第一章：重力场的概念和性质

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1、物理大地测量物理大地测量主讲主讲: : 张永志张永志 长安大学地质工程与测绘学院长安大学地质工程与测绘学院20012 目目 录录第一章第一章 重力场的概念和性质重力场的概念和性质第二章第二章 位理论边值问题位理论边值问题第三章第三章 斯托克司边值理论斯托克司边值理论 第四章第四章 球函数及其性质球函数及其性质第五章第五章 重力测量重力测量第六章第六章 重力归算重力归算第七章第七章 卫星重力测量卫星重力测量 第一章第一章 重力场的概念和性质重力场的概念和性质1.1 1.1 万有引力、离心力和重力万有引力、离心力和重力1.2 1.2 引力位、离心力位和重力位的概念引力位、离心力位和重力位的概念1.

2、3 1.3 重力位水准面和大地水准面重力位水准面和大地水准面1.4 1.4 几种简单形体的引力位和引力几种简单形体的引力位和引力1.5 1.5 引力位的一些基本性质引力位的一些基本性质 第二章第二章 位理论边值问题位理论边值问题2.1 2.1 边值问题的概念边值问题的概念2.22.2格林公式格林公式2.3 2.3 格林公式应用例举格林公式应用例举2.4 2.4 泊松积分泊松积分2.5 2.5 边值问题解的唯一性边值问题解的唯一性2.6 2.6 斯托克司定理斯托克司定理第三章 斯托克司边值理论l3.1扰动位、大地水准面高和垂线偏差扰动位、大地水准面高和垂线偏差l3.2 重力异常和斯托克司边值问题

3、重力异常和斯托克司边值问题l3.3重力测量基本微分方程l3.4大地水准面上扰动位的解l3.5斯托克司积分l3.6维宁、曼尼兹公式 第四章第四章 球函数及其性质球函数及其性质4.1 4.1 球坐标中拉普拉斯方程的分离变量解法球坐标中拉普拉斯方程的分离变量解法4.2 4.2 勒让得函数勒让得函数4.3 4.3 边带勒让得函数边带勒让得函数4.4 4.4 球函数球函数4.5 4.5 几何意义几何意义4.6 4.6 正交性和加法公式正交性和加法公式4.7 4.7 母函数和递推公式母函数和递推公式 第五章第五章(1) 绝对绝对 重力测量重力测量5.1 5.1 绝对重力测量的主要方法绝对重力测量的主要方法

4、5.2 5.2 自由落体法测定绝对重力自由落体法测定绝对重力5.3 5.3 摆法测定绝对重力摆法测定绝对重力5.4 5.4 绝对重力测量的应用绝对重力测量的应用 第五章第五章(2) 相对重力测量相对重力测量5.5 5.5 相对重力测量的意义相对重力测量的意义5.6 5.6 静力法测定相对重力静力法测定相对重力5.7 5.7 动力法测定相对重力动力法测定相对重力5.8 5.8 重力格值的测定重力格值的测定5.9 5.9 相对重力测量的应用相对重力测量的应用第六章第六章 重力规算重力规算l6.1 空间改正和空间重力异常空间改正和空间重力异常l6.2 层间改正、地形改正和布格重力异常层间改正、地形改

5、正和布格重力异常l6.3 地壳均衡补偿的概念、均衡改正和均衡重地壳均衡补偿的概念、均衡改正和均衡重力异常力异常 第七章第七章 卫星大地测量卫星大地测量 7.1 7.1 卫星重力测量简介卫星重力测量简介 7.2 CHAMP 7.2 CHAMP 卫星卫星 7.3 GRACE 7.3 GRACE 卫星卫星 7.4 GOCE7.4 GOCE卫星卫星 7.5 7.5 卫星重力测量的应用卫星重力测量的应用 重力测量在测绘工程中的应用重力测量在测绘工程中的应用l7.1 7.1 重力测量在大地水准面精化中的作用重力测量在大地水准面精化中的作用l7.2 GPS7.2 GPS水准测量水准测量l7.3 7.3 重力

6、测量在油、气、矿、煤等勘察中的应用重力测量在油、气、矿、煤等勘察中的应用 l7.4 7.4 重力测量在交通工程中的应用重力测量在交通工程中的应用l7.5 7.5 重力测量在自然灾害监测中的应用重力测量在自然灾害监测中的应用 卫星重力测量卫星重力测量汶川地震的汶川地震的10阶重力测量观测结果阶重力测量观测结果 汶川地震的汶川地震的7070阶重力测量观测结果阶重力测量观测结果 卫星重力反演的布格异常卫星重力反演的布格异常GOCE卫星观测日本卫星观测日本9.0地震区重地震区重力异常力异常GOCE卫星观测日本卫星观测日本9.0地震区重地震区重力异常力异常(Ei 检索检索) 第一章第一章 重力场的概念和

7、性质重力场的概念和性质一一. .万有引力万有引力, ,离心力和重力离心力和重力1.1.万有引力万有引力 万有引力是质量与质量间的一种相互吸引力，简称为引力。万有引力是质量与质量间的一种相互吸引力，简称为引力。在图在图1-11-1中，设有两个质量分别为中，设有两个质量分别为m m和和m m的质点的质点M M和和P P，它们的直角坐标，它们的直角坐标分别为分别为(a,b,c)(a,b,c)和和(x,y,z),(x,y,z),用用r r表示由表示由M M到到P P的相对位矢。的相对位矢。 其中其中 为沿为沿x,y,zx,y,z轴的单位矢量，其模为轴的单位矢量，其模为 m m对对m m的引力为：的引力

8、为：f=6.67f=6.6710-8 其中：其中：f=f=当被吸引质量为单位质点（既当被吸引质量为单位质点（既m m= = 1 1）时，）时， 其三个分量为：其三个分量为：若吸引质点是若吸引质点是n n个（既质点系）时，质点系对单位被吸引质点的引力是个（既质点系）时，质点系对单位被吸引质点的引力是: :若吸引质量集中在质面（如图若吸引质量集中在质面（如图1-21-2），则质面在坐标为（），则质面在坐标为（x,y,z)x,y,z)的的p p点处产生的点处产生的引力是：引力是： 质面引力的三个分量质面引力的三个分量 上式中上式中x,y,zx,y,z在积分号下当做常数在积分号下当做常数. . 吸引质

9、量一般为质体，当质体大小相对研究尺度很小时，可当做质点对待；吸引质量一般为质体，当质体大小相对研究尺度很小时，可当做质点对待；当质体是一薄壳，壳厚度很小，可当做面对待。当质体是一薄壳，壳厚度很小，可当做面对待。 如图如图1-31-3所示：质体占据空间所示：质体占据空间 ，在其内部，在其内部M M（a,b,c)a,b,c)点取体元点取体元 体体密度密度 ，它依赖，它依赖a,b,ca,b,c。 质体在质体在P P（x,y,z)x,y,z)处的引力：处的引力： 质体引力的三个分量：质体引力的三个分量：2.2.离心力离心力 在旋转坐标系中考虑的一个惯性力在旋转坐标系中考虑的一个惯性力离心力。离心力不是

10、物质力。离心力。离心力不是物质力。 如图如图1-4示，坐标系绕示，坐标系绕z轴以角速度轴以角速度 转动，转动，P（x,y,z)点的离心力为：点的离心力为： 其方向垂直于自转轴向外，矢量形式写为其方向垂直于自转轴向外，矢量形式写为 ： P随到自转轴距离的增大而增大随到自转轴距离的增大而增大 3.3.重力重力 重力是指相对于地球固定的单位质点所受的力，由于地球自传，重力是指相对于地球固定的单位质点所受的力，由于地球自传，所以重力是引力和离心力的和，既所以重力是引力和离心力的和，既 其中：其中： 地球及所有其他天体质量产生的引力地球及所有其他天体质量产生的引力 相对于地球瞬时角速度的离心力相对于地球

11、瞬时角速度的离心力 （对重力定义加以限制后，谈到重力指地球质量产生的引力与相对于（对重力定义加以限制后，谈到重力指地球质量产生的引力与相对于地球的平均角速度及平均地极的离心力之和）地球的平均角速度及平均地极的离心力之和）4.4.单位单位 万有引力，离心力，重力均指单位质点所受的力，其大小与相应万有引力，离心力，重力均指单位质点所受的力，其大小与相应的加速度相等。基本单位：的加速度相等。基本单位： 伽（伽（gal)= gal)= 毫伽（毫伽（mgal)= mgal)= 伽伽 微伽（微伽（ ）= = 毫伽。毫伽。5.5.场的概念场的概念 某一空间区域某一空间区域V V中每一点都有唯一的一个数量或矢

12、量与之对应，则中每一点都有唯一的一个数量或矢量与之对应，则在在V V中给定了一个数量场或矢量场。中给定了一个数量场或矢量场。 与引力与引力, ,重力重力, ,离心力相关的场为：引力场离心力相关的场为：引力场, ,重力场重力场, ,离心力场。离心力场。二二. .引力位，离心力位，和重力位的概念引力位，离心力位，和重力位的概念1.1.力位的概念力位的概念 力场力场 ( (表示为表示为: ): )存在标量函数存在标量函数 , ,使使 , ,用矢量写成用矢量写成 则则 称为力称为力 的力位的力位. . 是是 的梯度的梯度. .即力是力位的梯度即力是力位的梯度. .更进一步讲更进一步讲, ,力位相对任意

13、方向的方向导数等于力沿该方向的投影，如沿力位相对任意方向的方向导数等于力沿该方向的投影，如沿l l方向的投影为：方向的投影为： 由方向导数的性质由方向导数的性质 和力位的定义式得：和力位的定义式得：2.2.质点质点. .质点系质点系. .质面和质体的引力位质面和质体的引力位 质点引力位：质点引力位： 质点系的引力位：质点系的引力位： 质面的引力位：质面的引力位： 质体的引力位：质体的引力位：引力位是根据引力定义的（先有引力后有引力位）引力位是根据引力定义的（先有引力后有引力位）引力位具有可加性（由引力的可加性得出）引力位具有可加性（由引力的可加性得出）3.3.偶极位和双层位偶极位和双层位偶极位

14、：偶极位： 如图如图1-5所示，所示，+m和和-m为两质点，其在为两质点，其在p点产生的引力位之和为点产生的引力位之和为: 将将 展开成级数形式带入，并令展开成级数形式带入，并令h等于零，可得到偶极位的表达式等于零，可得到偶极位的表达式为：为： 由方向导数的定义，由方向导数的定义， 偶极位的另一种表达形式为：偶极位的另一种表达形式为：双层位双层位 如图如图1-6所示，无限接近的两个质面所示，无限接近的两个质面 ， 过过 上的上的 点做法线交于点做法线交于M，质面，质面 在在p点的引力位之和为：点的引力位之和为： 若令若令h趋于趋于0，两质面重合，则上式为：，两质面重合，则上式为： 假定假定h趋

15、于趋于0时时 趋于无穷大，并令趋于无穷大，并令 不随不随h趋于趋于0而趋于而趋于0，则得双层位的表达式，则得双层位的表达式 又由方向导数的定义，可得到双层位的另一种表达式：又由方向导数的定义，可得到双层位的另一种表达式： 注：偶极位和双层位只有数学意义，没有物理意义。注：偶极位和双层位只有数学意义，没有物理意义。 4.4.离心力位和重力位离心力位和重力位 离心力位表达式：离心力位表达式： 重力位是地球质量的引力位和离心力位的和，重力位是地球质量的引力位和离心力位的和，W=V+QW=V+Q 所以重力位表达式为：所以重力位表达式为： 地球质量所占空间地球质量所占空间 地球密度地球密度 r r 到计

16、算到计算W W的点间的距离的点间的距离 地球自传角速度地球自传角速度 坐标原点到计算坐标原点到计算W W的点间的距离的点间的距离 计算计算W W的点和地球角速度方向在坐标原点的夹角的点和地球角速度方向在坐标原点的夹角三三.重力位水准面和大地水准面重力位水准面和大地水准面 重力位水准面：在一个曲面上各点的重力位相等，则称这个曲面为重重力位水准面：在一个曲面上各点的重力位相等，则称这个曲面为重力位水准面。重力位水准面方程：力位水准面。重力位水准面方程：W=常数常数.同一重力位水准面上重力位相等，不同重力位水准面上重力位不等。同一重力位水准面上重力位相等，不同重力位水准面上重力位不等。任意一点的重力

17、垂直于通过该点的重力位水准面。任意一点的重力垂直于通过该点的重力位水准面。重力位水准面之间不一定平行，且既不相交也不相切。重力位水准面之间不一定平行，且既不相交也不相切。无限接近的两个重力位水准面之间的距离与重力大小成反比。无限接近的两个重力位水准面之间的距离与重力大小成反比。重力位相差重力位相差dW的的 两个重力位水准面间的距离为：两个重力位水准面间的距离为： 大地水准面：与平均海水面最接近的重力位水准面。大地水准面：与平均海水面最接近的重力位水准面。 GPS水准测量水准测量参考椭球大地水准面地面HNh似大地水准面 正高与正常高的关系正高与正常高的关系l正高l正常高四四.几种简单形体的引力位

18、和引力几种简单形体的引力位和引力1.1.均质球面的引力位和引力均质球面的引力位和引力 如图如图1-7半径为半径为R的均质球面的均质球面 在在p点的引力位：点的引力位： 由球坐标可得由球坐标可得若若p点位于球外部：点位于球外部：若若p点位于球内部：点位于球内部： 外部引力为：外部引力为： 内部引力为：内部引力为：均质球面的引力位是连续的，引力在经过球面时不连续。均质球面的引力位是连续的，引力在经过球面时不连续。均质球面在外部的引力位及引力相当于其质量集中在球心处的质点的均质球面在外部的引力位及引力相当于其质量集中在球心处的质点的引力位及引力。引力位及引力。3.3.均质球体的引力位和引力均质球体的

19、引力位和引力 若若p p点位于球外部，相对与所有球层点位于球外部，相对与所有球层 都是外部点都是外部点 若若p p点位于球内部，点位于球内部， 均质球体在内部的引力位为：均质球体在内部的引力位为： . .均质球体的引力位和引力均质球体的引力位和引力3.均质圆平面的引力位和引力均质圆平面的引力位和引力 如图如图1-9圆平面对称轴上圆平面对称轴上p点处引力位为：点处引力位为： 当当p点位于圆平面上方时，点位于圆平面上方时，Z0 当当p点位于圆平面下方时，点位于圆平面下方时，Z0 其引力为：其引力为：若若p点位于圆柱体内部，点位于圆柱体内部，z0.引力引力 +五五. .引力位的一些基本性质引力位的一些基本性质1.1.引力位是无穷远处的正则函数。引力位是无穷远处的正则函数。 满足：满足：2.2.质面的引力位是处处有界的和连续的，其一阶导数在经过质面的引力位是处处有界的和连续的，其一阶导数在经过质面时不连续。质面时不连续。3.3.双层位在穿过层面时不连续。双层位在穿过层面时不连续。4.4.质体引力位及其一阶导数是处处连续的。质体引力位及其一阶导数是处处连续的。5.5.引力位在吸引质量外部满足拉普拉斯方程。引力位在吸引质量外部满足拉普拉斯方程。6.6.质体引力位在质体内部满足泊松方程。质体引力位在质体内部满足泊松方程。