必要的分析推理和计算，使隐蔽的数分析推理和计算，使隐蔽的数量关系明朗化量关系明朗化。l例例4：街心花园中一个正方形的花坛四：街心花园中一个正方形的花坛四周有周有1米宽的水泥路，如果水泥路的总米宽的水泥路，如果水泥路的总面积是面积是12平方米，中间花坛的面积是平方米，中
14、间花坛的面积是多少平方米？多少平方米？例例1：街心花园中一个正方形的花坛四周有：街心花园中一个正方形的花坛四周有1米宽的水泥路，如果水泥路的总面积是米宽的水泥路，如果水泥路的总面积是12平平方米，中间花坛的面积是多少平方米？方米，中间花坛的面积是多少平方米？分析与解答：分析与解答： 把水泥路分成四个同样大小的长方形把水泥路分成四个同样大小的长方形（如下图）。因此，一个长方形的面积（如下图）。因此，一个长方形的面积是是124=3平方米。因为水泥路宽平方米。因为水泥路宽1米，米，所以小长方形的长是所以小长方形的长是31=3米。从图中米。从图中可以看出正方形花坛的边长是小长方形可以看出正方形花坛的边
15、长是小长方形长与宽的差，所以小正方形的边长是长与宽的差，所以小正方形的边长是31=2米。中间花坛的面积是米。中间花坛的面积是22=4平方米。平方米。l例例2：一块正方形的钢板，先截去宽：一块正方形的钢板，先截去宽5分米的长分米的长方形，又截去宽方形，又截去宽8分米的长方形（分米的长方形（如图如图），面），面积比原来的正方形减少积比原来的正方形减少181平方分米。原正方平方分米。原正方形的边长是多少？形的边长是多少？分析与解答：分析与解答： 把阴影部分剪下来，并把剪下的两个把阴影部分剪下来，并把剪下的两个小长方形拼起来（如图），再被上长、小长方形拼起来（如图），再被上长、宽分别是宽分别是8分米、
16、分米、5分米的小长方形，分米的小长方形，这个拼合成的长方形的面积是这个拼合成的长方形的面积是181+85=221平方分米，长是原来正平方分米，长是原来正方形的边长，宽是方形的边长，宽是8+5=13分米。所以，分米。所以，原来正方形的边长是原来正方形的边长是22113=17分米。分米。第三节第三节 体积体积专题简析：专题简析：解答立体图形的体积问题时，要注意以下几解答立体图形的体积问题时，要注意以下几点：点：（1）物体沉入水中，物体沉入水中，水面上升部分的体积等水面上升部分的体积等于物体的体积。把物体从水中取出，水面于物体的体积。把物体从水中取出，水面下降部分的体积等于物体的体积。这是物下降部分
17、的体积等于物体的体积。这是物体全部浸没在水中的情况。体全部浸没在水中的情况。如果物体不全如果物体不全部浸在水中部浸在水中，那么排开水的体积就等于浸，那么排开水的体积就等于浸在水中的那部分物体的体积。在水中的那部分物体的体积。解答立体图形的体积问题时要注意：解答立体图形的体积问题时要注意：（2）把一种形状的物体变为另一种形状的物）把一种形状的物体变为另一种形状的物体后，形状变了，但它的体积保持不变。体后，形状变了，但它的体积保持不变。（3）求一些不规则形体体积时，可以通过变）求一些不规则形体体积时，可以通过变形的方法求体积。形的方法求体积。（4）求与体积相关的最大、最小值时，要大）求与体积相关的
18、最大、最小值时，要大胆想象，多思考、多尝试，防止思维定势。胆想象，多思考、多尝试，防止思维定势。l例题例题1：有大、中、小三个正方体水池，它：有大、中、小三个正方体水池，它们的内边长分别为们的内边长分别为6米、米、3米、米、2米。把两堆米。把两堆碎石分别沉在中、小水池里，两个水池水碎石分别沉在中、小水池里，两个水池水面分别升高了面分别升高了6厘米和厘米和4厘米。如果将这两厘米。如果将这两堆碎石都沉在大水池里，大水池的水面升堆碎石都沉在大水池里，大水池的水面升高多少厘米？高多少厘米？分析：中、小水池升高部分是一个长方体，它的分析：中、小水池升高部分是一个长方体，它的体积就等同于碎石的体积。两个水
19、池水面分别体积就等同于碎石的体积。两个水池水面分别升高了升高了6厘米和厘米和4厘米，两堆碎石的体积就是厘米，两堆碎石的体积就是330.06+220.04=0.7（立方米）。把它沉（立方米）。把它沉到大水池里，水面升高部分的体积也就是到大水池里，水面升高部分的体积也就是0.7立方米，再除以它的底面积就能求得升高了多立方米，再除以它的底面积就能求得升高了多少厘米。少厘米。 330.06+220.04=0.7（立方米）（立方米）0.76的平方的平方=7/360（米）（米）=1又又17/18（厘米）（厘米） l例题例题2：一个底面半径是：一个底面半径是10厘米的圆柱形瓶厘米的圆柱形瓶中，水深中，水深8
20、厘米，要在瓶中放入长和宽都是厘米，要在瓶中放入长和宽都是8厘米、高是厘米、高是15厘米的一块铁块，把铁块竖厘米的一块铁块，把铁块竖放在水中，水面上升几厘米？放在水中，水面上升几厘米？分析：分析：l在瓶中放铁块要考虑铁块是全部沉入水中，还在瓶中放铁块要考虑铁块是全部沉入水中，还是部分沉入水中。如果铁块是全部沉入水中，是部分沉入水中。如果铁块是全部沉入水中，排开水的体积是排开水的体积是8815=960（立方厘米）。（立方厘米）。而现在瓶中水深是而现在瓶中水深是8厘米，要淹没厘米，要淹没15厘米高的厘米高的铁块，水面就要上升铁块，水面就要上升158=7（厘米），需要（厘米），需要排开水的体积是（排开
21、水的体积是（3.14101088）7=1750（立方厘米），可知铁块是部（立方厘米），可知铁块是部分在水中。分在水中。分析：分析：当铁块放入瓶中后，瓶中水所接触的底面积就是当铁块放入瓶中后，瓶中水所接触的底面积就是3.14101088=250（平方厘米）。水的形状变了，（平方厘米）。水的形状变了，但体积还是但体积还是3.1410108=2512（立方厘米）。水的（立方厘米）。水的高度是高度是2512250=10.048（厘米），上升（厘米），上升10.0488=2.048（厘米）（厘米）3.1410108（3.14101088）8=25122508=10.0488=2.048（厘米）（厘米）l
22、例题例题3：某面粉厂有一容积是：某面粉厂有一容积是24立方米的长立方米的长方体储粮池，它的长是宽或高的方体储粮池，它的长是宽或高的2倍。当贴倍。当贴着它一最大的内侧面将面粉堆成一个最大着它一最大的内侧面将面粉堆成一个最大的半圆锥体时，求这堆面粉的体积（如图的半圆锥体时，求这堆面粉的体积（如图28-1所示）。所示）。分析：分析：设圆锥体的底面半径是设圆锥体的底面半径是r，则长方体的高和宽也都是，则长方体的高和宽也都是r，长是，长是2r。长方体的容积是。长方体的容积是2rrr=24，即，即r的立的立方方=12。这个半圆锥体的体积是。这个半圆锥体的体积是1/3r的平方的平方r2=1/6r的立方，将的
23、立方，将r的立方的立方=12代入，就可以代入，就可以求得面粉的体积。求得面粉的体积。设圆锥体的底面半径是设圆锥体的底面半径是r，则长方体的容积是，则长方体的容积是2rrr=24，r的立方的立方=12。1/33.14r的平方的平方r2=1/63.14r的立方的立方=1/63.1412=6.28（立方米）（立方米）l例题例题4：如果把：如果把12件同样的长方体物品打包，件同样的长方体物品打包，形成一件大的包装物，有几种包装方法？怎样形成一件大的包装物，有几种包装方法？怎样打包物体的表面积最小呢？打包物体的表面积最小呢？分析：分析：l设长方体物品的长、宽、高分别是设长方体物品的长、宽、高分别是a、b
24、、c，并且并且abc（入土（入土28-4）。比较）。比较“34”和和“26”两种包法。图两种包法。图28-5中大长方体表面积中大长方体表面积为为6ab+8ac+24bc，图，图28-6中大长方体的表中大长方体的表面积为面积为4ab+12ac+24bc，两个式子中都曲，两个式子中都曲调相同的部分调相同的部分4ab+8ac+24bc后，后，式与式与式式的大小要看的大小要看2ab与与4ac的大小。（的大小。（1）当）当b=2c时，时，2ab=￥ac，两种包法相同。（，两种包法相同。（2）当）当b2c时，时，“34”的包法表面积最小。（的包法表面积最小。（3）当）当b2c时，时，“26”的包法表面积最
25、小。的包法表面积最小。l例题例题5：一只集装箱，它的内尺寸是：一只集装箱，它的内尺寸是181818。现在有批货箱，它的外尺寸是。现在有批货箱，它的外尺寸是149。问这只集装箱能装多少只货箱？。问这只集装箱能装多少只货箱？分析：因为集装箱内尺寸分析：因为集装箱内尺寸18不是货箱尺寸不是货箱尺寸4的倍数，的倍数，所以，只能先在所以，只能先在181618的空间放货箱，可放的空间放货箱，可放181618（149）=144（只）。这时还有（只）。这时还有18218的空间，但只能在的空间，但只能在18216的空间放货的空间放货箱，可放箱，可放18216（149）=16（只）。最后（只）。最后剩下剩下182
26、2的空间无法再放货箱，所以最多能装的空间无法再放货箱，所以最多能装144+16=160（只）。（只）。181618（149）+18216（149）=144+16=160（只）（只） 第第4讲讲 表面积表面积专题简析：专题简析：l小学阶段所学的立体图形主要有四种长方体、小学阶段所学的立体图形主要有四种长方体、 正方体、圆柱体和圆锥体。正方体、圆柱体和圆锥体。 l在解答立体图形的表面积问题时，要注意以下几在解答立体图形的表面积问题时，要注意以下几点：点：（1）充分利用）充分利用正方体正方体六个面六个面 的面积都相等，每个的面积都相等，每个面都是正方形的特点。面都是正方形的特点。（2）把一个立体图形
27、切成两部分，新增加的表面积）把一个立体图形切成两部分，新增加的表面积等于等于切面面积的两倍切面面积的两倍。反之，把两个立体图形粘。反之，把两个立体图形粘合到一起，减少的表面积等于合到一起，减少的表面积等于粘合面积粘合面积的两倍。的两倍。（3）若把几个长方体拼成一个）若把几个长方体拼成一个表面积最大表面积最大的长方体，的长方体，应把它们最小的面拼合起来。若把几个长方体拼应把它们最小的面拼合起来。若把几个长方体拼成一个成一个表面积最小表面积最小的长方体，应把它们最大的面的长方体，应把它们最大的面拼合起来。拼合起来。l例题例题1：从一个棱长：从一个棱长10厘米的正方体木块上厘米的正方体木块上挖去一个
28、长挖去一个长10厘米、宽厘米、宽2厘米、高厘米、高2厘米的厘米的小长方体，剩下部分的表面积是多少？小长方体，剩下部分的表面积是多少？这是一道开放题，分几种情况考虑：这是一道开放题，分几种情况考虑：按图按图27-1所示，沿着一条棱挖，剩下部分的表面所示，沿着一条棱挖，剩下部分的表面积为积为592平方厘米。平方厘米。按图按图27-2所示，在某个面挖，剩下部分的表面积所示，在某个面挖，剩下部分的表面积为为632平方厘米。平方厘米。按图按图27-3所示，挖通某两个对面，剩下部分的表所示，挖通某两个对面，剩下部分的表面积为面积为672平方厘米。平方厘米。l例题例题2：把：把19个棱长为个棱长为3厘米的正
29、方体重叠起来，厘米的正方体重叠起来，如图如图27-4所示，拼成一个立体图形，求这个立所示，拼成一个立体图形，求这个立 体图形的表面积。体图形的表面积。l要求这个复杂形体的表面积，必须从整体入手，要求这个复杂形体的表面积，必须从整体入手，从上、左、前三个方向观察，每个方向上的小从上、左、前三个方向观察，每个方向上的小正方体各面就组合成了如下图形（如图正方体各面就组合成了如下图形（如图27-5所所示）。示）。而从另外三个方向上看到的面积与以上三个方向而从另外三个方向上看到的面积与以上三个方向的面积是相等的。整个立体图形的表面积可采的面积是相等的。整个立体图形的表面积可采用（用（S上上+S左左+S前
30、）前）2来计算。来计算。（339+338+3310）2=（81+72+90）2=2432=486（平方厘米）（平方厘米）l例题例题3：把两个长、宽、高分别是：把两个长、宽、高分别是9厘米、厘米、7厘厘米、米、4厘米的相同长方体，拼成一个厘米的相同长方体，拼成一个 大长方体，大长方体，这个大长方体的表面积最少是多少平方厘米？这个大长方体的表面积最少是多少平方厘米？分析：把两个相同的大长方体拼成一个大厂房体，分析：把两个相同的大长方体拼成一个大厂房体，需要把两个相同面拼合，所得大厂房体的表面需要把两个相同面拼合，所得大厂房体的表面积就减少了两个拼合面的面积。要使大长方体积就减少了两个拼合面的面积。
31、要使大长方体的表面积最小，就必须使两个拼合面的面积最的表面积最小，就必须使两个拼合面的面积最大，即减少两个大，即减少两个97的面。的面。（99+94+74）22972=（63+36+28）4126=508126=382（平方厘米）（平方厘米）l例题例题4：一个长方体，如果长增加：一个长方体，如果长增加2厘厘米，则体积增加米，则体积增加40立方厘米；如果宽立方厘米；如果宽增加增加3厘米，则体积增加厘米，则体积增加90立方厘米；立方厘米；如果高增加如果高增加4厘米，则体积增加厘米，则体积增加96立方立方里，求原长方体的表面积。里，求原长方体的表面积。分析：我们知道：体积分析：我们知道：体积=长长宽
32、宽高；由长高；由长增加增加2厘米，体积增加厘米，体积增加40立方厘米，可立方厘米，可知宽知宽高高=402=20（平方厘米）；由（平方厘米）；由宽增加宽增加3厘米，体积增加厘米，体积增加90立方厘米，立方厘米，可知长可知长高高=903=30（平方厘米）；（平方厘米）；由高增加由高增加4厘米，体积增加厘米，体积增加96立方厘米，立方厘米，可知长可知长宽宽=964=24（平方厘米）。（平方厘米）。而长方体的表面积而长方体的表面积=（长（长宽宽+长长高高+宽宽高）高）2=（20+30+24）2=148（平（平方厘米）。方厘米）。即：即：402=20（平方厘米）（平方厘米）903=30（平方厘米）（平方
33、厘米）964=24（平方厘米）（平方厘米）（30+20+24）2=742=148（平方厘米）（平方厘米） 答：原答：原 长方体的表面积是长方体的表面积是148平方厘平方厘米。米。l例题例题5：如图：如图27-10所示，将高都是所示，将高都是1米，底面米，底面半径分别为半径分别为1.5米、米、1米和米和0.5米的三个圆柱组米的三个圆柱组成一个物体。求这个物体的表面积。成一个物体。求这个物体的表面积。 如果分别求出三个圆柱的表面积，再减去如果分别求出三个圆柱的表面积，再减去重叠部分的面积，这样计算比较麻烦。实重叠部分的面积，这样计算比较麻烦。实际上三个向上的面的面积和恰好是大圆柱际上三个向上的面的面积和恰好是大圆柱的一个底面积。这样，这个物体的表面积的一个底面积。这样，这个物体的表面积就等于一个大圆柱的表面积加上中、小圆就等于一个大圆柱的表面积加上中、小圆柱的侧面积。柱的侧面积。3.141.51.52+23.141.51+23.1411+23.140.51=3.14（4.5+3+2+1）=3.1410.5=32.97（平方米）（平方米）下次课内容：下次课内容：l数图形l体积l一笔画问题l错中求解
