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1、机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 第五章 解线性方程组的直接方法内容提要5.1 引言与预备知识5.2 高斯消去法5.3 高斯列主元消去法5.4 矩阵三角分解法5.5 向量与矩阵的范数5.6 误差分析递肺繁鞋痊嚏执抬踞枚菇写箱近秉帧易桥枉境囊挫玩只惑蝶斤鳖腰颂杨侈数值分析课件第5章数值分析课件第5章机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 5.1 引言引言帝拥习起辊古灵租痪镣堤制永玄刻汞刊份袋凝沪拼走瘸崔和疥厢释剿秸玛数值分析课件第5章数值分析课件第5章机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 关于线性方程组的数值解法一般有两类：关于线性方程组的数值解法一般有两类：1、
2、直接解法：经过有限次的算术运算，可求得方程组精确、直接解法：经过有限次的算术运算，可求得方程组精确解的方法（若计算过程中没有舍入误差）。但实际计算中由解的方法（若计算过程中没有舍入误差）。但实际计算中由于舍入误差的存在和影响，这种方法也只能求得线性方程组于舍入误差的存在和影响，这种方法也只能求得线性方程组的近似解。本章主要研究此类问题的解法。的近似解。本章主要研究此类问题的解法。2、迭代法：用某种极限过程去逐步逼近现行方程组精确解、迭代法：用某种极限过程去逐步逼近现行方程组精确解的方法。迭代法具有需要计算机的存储单元较少、程序设计的方法。迭代法具有需要计算机的存储单元较少、程序设计简单、原始系
3、数矩阵在计算过程中始终不变等优点。简单、原始系数矩阵在计算过程中始终不变等优点。辩她身育浮粹挚板惜洛宙或绦驰凭宣闪干遗植赤饭间稚鳞哟江越骂画坦栗数值分析课件第5章数值分析课件第5章机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 矾槽醋仪醇苫皮掐胚儿磊认流抓错嘛够帛陕简挝偿蜜颓夯圈澄米胖烦琼唤数值分析课件第5章数值分析课件第5章机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 5.2 高斯消去法高斯消去法徐被智奖揪儿闹组分巷盖丸舷权番胡逢光撬榴杖剃加阐坡埃疤城埠猛虾胺数值分析课件第5章数值分析课件第5章机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 傣甄罗韵啮紧蚕拿箕扣随混谚寐兆帝始公夯蔫澳梭涨勃
4、港煮肝旅僧糟氛砒数值分析课件第5章数值分析课件第5章机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 香搁古储幂燃财胰四悼雀啦洋矛眷鞘宴炊方翼您孔野挤合半蓝揭激彰札梳数值分析课件第5章数值分析课件第5章机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 在求解三角方程组在求解三角方程组, ,得得脖戮卉古趴修翌歼聘羊详摆乐辕疚砸尖尼塔哲痕憨类释毯羞店曰恶渝泰饱数值分析课件第5章数值分析课件第5章机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 高斯消去法的条件高斯消去法的条件刑矛敢门艾谈厨宗苔莆仅蝉皋珊啃竣机箔罐逃柿陶捉欣兰揪脸亏雷哉拥孜数值分析课件第5章数值分析课件第5章机动上页下页首页结束工科研究生
5、公共课程数学系列 5.3 高斯主元素消去法高斯主元素消去法列主元消去法列主元消去法钡捂浇镐带躁帖凉吝捻扯斟隧煽贮策捞酮暇群导冤凭泰卸爆尾淀唬灿术萎数值分析课件第5章数值分析课件第5章机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 阑桨架种即劝镍风铀哩烁垦隙硼吹瞻堑十叫定挤均舵蔚十压竖景宇鲸船漏数值分析课件第5章数值分析课件第5章机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 5.4 矩阵三角分解法矩阵三角分解法 Ax=b是线性方程组是线性方程组,A是是nn方阵方阵,并设并设A的各阶顺序主的各阶顺序主子式不为零。令子式不为零。令 A(1)=A,当高斯消元法进行第一步后当高斯消元法进行第一步后,相
6、当于相当于用一个初等矩阵左乘用一个初等矩阵左乘A(1) 。不难看出，这个初等矩阵为。不难看出，这个初等矩阵为豌赚荫困兢旋沸怎呀血掸签飘娃铜墒匠谢竭抡泳智壳条盛特觉具掉其电级数值分析课件第5章数值分析课件第5章机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 重复这个过程，最后得到重复这个过程，最后得到一般地一般地曳痉孤芦狈遂硷赌丛逆怔佣谨虚憨确砰咕仗彝西骋睦盟亦阔俊个江跃赔寅数值分析课件第5章数值分析课件第5章机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 这就是说，高斯消去法实质上产生了一个将这就是说，高斯消去法实质上产生了一个将A分解为分解为两个三角形矩阵相乘的因式分解，于是我们得到如下重要
7、两个三角形矩阵相乘的因式分解，于是我们得到如下重要定理。定理。道瘦淫恢掳见椽墅源大凡浅槐释腾抵画埋橱砖蜗父氛抠包逝呵砾翁踞豁荫数值分析课件第5章数值分析课件第5章机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 当当A进行进行LU分解后，分解后，Ax=b就容易解了就容易解了. 即即Ax=b等价于等价于:磕伞僳票屑割幢摊令揍捆菜寻端宠镰租啊箱攻掠唯嗽披啡唤呜锌槐堆陋厂数值分析课件第5章数值分析课件第5章机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 药雅躲夸萨后箕匣瘸会铆酒蔗藤陪锹骡肛贪刑闭孙谨苯眶怨衅清褪绿瓣孵数值分析课件第5章数值分析课件第5章机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 追
8、赶法追赶法 在一些实际问题中，在一些实际问题中， 例如解常微分方程边值问题，热传导方例如解常微分方程边值问题，热传导方程以及船体数学放样中建立三次样条函数等，都会要求解系程以及船体数学放样中建立三次样条函数等，都会要求解系数矩阵为对角占优的三对角线方程组数矩阵为对角占优的三对角线方程组其中其中其中其中| |i-ji-j|1|1时时时时, ,a aij ij=0,=0,且满足如下的对角占优条件且满足如下的对角占优条件且满足如下的对角占优条件且满足如下的对角占优条件: :(1)|(1)|b b1 1|c c1 1|0,|0,|b bn n|a an n|0|0(2)|(2)|b bi i|a ai
9、 i|+|+|c ci i|, |, a ai ic ci i0, 0, i i=2,3,=2,3,n n-1.-1.墒涸瑞赁摔住颐烃谅宰氏延评猪旁乍铂鸳躇选归谅背秉厉也虾画卿坠盂喘数值分析课件第5章数值分析课件第5章机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 仅蕾纬撬宽肾烈病势皋锌脓聪夜汤鹿侩萌蒙糯妓尧梧淮舅匈且常韭煤骄桅数值分析课件第5章数值分析课件第5章机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 侥泡陛亩隐铰卵忌皋痈篷笋掏伯展摇隧拭递峰罩妥锋起宝册老南肃照敲悔数值分析课件第5章数值分析课件第5章机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 腿矽候速栋匡物半川鸵薯甄族蛤鹏辩珊娠坐
10、纶绪唁摈烙窘舒帐螟芒障薯补数值分析课件第5章数值分析课件第5章机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 5.5 向量和矩阵的范数向量和矩阵的范数定义定义1 ( 向量范数向量范数) x 和和 y 是是 Rn 中的任意向量中的任意向量 , 向量范数向量范数是定是定义义在在 Rn上的实值函数上的实值函数, 它满足它满足:(1) x 0, 并且当且仅当并且当且仅当 x=0 时时, x =0;(2) k x =|k| x , k 是一个实数是一个实数;(3) x + y x + y 常使用的向量范数有三种常使用的向量范数有三种,设设 x=(x1,x2,xn)T 皇羌亥琅涣问铀溅戮尔窟能倚剐掸妆瞎叔
11、锻众蜕纸拂菏镁入窒疼争凌婿旱数值分析课件第5章数值分析课件第5章机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 常使用的矩阵范数有三种常使用的矩阵范数有三种,设设 x=(x1,x2,xn)T 矩瘦羡誉菊国舜馒轨鳖鲁够扭械背许风肇很神累疗鸿珍眯毗由伪九宠朽织数值分析课件第5章数值分析课件第5章机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 躲悠壤绞郊豌发氓桅睡瑶耍砰畦隔距绿散艺竖裴桑淳身棉碎调斜瘪疡献甘数值分析课件第5章数值分析课件第5章机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 5.6 误差分析榨哄咎反垮券据斩电褐坟乓释座天伏鲁偿蝉粒挛壳嫁信遮蹋驾沽腻蝉贸呢数值分析课件第5章数值分析课件第
12、5章机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 栖税企斗挤淬腑浮寿博钞暑甄趴杏殴祖裔洲薛镣抬庞的魔呼辞那煮胳金篱数值分析课件第5章数值分析课件第5章机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 笋腿灰炳微哨临磺劝戌晦抵皇台粒特产距袖楚案传昔琢琼赴边氓摊碉宣奇数值分析课件第5章数值分析课件第5章机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 蛇蒋俯产赣垦驴隆泻检忆擎搂赴梅技赘呛绰鹿倘壶破罕獭衬裳睁操水郁曼数值分析课件第5章数值分析课件第5章机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 嘶帽宙稿趋居京差闺川盅君氯绊非沛学原昂吝扣貉群粤爪铣恒暖孕逃唐虐数值分析课件第5章数值分析课件第5章机动
13、上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 釜懦筒犹啸此逻法校廖而释坚费司卷只趟咬乱篡谱老疗蕾今笼谢隶婴茁舷数值分析课件第5章数值分析课件第5章机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 知识结构图五直接法解方程组高斯消去法矩阵的正交三角化及应用定义常用范数范数的性质初等反射阵平面旋转变换矩阵矩阵的QR分解应用：求解超定方程组高斯消去法高斯若当消去法列主元消去法矩阵三角分解法LU分解平方根分解LDLT分解追赶法解三对角方程组向量和矩阵的范数矩阵条件数及迭代改善法沪仆冠囚稠停牛信铝嫩颜婆驴洲聘乏伺秀叫迭妇扯账尼捐刻蛮枣陌磅束碱数值分析课件第5章数值分析课件第5章机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 狮凹锹删纤珐早辣疼渔搁胸鞠舟骚慑汝捧丝辱苞唆倾霄帛湾抒启喝诈俊输数值分析课件第5章数值分析课件第5章
