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1、第八章 不定积分 8.1不定积分的概念不定积分的概念与基本积分公式与基本积分公式 8.2换元积分法 8.3分部积分法 8.4几类特殊函数的不定积分 8.1 不定积分的概念和基本积分公式不定积分的概念和基本积分公式uu原函数和不定积分原函数和不定积分uu基本积分公式表基本积分公式表uu不定积分的线性运算法则不定积分的线性运算法则 例例定义定义1：一、原函数与不定积分的概念一、原函数与不定积分的概念原函数存在定理：原函数存在定理：简言之：简言之：连续函数一定有原函数连续函数一定有原函数.问题：问题：(1) 原函数是否唯一？原函数是否唯一？例例（ 为任意常数）为任意常数）(2) 若不唯一它们之间有什
2、么联系？若不唯一它们之间有什么联系？关于原函数的说明：关于原函数的说明：（1）若）若 ，则对于任意常数，则对于任意常数 ，（2）若）若 和和 都是都是 的原函数，的原函数，则则（ 为任意常数）为任意常数）证证（ 为任意常数）为任意常数） 根据定义，如果 F(x) 是 f(x) 的一个原函数，则其中 C 是任意常数，称为积分常数。二、不定积分二、不定积分 定义定义2 函数f(x)的所有原函数称为f(x)的不定积分，任任意意常常数数积积分分号号被被积积函函数数被被积积表表达达式式积积分分变变量量不定积分的相关名称：不定积分的相关名称： 叫做积分号， f(x) 叫做被积函数， f(x)dx 叫做被积
3、表达式， x 叫做积分变量。 例例1 例例2 例例3 解：解：-1 O 1 x y y=x2 函数f(x)的原函数的图形称为f(x)的积分曲线。C1 y=x2+C1 C2 y=x2+C2 C3 y=x2+C3 函数f(x)的积分曲线也有无限多条。函数f(x)的不定积分表示f(x)的一簇积分曲线，而f(x)正是积分曲线的斜率。三、不定积分的几何意义三、不定积分的几何意义 例例4求过点(1, 3)，且其切线斜率为2x的曲线方程。 解解：设所求的曲线方程为 yf(x)，则 y f (x) 2x， 即f(x)是2x 的一个原函数。 因为所求曲线通过点(1, 3)， 故 31C，C2。 于是所求曲线方程
4、为 yx22。-2 -1 O 1 2 x-2 -1 1 2 yyx2+2 yx2(1, 3) 所以y=f(x)x2C。实例实例启示启示能否根据求导公式得出积分公式？能否根据求导公式得出积分公式？结论结论既然积分运算和微分运算是互逆的，因既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式此可以根据求导公式得出积分公式.四、四、 基本积分公式基本积分公式基基本本积积分分表表是常数是常数);说明：说明：简写为简写为例例 求积分求积分解解根据积分公式（根据积分公式（2）例例1例例2例例3例例4例例5例例6例例7例例8例例9例例10例例11例例12证证等式成立等式成立.（此性质可推广到有限
5、多个函数之和的情况）（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）五五 、 不定积分的性质不定积分的性质例例1313 求积分求积分解解说明：说明： 以上几例中的被积函数都需要进行以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形，才能使用基本积分表恒等变形，才能使用基本积分表.解解所求曲线方程为所求曲线方程为例例 1414 已知一曲线已知一曲线)(xfy = =在点在点)(,(xfx处的处的切线斜率为切线斜率为xxsinsec2+ +，且此曲线与，且此曲线与y轴的交轴的交点为点为)5 , 0(，求此曲线的方程，求此曲线的方程. 基本积分表基本积分表(1)不定积分的性质不定积分的性质 原函数的概念：原函数的概念：不定积分的概念：不定积分的概念：求微分与求积分的互逆关系求微分与求积分的互逆关系小结思考题思考题符号函数符号函数在在 内是否存在原函数？为什么内是否存在原函数？为什么？
