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1、第二节与圆有关的位置关系知识点一知识点一 点与圆、直线与圆的位置关系点与圆、直线与圆的位置关系1 1点与圆的位置关系点与圆的位置关系设圆的半径为设圆的半径为r r，点到圆心的距离为，点到圆心的距离为d d，则：，则：(1)(1)点在圆外点在圆外d_rd_r；(2)(2)点在圆上点在圆上d_rd_r；(3)(3)点在圆内点在圆内d_rd_r. . 2 2直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系设圆的半径为设圆的半径为r r，圆心到直线的距离，圆心到直线的距离OPOPd d，知识点二知识点二 切线的性质与判定切线的性质与判定1 1切线：直线和圆有切线：直线和圆有_的公共点的公共点( (即直线和圆相切即
2、直线和圆相切) )时，时，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点2 2切线的性质：圆的切线切线的性质：圆的切线_于过切点的半径于过切点的半径 唯一唯一 垂直垂直 3 3切线的判定切线的判定(1)(1)定义判定：和圆有定义判定：和圆有_公共点的直线是圆的切线公共点的直线是圆的切线(2)(2)数量关系：圆心到直线的距离等于数量关系：圆心到直线的距离等于_的直线是圆的的直线是圆的切线切线(3)(3)定理：过半径外端且定理：过半径外端且_于半径的直线是圆的切线于半径的直线是圆的切线 唯一唯一 半径半径 垂直垂直 4 4切线长：过圆外一点画圆的切线，
3、这点和切点之间的线切线长：过圆外一点画圆的切线，这点和切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长段长叫做这点到圆的切线长切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线长切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线长_ 相等相等 知识点三知识点三 三角形的内切圆三角形的内切圆1 1和三角形各边都和三角形各边都_的圆叫做三角形的内切圆，内切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心圆的圆心叫做三角形的内心2 2三角形的内心是三角形的三条三角形的内心是三角形的三条_的交点，它到的交点，它到三角形三边的距离相等三角形三边的距离相等3 3三角形的内心都在三角形的内部三角形的内心都在三角形的内部 相切相切 角平
4、分线角平分线 若已知若已知O O是是ABCABC的内切圆，三角形三边长分别为的内切圆，三角形三边长分别为a a，b b，c c，面积为面积为S S，圆的半径为，圆的半径为r r，则，则r r . .特别地，当特别地，当ABCABC是是直角三角形，直角三角形，C C9090，则，则r r (a(ab bc)c)考点一考点一 点、直线与圆的位置关系点、直线与圆的位置关系 (5(5年年0 0考考) )例例1 1 如图，两个同心圆，大圆的半径为如图，两个同心圆，大圆的半径为5 5，小圆的半径为，小圆的半径为3 3，若大圆的弦若大圆的弦ABAB与小圆相交，则弦与小圆相交，则弦ABAB的取值范围是的取值范
5、围是 【分析分析】 先确定出当先确定出当ABAB与小圆相切时的值，由弦与小圆相切时的值，由弦ABAB与小圆与小圆相交，明确相交，明确ABAB与小圆有两个交点，则与小圆有两个交点，则ABAB应大于这个值，再由应大于这个值，再由大圆的直径确定出大圆的直径确定出ABAB的最大值即可的最大值即可【自主解答自主解答】 如图，当如图，当ABAB向下移动到向下移动到ABAB位置，恰好位置，恰好与小圆相切时有一个公共点与小圆相切时有一个公共点D D，连接，连接OAOA，ODOD，则，则ODAB.ODAB.ODABODAB，ADADBD.BD.在在RtRtADOADO中，中，ODOD3 3，OAOA5 5，AD
6、AD4 4，ABAB2AD2AD8.8.当当ABAB恰好是大圆的直径时，恰好是大圆的直径时，ABAB1010，ABAB的取值范围是的取值范围是8 8AB10.AB10.故答案为故答案为8AB10.8AB10.1 1(2017(2017枣庄枣庄) )如图，在网格中如图，在网格中( (每个小正方形的边长均每个小正方形的边长均为为1 1个单位个单位) )选取选取9 9个格点个格点( (格线的交点称为格点格线的交点称为格点) )如果以如果以A A为圆心，为圆心，r r为半径画圆，选取的格点中除点为半径画圆，选取的格点中除点A A外恰好有外恰好有3 3个在个在圆内，则圆内，则r r的取值范围为的取值范围
7、为( )( )B B2 2如图，已知点如图，已知点A A，B B在半径为在半径为1 1的的O O上，上，AOBAOB6060，延长延长OBOB至点至点C C，过点，过点C C作直线作直线OAOA的垂线，记为的垂线，记为l l，则下列说法，则下列说法正确的是正确的是( )( )A A当当BCBC等于等于0.50.5时，时，l l与与O O 相离相离B B当当BCBC等于等于2 2时，时，l l与与O O 相切相切C C当当BCBC等于等于1 1时，时，l l与与O O 相交相交D D当当BCBC不为不为1 1时，时，l l与与O O不相切不相切D D3 3在在RtRtABCABC中，中，ACAC
8、3 3，BCBC4 4，以，以C C为圆心，以为圆心，以r r为半径为半径作圆若此圆与线段作圆若此圆与线段ABAB只有一个交点，则只有一个交点，则r r的取值范围为的取值范围为_ 3 3r4r4或或r r 考点二考点二 切线的性质与判定切线的性质与判定 (5(5年年5 5考考) )命题角度命题角度切线的性质切线的性质例例2 2(2016(2016济南济南) )如图，如图，ABAB是是O O的直径，的直径，PAPA与与O O相切于点相切于点A A，OPOP与与O O 相交于点相交于点C C，连接，连接CBCB，OPAOPA4040，求，求ABCABC的的度数度数. . 【分析分析】 利用切线的性
9、质和直角三角形的两个锐角互余的利用切线的性质和直角三角形的两个锐角互余的性质得到圆心角性质得到圆心角POAPOA的度数，然后利用圆周角定理来求的度数，然后利用圆周角定理来求ABCABC的度数的度数【自主解答自主解答】 PA PA是是O O的切线，的切线，BAPBAP9090. .OPAOPA4040，POAPOA5050，ABCABC POAPOA2525. .利用切线的性质解决问题时，常连接切点与圆心，构造垂直，利用切线的性质解决问题时，常连接切点与圆心，构造垂直，然后通过勾股定理、解直角三角形或相似解题然后通过勾股定理、解直角三角形或相似解题4 4(2017(2017济南济南) )把直尺、
10、三角尺和圆形螺母按如图所示放把直尺、三角尺和圆形螺母按如图所示放置于桌面上，置于桌面上，CABCAB6060，若量出，若量出ADAD6 6 cmcm，则圆形螺母，则圆形螺母的外直径是的外直径是( )( )A A12 12 cm cm B B24 24 cm cm C C6 6 cmcm D D12 12 cmcmD D5 5(2013(2013济南济南) )如图，如图，ABAB是是O O的直径，点的直径，点D D在在O O上，上，BADBAD3535，过点，过点D D作作O O的切线交的切线交ABAB的延长线于点的延长线于点C C，则则C C_度度 20 20 6. (20146. (2014
11、济南济南) )如图，如图，ABAB与与O O相切于点相切于点C C，A AB B，O O的半径为的半径为6 6，ABAB1616，求，求OAOA的长的长解：如图，连接解：如图，连接OCOC，ABAB与与O O相切于点相切于点C C，OCAB.OCAB.又又A AB B，OAOAOBOB，ACAC ABAB 16168.8.在在RtRtAOCAOC中，中，OAOA命题角度命题角度切线的判定切线的判定例例3 3(2016(2016张家界张家界) )如图，如图，ABAB是是O O的直径，的直径，C C是是O O上的一点，上的一点，直线直线MNMN经过点经过点C C，过点，过点A A作直线作直线MNM
12、N的垂线，垂足为点的垂线，垂足为点D D，且，且BACBACCAD.CAD.(1)(1)求证：直线求证：直线MNMN是是O O的切线；的切线；(2)(2)若若CDCD3 3，CADCAD3030，求，求O O的半径的半径【分析分析】 (1) (1)连接连接OCOC，根据角之间的关系得出，根据角之间的关系得出ADOCADOC，进而得出进而得出OCMNOCMN，根据点，根据点C C在圆上证得结论；在圆上证得结论；(2)(2)在在RtRtADCADC中，求出中，求出ACAC的长，然后利用的长，然后利用RtRtABCABC求出求出ABAB的长即可的长即可【自主解答自主解答】(1)(1)如图，连接如图，
13、连接OCOC，OAOAOCOC，OACOACOCA.OCA.ACAC平分平分BADBAD，BACBACDACDAC，OCAOCADACDAC，OCAD.OCAD.ADMNADMN，OCMN.OCMN.又又OCOC是是O O的半径，的半径，直线直线MNMN是是O O的切线的切线(2)(2)在在RtRtADCADC中，中，CADCAD3030，CDCD3 3，ACAC2CD2CD6.6.ABAB是直径，是直径，ACBACB9090，ABCABC是直角三角形是直角三角形ACAC平分平分BADBAD，BACBACCADCAD3030，讲：讲： 切线的判定方法切线的判定方法 (1) (1)“连半径，证垂
14、直连半径，证垂直”：若直线与圆有公共点，则连：若直线与圆有公共点，则连接圆心与交点得到半径，证明半径与直线垂直；接圆心与交点得到半径，证明半径与直线垂直；(2)(2)“作垂作垂直，证等径直，证等径”：若未给出直线与圆的公共点，则过圆心作直：若未给出直线与圆的公共点，则过圆心作直线的垂线段，证明垂线段的长等于半径在判定时，必须说线的垂线段，证明垂线段的长等于半径在判定时，必须说明明“是半径是半径”或或“点在圆上点在圆上”，这是最容易犯错的地方，这是最容易犯错的地方练：链接变式训练练：链接变式训练8 87. 7. 如图，在如图，在ABCABC中，中，ABABACAC，以，以ACAC为直径的为直径的
15、O O交交BCBC于点于点D D，交，交ABAB于点于点E E，过点，过点D D作作DFABDFAB，垂足为，垂足为F F，连接，连接DE.DE.(1)(1)求证：直线求证：直线DFDF与与O O相切；相切；(2)(2)若若AEAE7 7，BCBC6 6，求，求ACAC的长的长(1)(1)证明：如图，连接证明：如图，连接OD.OD.ABABACAC，B BC.C.ODODOCOC，ODCODCC C，ODCODCB B，ODAB.ODAB.DFABDFAB，ODDF.ODDF.点点D D在在O O上，上，直线直线DFDF与与O O相切相切(2)(2)解：解：四边形四边形ACDEACDE是是O
16、O的内接四边形，的内接四边形，AEDAEDACDACD180180. .AEDAEDBEDBED180180，BEDBEDACD.ACD.又又B BB B，BEDBCABEDBCA，8 8(2017(2017咸宁咸宁) )如图，在如图，在ABCABC中，中，ABABACAC，以，以ABAB为直径的为直径的O O与边与边BCBC，ACAC分别交于分别交于D D，E E两点，过点两点，过点D D作作DFACDFAC，垂足为，垂足为点点F.F.(1)(1)求证：求证：DFDF是是O O的切线；的切线；(2)(2)若若AEAE4 4，coscos A A ，求，求DFDF的长的长(1)(1)证明：如图，连接证明：如图，连接ODOD，作，作OGACOGAC于点于点G G，OBOBODOD，ODBODBB.B.又又ABABACAC，C CB B，ODBODBC C，ODAC.ODAC.DFACDFAC，DFCDFC9090，ODFODFDFCDFC9090. .又又ODOD是是O O的半径，的半径，DFDF是是O O的切线的切线
